word可編輯word可編輯/word可編輯中央廣播電視大學(xué)2022學(xué)年度第一學(xué)期“開放本科”期末考試（半開卷）常微分方程試題2022年1月得分評卷人一、單項(xiàng)選擇題（毎小題3分，本題共15分）L積分方程貝Q=1+丄3/勺。）也的解是（ ）.B.=e12?方程衆(zhòng)=3捎過點(diǎn)的解（）.A.只有一個B.只有兩個得分評卷人一、單項(xiàng)選擇題（毎小題3分，本題共15分）L積分方程貝Q=1+丄3/勺。）也的解是（ ）.B.=e12?方程衆(zhòng)=3捎過點(diǎn)的解（）.A.只有一個B.只有兩個C.有無數(shù)個D.只有三個3.方程掣過點(diǎn)（0,0）的解為了=si心,此解的最大存在區(qū)間是（ ）.dxA.(—co,+8)B.[—專，紀(jì)C.(—oo,0]D.[0,+oo)4.方程丈+h=0的任一非零解在（￡,工）平面上（ ）零點(diǎn).A.無B.只有一個432C.只有兩個D.有無窮多個題號一二三四五總分分?jǐn)?shù)-已知方程◎庠+ 工的一個特解為宀又對應(yīng)齊次方程+ 。有一個特解為1心，則原方程的通解為（ ）.A*y=G+C2luz+^c2 B.=Qx+C2Inx+x2C.y—C^2+CtInr+x2 D.r=G±*+C2Inx+x2得分評卷人 二、填空題（每小題3分,本題共15分） 方程等=xtany的所有常數(shù)解是. 7.方程等+ysinx=b的任一解的存在區(qū)間必是..條件是它們的朗斯基行列式向量函數(shù)組YjU）,Y2a）,-,Y?（x）線性相關(guān)的 .條件是它們的朗斯基行列式W(x)=O.二階方程礦+巧'+工勺=。的等價方程組是. dx=10.平面系統(tǒng)〈的奇點(diǎn)0(0,0)的類型是. 10.平面系統(tǒng)〈心-—"T -T- 41At y得分評卷人得分評卷人三、計(jì)算題（毎小題8分，本題共40分）求下列方程的通解或通積分:12.單十2卻=4z.dr13.2xy&x+(x2 )dy=0.y14.y—xy'+yn.15.y3y+1=0.

得分評卷人四、計(jì)算題（本題共15分）16*求下列方程組的通解—x+2va￡得分評卷人四、計(jì)算題（本題共15分）16*求下列方程組的通解—x+2va￡理=4z+3y得分評卷人五、證明題（本題共15分）17.若/（u）在（一co,+s）上連續(xù)可微，且當(dāng)#夭。時,u/（u）<0,求證:方程的任一解y=?。Γ┚?00,+C0）上存在.試卷代號：1076中央廣播電視大學(xué)2022學(xué)年度第-■學(xué)期"開放本科”期末考試（半開卷）常微分方程試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（供參考）2022年1月一、 單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）D 2.C 3.B 4.D 5.A二、 填空題（毎小題3分,本題共15分）y~krc=0,dz1>±2,（—co,+co）必要y~yi9J,,yi，=_"—x2y穩(wěn)定焦點(diǎn)三、 計(jì)算題（毎小題8分，本題共40分）解當(dāng)y^l時,分離變量積分，得TOC\o"1-5"\h\zJ+C （4分）arcsinj*=arcsinr+C3?=sm（arcsinx+C） （8分）解對應(yīng)的齊次方程+2沖=。的通解為以=0彳 （4分）令非齊次方程解為；^=C（x）e_x2代入原方程，得CG）=2或+C原方程通解為以=備"+2 （8分）43513.解因?yàn)镸(x,y)—2xy,N(x,y)~x2 \y3M9dN ZXZZT=dy dx所以，原方程是全微分方程.取，外）=（0,1）,原方程的通積分為w卩12xydx+ d_y=Cio Jiy14.解克萊洛方程,通解為y^Cx+Cz15.解令/翌代入方程，得I15.解令/翌代入方程，得pdp=——積分，得尸號+c=L^*dy=士Jl+Ox'dx y分離變量，積分得［=士|dz+GJ+cyJ原方程的通積分為l+0/=（Gr+G）2四、計(jì)算題（本題共15分）16.解特征方程為號一以一5=0,特征根為Ai=―1?Az=5,Ai=-1和A2=5對應(yīng)的特征向量分別為■11rrf .（3分）（6分）（8分）（8分）（3分）（6分）（8分）（8分）（3分）（5分）（8分）（5分）（12分）故原方程組的通解為「薩一+G （15分）_2e5,_五、證明題（本題共15分）17.證明由已知條件，方程在全平面上滿足存在唯一性定理及解的延展定理?xiàng)l件.（6分）由已知條件容易證明/（0）=0,于是方程有無窮多個常數(shù)解y=mr,”=0,士1,士2,…，它