第二章平面向量及其應(yīng)用§6平面向量的應(yīng)用6.1余弦定理與正弦定理第1課時余弦定理與正弦定理基礎(chǔ)過關(guān)練題組一余弦定理1.(2020豫南九校高二上學(xué)期第二次聯(lián)考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若b=3,c=2,cosA=13,則A.6 B.7 C.22 D.32.在△ABC中,A=60°,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且最大邊長和最小邊長分別是方程x2-7x+11=0的兩個實根,則第三邊的長為()A.2 B.3 C.4 D.53.(多選)在△ABC中,AB=3,AC=1,B=π6,則角A的可能取值為A.π6 B.π3 C.2π4.(2020天津河西高三上學(xué)期期中)在△ABC中,若a=2b,b=2c,則三個內(nèi)角中最大角的余弦值為.?5.(2020安徽合肥一六八中學(xué)高一下期中)在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角為120°,求△ABC的三邊長.6.(2020江西南城二中高二下期中)在銳角三角形ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,若a+c=5,B=π3且a>c,b=7,求AB·AC的值題組二正弦定理7.(2020遼寧六校高一上學(xué)期期末聯(lián)考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列等式正確的是()A.a∶b=A∶BB.a∶b=sinA∶sinBC.a∶b=sinB∶sinAD.asinA=bsinB8.(2020江西贛州高二上學(xué)期期中)在△ABC中,若a=2bsinA,則角B等于()A.30°或150° B.45°或60°C.60°或120° D.30°或60°9.(2020安徽亳州渦陽第四中學(xué)高二上學(xué)期第二次質(zhì)檢)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,若a=3,b=2,B=π4,則A.π6 B.C.π6或5π6 D.10.在△ABC中,若AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是()A.0<C≤π6 B.0<C≤C.π6<C<π2 D.π611.(2020河北邢臺第一中學(xué)高一下學(xué)期期末)設(shè)a,b,c分別是△ABC中角A,B,C所對邊的邊長,則直線sinA·x+ay+cosC=0與sinB·x+by+sinC=0的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.平行或重合12.(多選)(2020山東濟寧嘉祥一中高一下學(xué)期期中)下列說法正確的有()A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.在△ABC中,若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形C.在△ABC中,sinA>sinB是A>B的充要條件D.在△ABC中,若sinA=12,則A=13.(2020河北滄州高三一模)如圖,在△ABC中,AC=2,∠A=π3,點D在線段AB上(1)若sin∠CDA=223,求CD(2)若AD=2DB,sin∠ACD=7sin∠BCD,求CB的長.題組三余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用14.在△ABC中,如果sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,那么cosC等于()A.23 B.-23 C.-1315.在△ABC中,若sinA=2sinCcosB,則△ABC是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.直角三角形16.(2020河南南陽高二上學(xué)期期中)在△ABC中,角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c.若a=2,且sinB-sinAsinC=17.(2020遼寧普通高中高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平測試)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a>b>c,3c-2bsinC=0.(1)求角B的大小;(2)若b=3,a=2,求c.題組四三角形的面積18.已知△ABC中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,則△ABC的面積為()A.9 B.18 C.93 D.18319.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=π3,則△ABC的面積是A.3 B.932 C.3320.(2020河北張家口高三階段檢測)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a+b)2=c2+ab,B=30°,a=2,則△ABC的面積為.?21.已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為.?22.(2020陜西榆林第二中學(xué)高二上學(xué)期期中)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且2asinB=3b.