/09/9/直線與平面垂直(二)學(xué)校操場(chǎng)上的有多根旗桿，做建筑的地基時(shí)需要先向地下打多根立柱，在現(xiàn)實(shí)生活中有好多這樣的現(xiàn)象．【問題1】每一根旗桿與地面是怎樣的位置關(guān)系？【問題2】旗桿所在的直線之間是什么關(guān)系？【問題3】直線與平面垂直有哪些性質(zhì)？1．直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．(2)符號(hào)：a⊥α，b⊥α?a∥b；(3)圖形：如果兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，那么另一條直線與這個(gè)平面是什么位置關(guān)系？提示：垂直．2．空間距離(1)直線到平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．(2)平面與平面之間的距離如果兩個(gè)平面互相平行，那么其中一個(gè)平面上任意點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做兩個(gè)平面間的距離．是不是任意的直線與平面、平面與平面間都有距離？提示：不是，只有當(dāng)直線與平面平行，平面與平面平行時(shí)才涉及距離問題．直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)該定理考查的是在直線與平面垂直的條件下，可得出什么結(jié)論．(2)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法(只要判定這兩條直線都與同一個(gè)平面垂直).(3)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．(4)定理的推證過程采用了反證法．1.與同一條直線垂直的兩個(gè)平面什么關(guān)系？2．如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直，那么這條直線與另一個(gè)平面什么關(guān)系？3．若兩條直線a，b，平面α，滿足b⊥α，b⊥a，那么直線a與平面α的位置關(guān)系是什么？3.a1.平行；2.垂直；3.a∥α或a?α.觀察教材第154頁(yè)圖8.6－19，若直線AA1，BB1不與平面α垂直，AA1∥BB1時(shí)，線段AA1，BB1的長(zhǎng)度什么關(guān)系？提示：相等．1．若直線l與平面α不垂直，m?α，那么l與m的位置關(guān)系是()A．垂直 B．平行C.異面或相交 D．以上都有可能【解析】選D.由線面位置關(guān)系判斷．2．在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是()A.相交 B．平行C.異面 D．相交或平行【解析】選B.圓柱的母線垂直于圓柱的底面，由線面垂直的性質(zhì)知是平行關(guān)系．基礎(chǔ)類型一直線與平面垂直的應(yīng)用(邏輯推理)1．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，E是PC上的點(diǎn)，且EF⊥BC，則eq\f(PE,EC)＝________．2．如圖，正方體A1B1C1D1-ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1【解析】1.在三棱錐P-ABC中，因?yàn)镻A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.因?yàn)镋F?平面PAC，所以EF⊥AB，因?yàn)镋F⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，E是PC上的點(diǎn)，所以E是PC的中點(diǎn)，所以eq\f(PE,EC)＝1.答案：12．如圖所示，連接AB1，B1C因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1.又BD1?平面BDD1，所以AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C又AC∩B1C所以BD1⊥平面AB1C因?yàn)镋F⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1所以EF∥BD1.關(guān)于線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用(1)在證明與垂直相關(guān)的平行問題時(shí)，可以考慮線面垂直的性質(zhì)定理，利用已知的垂直關(guān)系構(gòu)造線面垂直，關(guān)鍵是確定與要證明的兩條直線都垂直的平面．(2)注意線面垂直性質(zhì)定理的推論的應(yīng)用，利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系，或?qū)⒋怪标P(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系．基礎(chǔ)類型二空間中的距離問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1(1)證明：直線BC1平行于平面D1AC(2)求直線BC1到平面D1AC【解析】(1)因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，故AB∥C1D1，AB＝C1D1故四邊形ABC1D1為平行四邊形，故BC1∥AD1，顯然B不在平面D1AC于是直線BC1平行于平面D1AC(2)直線BC1到平面D1AC即為點(diǎn)B到平面D1AC考慮三棱錐D1-ABC的體積，以平面ABC為底面，可得V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×1＝eq\f(1,3)，而△AD1C中，AC＝D1C＝eq\r(5)，AD1＝eq\r(2)，cos∠ACD1＝eq\f(4,5)，sin∠ACD1＝eq\f(3,5)，故S△AD1C＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(5)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,2).所以，V＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×h＝eq\f(1,3)，故h＝eq\f(2,3)，即直線BC1到平面D1AC的距離為eq\f(2,3).正方體ABCD-A1B1C1D1求：(1)直線A1A到平面B1BCC1(2)直線A1A到平面D1DBB1【解析】(1)因?yàn)锳1A∥平面B1BCC1A1B1⊥平面B1BCC1，所以直線A1A到平面B1BCC1的距離等于線段A1B1因?yàn)锳1B1＝a，所以直線A1A到平面B1BCC1(2)連接A1C1，B1D1，BD，A1C1與B1D1交于點(diǎn)O1，如圖．A1A∥平面D1因?yàn)锳1O1⊥平面D1DBB1，所以直線A1A到平面D1DBB1的距離等于線段A1O1的長(zhǎng)，因?yàn)锳1O1＝eq\f(\r(2),2)a，所以直線A1A到平面D1DBB1的距離為eq\f(\r(2),2)a.