4.3統(tǒng)計(jì)模型4.3.1一元線性回歸模型第1課時(shí)相關(guān)關(guān)系與回歸直線方程課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.了解變量間的相關(guān)關(guān)系.2.會(huì)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷數(shù)據(jù)是否具有相關(guān)關(guān)系.3.了解最小二乘法原理，會(huì)求回歸直線方程，掌握回歸方程的性質(zhì)1.數(shù)學(xué)建模與直觀想象——理解回歸直線方程及相關(guān)關(guān)系，并能正確應(yīng)用回歸直線的性質(zhì)作出判斷；2數(shù)學(xué)運(yùn)算——能借助回歸直線方程的求法求得回歸方程自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系1.如果兩個(gè)變量之間確實(shí)有一定的關(guān)系，但沒(méi)有達(dá)到可以①互相決定的程度，它們之間的關(guān)系帶有一定的隨機(jī)性，像這樣兩個(gè)變量之間的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)上都稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系.要點(diǎn)二線性相關(guān)（1）散點(diǎn)圖一般地，如果收集到了變量x和變量y的n對(duì)數(shù)據(jù)（簡(jiǎn)稱(chēng)為成對(duì)數(shù)據(jù)），如下表所示.序號(hào)i123?n變量xxxx?x變量yyyy?y則在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出點(diǎn)（xi,yi），i=1,2,3?,n，就可以得到這（2）線性相關(guān)：如果由變量的成對(duì)數(shù)據(jù)、散點(diǎn)圖或直觀經(jīng)驗(yàn)可知，變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用②一次函數(shù)來(lái)刻畫(huà)，則稱(chēng)x與y線性相關(guān).（3）正相關(guān)和負(fù)相關(guān)若x與y線性相關(guān)，如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上也③增大，則稱(chēng)這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上④減少，則稱(chēng)這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).要點(diǎn)三回歸直線方程1.一般地，已知變量x與y的n對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)（xi,yi），i=1,2,3?,n.任意給定一個(gè)一次函數(shù)y=bx+a，對(duì)每一個(gè)已知的xi，由直線方程可以得到一個(gè)估計(jì)值yi=bxi+a，如果一次函數(shù)子y=bx+a能使殘差平方和即⑤(y1-y1)2+(y2-y2)2+?+(yn-yn)2=i-1n(yi-yi)2取得最小值，則y=bx+a要點(diǎn)四回歸直線方程y=（1）回歸直線一定過(guò)點(diǎn)?(x（2）回歸系數(shù)b的實(shí)際意義①\hatb是回歸直線方程的?斜率②當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí)，\haty增大?\hatb自主思考1.函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系嗎?答案：提示不是.函數(shù)關(guān)系中兩個(gè)變量之間是一種確定關(guān)系.2.已知變量x與y滿足關(guān)系y=0.4x+7.9，變量y與z負(fù)相關(guān)，則x與y，z是正相關(guān)，還是負(fù)相關(guān)?答案：提示變量x與y正相關(guān)，變量x與z負(fù)相關(guān).3.回歸直線方程的單調(diào)性由哪個(gè)參數(shù)決定?答案：提示\ha名師點(diǎn)睛1.相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)：（1）相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量的關(guān)系.（2）不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.2.根據(jù)散點(diǎn)圖，可以很容易看出兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，是不是線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).3.利用回歸方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)，若回歸方程為y=bx+a，則在互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷自測(cè)自評(píng)1.在下列所示的四個(gè)圖中，兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是()A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（2）（3）答案：D解析：圖（1）的兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系；圖（2）（3）的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系；圖（4）的兩個(gè)變量之間既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系.2.對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10)，得散點(diǎn)圖①；對(duì)變量u,v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(A.變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)答案：C解析：由圖像知，變量x與y呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；u與v呈正相關(guān)關(guān)系，故選C.3.（2020廣東深圳高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期末）某公司2014至2019年的年利潤(rùn)x（單位：百萬(wàn)元）與年廣告支出y（單位：百萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)資料如表所示：年份201420152016201720182019利潤(rùn)x1618支出y根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則()A.利潤(rùn)中位數(shù)是16，x與y有正相關(guān)關(guān)系B.利潤(rùn)中位數(shù)是17，x與y有正相關(guān)關(guān)系C.利潤(rùn)中位數(shù)是17，x與y有負(fù)相關(guān)關(guān)系D.利潤(rùn)中位數(shù)是18，x與y有負(fù)相關(guān)關(guān)系答案：B解析：由題意，得利潤(rùn)的中位數(shù)是16+182=17，而且隨著利潤(rùn)的增加，支出也在增加，故x與y4.下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是.（填序號(hào)）①扇形的半徑與面積之間的關(guān)系；②農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③出租車(chē)費(fèi)與行駛的里程的關(guān)系；④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系.答案：②④解析：在①中，扇形的半徑與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；在②中，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系；③為確定的函數(shù)關(guān)系；在④中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系.