(1)求角A的大小;(2)若a=8,b+c=10,求△ABC的面積.23.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(sinB+sinC)(b-c)=(sinA+sinC)a.(1)求角B的大小;(2)已知b=4,△ABC的面積為3,求△ABC的周長.能力提升練題組一求角1.(2020河北石家莊第二中學(xué)高一下學(xué)期期末,)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若csinB+bsinC=2a,則角A.π2 B.π3 C.π42.(多選)(2020山東煙臺高一下學(xué)期期末,)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,則下列結(jié)論正確的是()A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是鈍角三角形C.△ABC的最大內(nèi)角的余弦值是最小內(nèi)角的余弦值的1D.cosA∶cosB∶cosC=12∶9∶23.(2020四川綿陽高三第二次診斷性測試,)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知(sinA+sinB)(a-b)=c(sinC+sinB).(1)求角A的大小;(2)若D為BC邊上一點,且AD⊥BC,BC=23AD,求sinB.題組二求邊4.(2020山西運城高一下學(xué)期期末聯(lián)考,)在△ABC中,B=120°,AB=2,角A的平分線交BC于D點,且AD=3,則AC=()A.6 B.2 C.62 D.5.(2020陜西寶雞高三教學(xué)質(zhì)量檢測,)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為63,A=π3,c=2b,則a=.?6.(2020山東濟南高三上學(xué)期期中,)a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊.已知A=π6,sinC=43·sinB.(1)若△ABC的面積為43,求△ABC的周長;(2)若c2-b2=47,求△ABC的周長.題組三與面積有關(guān)的問題7.(2020河南鄭州第一中學(xué)高二上學(xué)期期中,)在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=3,則a+2bA.2393 B.2633 C.8.(2020江西九江第一中學(xué)高二上學(xué)期期末,)已知△ABC的外接圓直徑是924,若|BA|·|BC|=6,|BA-BC|=3,則S△ABCA.22 B.42 C.5 D.259.(2020河北張家口宣化一中高一上學(xué)期期末,)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC.(1)求b;(2)若a=6,求△ABC的面積.題組四最值問題10.(2020甘肅西北師大附中高三模擬,)已知以A為鈍角的△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且32c-asinC=0,若角A的平分線交BC于D點,且AD=1,則b+c的最小值為()A.2 B.23 C.4 D.3211.()在△ABC中,A=60°,a=3,則其面積的最大值為.?12.(2020河南鄭州八校高二上學(xué)期期中聯(lián)考,)在△ABC中,C=60°,BC>2,AC=AB+1,當(dāng)△ABC的周長最短時,BC的長是.?

答案全解全析§6平面向量的應(yīng)用6.1余弦定理與正弦定理第1課時余弦定理與正弦定理基礎(chǔ)過關(guān)練1.D 2.C 3.AD 7.B 8.A9.D 10.A 11.D 12.AC 14.D15.C 18.C 19.C 1.D由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=9+4-2×3×2×1/3=9,所以a=3.2.C易知最大邊長與最小邊長不相等,故最大角大于60°,最小角小于60°,∴第三邊即為a,又b+c=7,bc=11,∴a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=16,∴a=4,故選C.3.AD由余弦定理,得AC2=BC2+BA2-2BC?BA?cosB,即1=BC2+3-2BC×√3×√3/2,解得BC=1或BC=2.當(dāng)BC=1時,△ABC為等腰三角形,BC=AC,所以A=B=π/6;當(dāng)BC=2時,AB2+AC2=BC2,此時△ABC為直角三角形,所以A=π/2.故選AD.4.答案-√2/4解析由題意不妨設(shè)c=m,b=√2m,a=2m(m>0),利用大邊對大角可知A為△ABC中最大的角,則cosA=(b^2+c^2"-"a^2)/2bc=(2m^2+m^2"-"4m^2)/(2×√2m×m)=-√2/4.5.解析∵a+c=2b,a-b=4,∴a=b+4,c=b-4,∴A為最大角,即A=120°,在△ABC中,cosA=(b^2+c^2"-"a^2)/2bc=(b^2+"("b"-"4")"^2"-("b+4")"^2)/(2b"("b"-"4")")=-1/2,解得b=10,∴a=14,c=6.∴△ABC的三邊長分別為14,10,6.6.解析根據(jù)余弦定理,得7=a2+c2-2accosπ/3,整理,得(a+c)2-3ac=7,又a+c=5,所以ac=6,又a>c,可得a=3,c=2,于是cosA=(b^2+c^2"-"a^2)/2bc=(7+4"-"9)/(4√7)=√7/14,所以(AB)??(AC)?=|(AB)?||(AC)?