綜合類型直線與平面垂直的綜合應(yīng)用(邏輯推理)線面垂直關(guān)系的應(yīng)用【典例】如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，①若BC邊上恰有一點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，則a的取值是________．②若BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，則a的取值范圍是________．【解析】因?yàn)镻A⊥平面AC，QD?平面AC，所以PA⊥QD.又因?yàn)镻Q⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.①當(dāng)a＝2時(shí)，以AD為直徑的圓與BC相切于BC的中點(diǎn)Q，此時(shí)∠AQD＝90°，所以BC邊上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD；②當(dāng)a>2時(shí)，以AD為直徑的圓與BC相交于點(diǎn)Q1，Q2，此時(shí)∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC邊上存在兩點(diǎn)Q(即Q1與Q2)，使PQ⊥QD.所以a≥2.點(diǎn)撥：利用以AB為直徑的圓與BC的關(guān)系解題．關(guān)于直線與平面垂直關(guān)系的應(yīng)用利用直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理進(jìn)行垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，一是線面垂直于線線垂直之間的轉(zhuǎn)化，二是將空間中的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的垂直關(guān)系，利用平面幾何知識(shí)解決空間的垂直問題．線面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例】(2021·海淀高一檢測(cè))已知，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，CD＝CP＝4，E為PD的中點(diǎn)．(1)在棱BC上是否存在點(diǎn)F，使AF⊥BE？若存在，求BF的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．(2)已知點(diǎn)M同時(shí)滿足下列條件：①M(fèi)∈平面BCE；②DM⊥平面ABP.請(qǐng)?jiān)賹懗雠c點(diǎn)M有關(guān)的兩個(gè)結(jié)論：一個(gè)為“線面平行”，一個(gè)為“線面垂直”：________，________．(結(jié)論不要求證明)【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)F為棱BC的中點(diǎn)時(shí)，可使AF⊥BE.理由如下：如圖，過點(diǎn)E作ES∥PC，交CD于點(diǎn)S，連接BS，設(shè)BS∩AF＝O.因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以S為CD的中點(diǎn)，所以BF＝CS，因?yàn)锳B＝BC，∠ABC＝∠BCS＝90°，所以△ABF≌△BCS，所以∠BAF＝∠CBS.因?yàn)椤螧AF＋∠AFB＝90°，所以∠CBS＋∠AFB＝90°，即BS⊥AF.因?yàn)镻C⊥底面ABCD，所以ES⊥底面ABCD，因?yàn)锳F?面ABCD，所以ES⊥AF.又因?yàn)锽S∩ES＝S，BS，ES?面BES，所以AF⊥面BES，因?yàn)锽E?面BES，所以AF⊥BE.故當(dāng)點(diǎn)F為棱BC的中點(diǎn)時(shí)，可使AF⊥BE，BF＝eq\f(1,2)BC＝2.(2)如圖，作CN⊥PB于N，而AB⊥平面PBC，所以AB⊥CN，CN⊥平面PAB，又DM⊥平面PAB，所以DM∥CN，所以DM∥平面PBC；DM⊥AB，AB∥CD，所以DM⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ADM.答案：DM∥平面PBCCD⊥平面ADM關(guān)于線面垂直判定、性質(zhì)的應(yīng)用(1)分析已知的垂直關(guān)系，得出能夠推出的線線、線面垂直，即挖掘已知條件，以方便后續(xù)證明．(2)證明垂直關(guān)系時(shí)往往需要逆向思維，如要證明直線a垂直于平面α內(nèi)直線b，可以考慮證明直線b垂直于直線a所在的平面β.(3)掌握線線、線面垂直的相互轉(zhuǎn)化．創(chuàng)新題型垂直關(guān)系的應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)【典例】對(duì)于四面體ABCD，給出下列四個(gè)命題：①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD.其中為真命題的是()A．①②B．②③C．②④D．①④【解析】選D.①如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD；④設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影為O，連接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O為△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.1．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是()A．b∥α B．b?αC．b⊥α D．b與α相交【解析】選C.由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)b⊥α，a⊥α?xí)r，a∥b.2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點(diǎn)E為A1CA.ACB．BDC．A1DD．A1D1【解析】選B.因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1所以BD⊥A1C1，且BD⊥CC1又因?yàn)锳1C1∩CC1＝C1所以BD⊥平面AA1C又因?yàn)镃E?平面AA1C3．已知PA垂直平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是()A．平行四邊形 B．矩形C．正方形 D．菱形【解析】選D.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因?yàn)镻C⊥BD，且PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以AC⊥BD.4．正三棱錐的底面邊長(zhǎng)都是2，側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)到底面的距離是________．【解析】設(shè)頂點(diǎn)到底面距離為h，由題意側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)，則eq\f(1,3)×eq\f(\