第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)第二章§2.4等比數(shù)列學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.靈活應(yīng)用等比數(shù)列的通項公式推廣形式及變形.2.理解等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，并能用相關(guān)性質(zhì)簡化計算.NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引自主學(xué)習(xí)題型探究達(dá)標(biāo)檢測1自主學(xué)習(xí)PARTONE知識點一等比數(shù)列通項公式的推廣和變形等比數(shù)列{an}的公比為q，則an＝a1

①＝am

②＝

·

③其中當(dāng)②中m＝1時，即化為①.當(dāng)③中q＞0且q≠1時，y＝

·qx為指數(shù)型函數(shù).qn－1qn－mqn知識點二等比數(shù)列常見性質(zhì)(1)對稱性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m且n，m∈N*)；(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an；(3)若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列；(4)在等比數(shù)列{an}中，連續(xù)取相鄰k項的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或

)的等比數(shù)列；1.an＝amqn－m(n，m∈N*)，當(dāng)m＝1時，就是an＝a1qn－1.(

)2.等比數(shù)列{an}中，若公比q<0，則{an}一定不是單調(diào)數(shù)列.(

)3.若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則{an＋bn}是等比數(shù)列.(

)4.若數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，且公比相同，則{an}是等比數(shù)列.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2題型探究PARTTWO題型一等比數(shù)列通項公式的推廣應(yīng)用例1

等比數(shù)列{an}中.(1)已知a4＝2，a7＝8，求an；＝2· ＝

(n∈N*).(2)若{an}為遞增數(shù)列，且

＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通項公式an.解由

＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0，得a5＝q5，即a1q4＝q5，又q≠0，∴a1＝q.由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，∵a1＝q，且{an}為遞增數(shù)列，∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N*).反思感悟(1)應(yīng)用an＝amqn－m，可以憑借任意已知項和公比直接寫出通項公式，不必再求a1.(2)等比數(shù)列的單調(diào)性由a1，q共同確定，但只要單調(diào)，必有q>0.跟蹤訓(xùn)練1

已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7等于A.21 B.42 C.63 D.84√解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故選B.題型二等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用例2

已知{an}為等比數(shù)列.(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思感悟抓住各項序號的數(shù)字特征，靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)，可以順利地解決問題.跟蹤訓(xùn)練2

設(shè)各項均為正的等比數(shù)列{an}滿足a4a8＝3a7，則log3(a1a2…a9)等于A.38

B.39 C.9 D.7√解析∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，∴l(xiāng)og3(a1a2…a9)＝

＝log339＝9.題型三由等比數(shù)列衍生的新數(shù)列例3

已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6等于√解析∵{an}為等比數(shù)列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比數(shù)列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{an}各項均為正數(shù)，反思感悟借助新數(shù)列與原數(shù)列的關(guān)系，整體代換可以減少運算量.跟蹤訓(xùn)練3

等比數(shù)列{an}中，若a12＝4，a18＝8，求a36的值.解由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比數(shù)列，且

＝2，故a36＝4×24＝64.解從第一年起，每年車的價值(萬元)依次設(shè)為：a1，a2，a3，…，an，由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比數(shù)列定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴n年后車的價值為an+1＝13.5×0.9n萬元.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO等比數(shù)列的實際應(yīng)用典例某人買了一輛價值13.5萬元的新車，專家預(yù)測這種車每年按10%的速度貶值.(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值.(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？解由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(萬元)，∴用滿4年時賣掉這輛車，大概能得到8.9萬元.素養(yǎng)評析

(1)等比數(shù)列實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是：建立數(shù)學(xué)模型即將實際問題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問題，解數(shù)學(xué)模型即解等比數(shù)列問題.(2)發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn).3達(dá)標(biāo)檢測PARTTHREE123451.在等比數(shù)列{an}中，若a2＝8，a5＝64，則公比q為A.2 B.3 C.4 D.8√解析由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.12345√123453.已知等比數(shù)列{an}共有10項，其中奇數(shù)項之積為2，偶數(shù)項之積為64，則其公比是√解析奇數(shù)項之積為2，偶數(shù)項之積為64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，123454.在1與2之間插入6個正數(shù)，使這8個數(shù)成等比數(shù)列，求插入的6個數(shù)的積的值.解設(shè)這8個數(shù)組成的等比數(shù)列為{an}，則a1＝1，a8＝2.插入的6個數(shù)的積為a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.123455.已知an＝2n＋3n，判斷數(shù)列{an}是不是等比數(shù)列？解不是等比數(shù)列.∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a