|cosA=2×√7×√7/14=1.7.B由a/sinA=b/sinB可得a∶b=sinA∶sinB,故選B.8.A由a=2bsinA得sinA=2sinBsinA.因為sinA≠0,所以2sinB=1,即sinB=1/2,又0°<B<180°,所以角B等于30°或150°.故選A.9.D在△ABC中,由正弦定理可得√3/sinA=√2/(sin""π/4),解得sinA=√3/2,因為0<A<π,所以A=π/3或A=2π/3,經(jīng)檢驗,都符合題意.故選D.10.A根據(jù)題意,由正弦定理得1/sinC=2/sinA,則sinC=1/2sinA,∵A,C為三角形的內(nèi)角,∴0<sinA≤1,∴0<sinC≤1/2,又∵AB<BC,且三角形中大邊對大角,∴C<A,∴C是銳角,∴0<C≤π/6.故選A.11.D由于a>0,b>0,所以兩條直線斜率存在.兩條直線方程可分別化為y=-sinA/ax-cosC/a,y=-sinB/bx-sinC/b,由正弦定理得-sinA/a=-sinB/b.當(dāng)三角形為等邊三角形時,-cosC/a≠-sinC/b,此時兩直線平行.當(dāng)a=b,C=π/4時,-cosC/a=-sinC/b,此時兩直線重合.故選D.12.AC設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,則a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,可得a∶b∶c=2RsinA∶2RsinB∶2RsinC,即a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC成立,故選項A正確;由sin2A=sin2B可得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π/2,則△ABC是等腰三角形或直角三角形,故選項B錯誤;在△ABC中,結(jié)合正弦定理可得sinA>sinB?a>b?A>B,則sinA>sinB是A>B的充要條件,故選項C正確;在△ABC中,若sinA=1/2,則A=π/6或A=5π/6,故選項D錯誤.故選AC.13.解析(1)因為AC=2,∠A=π/3,sin∠CDA=(2√2)/3,所以結(jié)合正弦定理可得,CD/(√3/2)=2/((2√2)/3),得CD=(3√6)/4.(2)在△ADC中,AD/(sin∠ACD)=AC/(sin∠ADC),①在△BDC中,DB/(sin∠BCD)=CB/(sin∠BDC),②又sin∠ADC=sin∠BDC,AD=2DB,sin∠ACD=√7sin∠BCD,所以結(jié)合①②可得CB=√7.14.DsinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=2∶3∶4,可設(shè)a=2k,b=3k,c=4k(k>0),則cosC=(a^2+b^2"-"c^2)/2ab=(4k^2+9k^2"-"16k^2)/(12k^2)=-1/4,故選D.15.C因為sinA=2sinCcosB,a/sinA=c/sinC,所以a=2ccosB,又cosB=(a^2+c^2"-"b^2)/2ac,所以a=2c?(a^2+c^2"-"b^2)/2ac,即b2=c2,即b=c,因為無法判斷角A是銳角、鈍角還是直角,所以△ABC是等腰三角形.故選C.16.答案5/6π解析因為(sinB"-"sinA)/sinC=(2√3+c)/(2+b),a=2,所以(b"-"a)/c=(2√3+c)/(a+b),可得a2+c2-b2=-2√3c=-√3ac.所以cosB=(a^2+c^2"-"b^2)/2ac=-√3/2,又0<B<π,所以B=5/6π.17.解析(1)因為√3c-2bsinC=0,所以√3sinC-2sinBsinC=0.因為0<C<π,所以sinC≠0,所以sinB=√3/2.因為0<B<π,且a>b>c,所以B為銳角,故B=π/3.(2)因為b=√3,a=2,所以由余弦定理得(√3)2=c2+4-2c×2×1/2,即c2-2c+1=0,所以c=1.18.C由題意得∠C=30°,故三角形ABC為等腰三角形,所以AB=BC=6,故三角形ABC的面積為1/2×6×6×sinB=9√3.故選C.19.C由c2=(a-b)2+6,得c2=a2+b2-2ab+6,又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,所以a2+b2-2ab+6=a2+b2-ab,所以ab=6,則S△ABC=1/2absinC=(3√3)/2.故選C.20.答案√3解析∵(a+b)2=c2+ab,∴a2+b2-c2=-ab,∴cosC=(a^2+b^2"-"c^2)/2ab=-1/2,又0°<C<180°,∴C=120°,∴A=30°,∴b=a=2,∴S△ABC=1/2absinC=1/2×2×2sin120°=√3.故答案為√3.21.答案√3解析由已知,得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc?cosA=1/2,∵0°<A<180°,∴A=60°.∵a=2,∴b2+c2-4=bc,∴4=b2+c2-bc≥bc,∴S△ABC=1/2bcsinA≤√3.22.解析(1)由2asinB=√3b,得2sinAsinB=√3sinB,∵sinB≠0,∴sinA=√3/2,又A為銳角,∴A=π/3.(2)由余弦定理得64=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=100-3bc,∴bc=12,又sinA=√3/2,∴S△ABC=1/2bcsinA=3√3.23.解析(1)∵(sinB+sinC)(b-c)=(sinA+sinC)a,∴(b+c)(b-c)=(a+c)a,∴a2+c2-b2=-ac,∴cosB=(a^2+c^2"-"b^2)/2ac=("-"ac)/2ac=-1/2,∵B∈(0,π),∴B=2π/3.