解題感悟兩個(gè)變量是否相關(guān)的兩種判斷方法1.根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷.2.利用散點(diǎn)圖：通過(guò)散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進(jìn)行判斷.如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)位置的影響.探究點(diǎn)二求回歸直線方程精講精練例下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).x3456y34（1）請(qǐng)畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請(qǐng)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=b（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？答案：（1）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖.（2）由題中數(shù)據(jù)，計(jì)算得i=12xi2=86，x所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為b=i=14x因此，所求的線性回歸方程為y=0.7x+0.35（3）由（2）的回歸方程及技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，得降低的生產(chǎn)能耗為噸標(biāo)準(zhǔn)煤.解題感悟求回歸方程的一般步驟（1）收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為(x（2）作出散點(diǎn)圖，確定x,y具有線性相關(guān)關(guān)系.（3）計(jì)算xˉ（4）代入公式計(jì)算\hatb,\hata（5）寫(xiě)出回歸方程y遷移應(yīng)用1.由某種設(shè)備的使用年限xi(年)與所支出的維修費(fèi)yi（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)資料算得如下結(jié)果，i=15x（1）求所支出的維修費(fèi)y對(duì)使用年限x的線性回歸方程y=b（2）①判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；②當(dāng)使用年限為8年時(shí)，試估計(jì)支出的維修費(fèi)是多少.答案：（1）∵i=15∴x￣∴b=a=∴線性回歸方程為y=1.2x+0.2（2）①由（1）知\hatb=1.2>0∴變量x與y之間是正相關(guān).②由（1）知，當(dāng)x=8時(shí)，y=1.2×8+0.2=9.8，即當(dāng)使用年限為8年時(shí)，估計(jì)支出的維修費(fèi)是萬(wàn)元探究點(diǎn)三回歸直線方程的性質(zhì)及應(yīng)用自測(cè)自評(píng)1.（多選）設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n)A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心(C.若該大學(xué)某女生身高增加1?cm，則其體重約增加D.若該大學(xué)某女生身高為170?cm，則可斷定其體重必為答案：A;B;C解析：當(dāng)x=170時(shí)，y=0.85×170-85.71=58.79，體重的估計(jì)值為58.79??kg，故D錯(cuò)誤，2.（2020河南林州一中高一月考）為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工某種零件所需的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，得到5組數(shù)據(jù)：$\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right),\left(x_{4},y_{4}\right),\left(x_{5},y_{5}\right)\$，由最小二乘法求得回歸直線方程為y=0.67x+54.9.若已知x1+x答案：C解析：由題意，可得x￣=1505=30，代人回歸直線的方程，可得y￣3.某單位為了了解用電量y?kW?h與氣溫x?氣溫(181310-1用電量(24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程y=bx+a中b=-2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為-4?答案：68解析：xˉ=10,yˉ=40,∴40=-2×10+a∴a令x=-4,得y=(-2)×(-4)+60=68解題感悟理解線性回歸及性質(zhì)時(shí)需注意的問(wèn)題（1）由線性回歸方程給出的是一個(gè)預(yù)報(bào)值而非精確值.（2）回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x（3）回歸分析關(guān)注散點(diǎn)圖、誤差分析、回歸系數(shù)等基礎(chǔ)問(wèn)題，注意對(duì)相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn).評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升課堂檢測(cè)1.下列兩個(gè)變量具有正相關(guān)關(guān)系的是()A.正方形的面積與邊長(zhǎng)B.吸煙與健康C.數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)D.汽車(chē)的質(zhì)量與汽車(chē)每消耗1?L答案：C解析：正方形的面積與邊長(zhǎng)是函數(shù)關(guān)系，A錯(cuò)誤；吸煙與健康具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，B錯(cuò)誤；汽車(chē)越重，每消耗1?L汽油所行駛的平均路程越短，所以汽車(chē)的質(zhì)量與汽車(chē)每消耗1?L汽油所行駛的平均路程具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，D錯(cuò)誤；一般情況下，數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)具有正相關(guān)關(guān)系，C2.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)，x0123y1357若y與x線性相關(guān)，則y與x的回歸直線y=bx+a必過(guò)點(diǎn)()A.(2,2)B.(1.5,0)C.(1,2)D.(1.5,4)答案：D解析：x=0+1+2+34=1.5,yˉ=1+3+5+74=4，3.工人工資y（元）與勞動(dòng)生產(chǎn)率x（千元）的相關(guān)關(guān)系的回歸方程為y=50+80x，下列判斷正確的是A.勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工人工資為130元B.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元C.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高130元D.當(dāng)月工資為250元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元答案：B解析：因?yàn)榛貧w直線的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元.4.已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是，且過(guò)定點(diǎn)（4，5），則線性回歸方程是.答案：y解析：回歸直線的斜率的估計(jì)值為，即\hatb=1.23，又回歸直線過(guò)定點(diǎn)（4，5），素養(yǎng)演練數(shù)據(jù)分析——有關(guān)回歸系數(shù)的取值討論1.x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表.x123456y021334假設(shè)根據(jù)表中數(shù)據(jù)所得線性回歸方程為y=bx+a.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)（1，0）和（2，2）求得的直線方程為A.b?>b',\ha答案：C解析：審：將點(diǎn)（1，0）和（2，2）代入