(2)由(1)知B=2π/3,∴△ABC的面積為√3=1/2acsinB=√3/4ac,∴ac=4,又b=4,∴由余弦定理可得16=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=(a+c)2-4,解得a+c=2√5(負(fù)值舍去),∴△ABC的周長為a+c+b=2√5+4.能力提升練1.A 2.AD 4.A 7.A 8.A10.C 1.A由c/sinB+b/sinC=2a,得sinC/sinB+sinB/sinC=2sinA,在三角形ABC中,sinA,sinB,sinC都是正數(shù),所以sinC/sinB+sinB/sinC≥2√(sinC/sinB"?"sinB/sinC)=2,當(dāng)且僅當(dāng)sinC=sinB,即B=C時,等號成立.而2sinA≤2,所以要使sinC/sinB+sinB/sinC=2sinA成立,需滿足sinA=1且sinC=sinB,從而A=π/2.故選A.2.AD因為(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可設(shè){■(a+b=9x","@a+c=10x","@b+c=11x",")┤其中x>0,解得{■(a=4x","@b=5x","@c=6x",")┤所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6①,所以A正確;由①可知邊c最大,所以三角形ABC中角C最大,又cosC=(a^2+b^2"-"c^2)/2ab=("("4x")"^2+"("5x")"^2"-("6x")"^2)/(2×4x×5x)=1/8>0,所以角C為銳角,所以B錯誤;由①可知邊a最小,所以三角形ABC中角A最小,又cosA=(c^2+b^2"-"a^2)/2bc=("("6x")"^2+"("5x")"^2"-("4x")"^2)/(2×6x×5x)=3/4≠2×1/8,所以C錯誤;cosB=(a^2+c^2"-"b^2)/2ac=("("4x")"^2+"("6x")"^2"-("5x")"^2)/(2×4x×6x)=9/16,所以cosA∶cosB∶cosC=3/4∶9/16∶1/8=12∶9∶2,所以D正確.故選AD.3.解析(1)在△ABC中,由正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c+b),即a2=b2+c2+bc.所以cosA=(b^2+c^2"-"a^2)/2bc=-1/2,結(jié)合0<A<π,可知A=2π/3.(2)在△ABC中,S△ABC=1/2AB?ACsin∠BAC=1/2BC?AD,即√3/2bc=a?AD.由已知BC=2√3AD,可得AD=a/(2√3),所以√3/2bc=a^2/(2√3),即a2=3bc.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos2π/3,即3bc=b2+c2+bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c,所以B=C=π/6,所以sinB=sinπ/6=1/2.4.A如圖,由正弦定理可得,AB/(sin∠ADB)=AD/sinB,∴sin∠ADB=ABsinB/AD,∵B=120°,AB=√2,AD=√3,∴sin∠ADB=√2/2,得∠ADB=45°,∴∠BAD=180°-120°-45°=15°,∴∠BAC=30°,∴C=30°,∴由正弦定理得,AC/sinB=AB/sinC,∴AC=ABsinB/sinC=√6.故選A.5.答案6解析∵△ABC的面積為6√3,∴1/2bcsinπ/3=6√3,∴bc=24,∵c=2b,∴c=4√3,b=2√3,∴a2=b2+c2-2bccosπ/3=12+48-2×24×1/2=36,∴a=6.6.解析(1)由sinC=4√3sinB,得c=4√3b.因為△ABC的面積S=1/2bcsinA=1/4bc=√3?b2=4√3,所以b=2,所以c=8√3,所以a2=b2+c2-2bccosA=4+192-2×2×8√3×√3/2=148,所以a=2√37,所以△ABC的周長為2√37+8√3+2.(2)由c2-b2=47,c=4√3b,得b=1,c=4√3,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=1+48-2×1×4√3×√3/2=37,所以a=√37,故△ABC的周長為1+4√3+√37.7.A∵S△ABC=1/2bcsinA=√3/4c=√3,∴c=4,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=1+16-4=13,∴a=√13.∵a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R為△ABC外接圓的半徑),∴(a+2b+c)/(sinA+2sinB+sinC)=(2R"("sinA+2sinB+sinC")")/(sinA+2sinB+sinC)=2R=a/sinA=√13/(√3/2)=(2√39)/3.故選A.8.A∵|(BA)?-(BC)?|=|(CA)?|=3,△ABC的外接圓直徑是(9√2)/4,∴由正弦定理,得3/sinB=(9√2)/4,∴sinB=(2√2)/3.∵|(BA)?|?|(BC)?|=6,∴S△ABC=1/2|(BA)?||(BC)?|sinB=1/2×6×(2√2)/3=2√2.9.解析(1)由正弦定理和余弦定理可得,a?(a^2+b^2"-"c^2)/2ab=3c?(b^2+c^2"-"a^2)/2bc,∴2a2-2c2=b2,又a2-c2=2b,∴b2=4