課時分層作業(yè)四十九直線的傾斜角與斜率、直線的方程一、選擇題(每題5分,共35分)1.設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為α,且sinα+cosα=0,則a,b知足( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【分析】選D.由于sinα+cosα=0,所以tanα=-1.又由于α為傾斜角,所以斜率k=-1.而直線ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.2.直線l過點P(1,0),且與以A(2,1),B(0,)為端點的線段有公共點,則直線l斜率的取值范圍為( )A.[-,1]B.(-∞,-]∪[1,+∞)C.D.∪[1,+∞)【分析】選B.由于kAP==1,kBP==-,所以k∈(-∞,-]∪[1,+∞).3.(2018·開封模擬)過點A(-1,-3),斜率是直線y=3x的斜率的-的直線方程為( )A.3x+4y+15=0B.4x+3y+6=0C.3x+y+6=0D.3x-4y+10=0【分析】選A.設(shè)所求直線的斜率為k,依題意k=-,又直線經(jīng)過點A(-1,-3),所以所求直線方程為y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.4.直線l經(jīng)過點A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率的取值范圍是( )-1-A.-1<k<B.k>1或k<C.k>1或k<D.k>或k<-1【分析】選D.設(shè)直線的斜率為k,則直線方程為y-2=k(x-1),令y=0,得直線l在x軸上的截距為1-,則-3<1-<3,解得k>或k<-1.【一題多解】選D.當(dāng)k=0時,該直線在x軸上的截距不存在,不切合題意,所以可清除A,B,C三個選項.【變式備選】(2018·蘭州模擬)若直線+=1(a>0,b>0)過點(1,1),則a+b的最小值等于( )D.5【分析】選C.由于直線+=1(a>0,b>0)過點(1,1),所以+=1,所以1=+≥2=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號),所以≥2.又a+b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號),所以a+b≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號).【一題多解】選C.由于直線+=1(a>0,b>0)過點(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號).5.(2018·張家口模擬)若直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3,且它的傾斜角是直線x-y=3的傾斜角的2倍,則()A.m=-,n=1B.m=-.n=-3C.m=,n=-3D.m=,n=1【分析】選D.關(guān)于直線mx+ny+3=0,令x=0得y=-,即-=-3,n=1.-2-由于x-y=3的斜率為60°,直線mx+ny+3=0的傾斜角是直線x-y=3的2倍,所以直線mx+ny+3=0的傾斜角為120°,即-=-,m=.6.若直線l:kx-y+2+4k=0(k∈R)交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于B,則當(dāng)△AOB的面積取最小值時直線l的方程為( )A.x-2y+4=0B.x-2y+8=0C.2x-y+4=0D.2x-y+8=0【分析】選B.由l的方程,得A,B(0,2+4k).依題意得解得k>0.由于S=|OA|·|OB|=·|2+4k|==≥(2×8+16)=16.當(dāng)且僅當(dāng)16k=,即k=時,等號建立.此時l的方程為x-2y+8=0.7.經(jīng)過點A(-5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程為( )A.5x+2y=0或x+2y+1=0B.x+2y+1=0C.2x+5y=0或x+2y+1=0D.2x+5y=0【分析】選C.當(dāng)截距為零時,直線方程為y=-x;當(dāng)截距不為零時,設(shè)直線方程為+=1,由于直線過點A(-5,2),所以+=1,計算得b=-,所以直線方程為+=1,即x+2y+1=0.所以所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0.【題目溯源】本考題源于教材人教A版必修2P100習(xí)題3.2A組T5“一條直線經(jīng)過點A(2,-3),而且它的斜率等于直線y=x的斜率的2倍,求這條直線的方程”.【變式備選】已知直線l經(jīng)過點(7,1),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零,求直線l的方程.【分析】當(dāng)直線l經(jīng)過原點時,直線l在兩坐標(biāo)軸上截距均等于0,故直線l的斜率為,-3-所以所求直線方程為y=x,即x-7y=0.當(dāng)直線l可是原點時,設(shè)其方程為+=1,由題意可得a+b=0,①又l經(jīng)過點(7,1),且+=1,②由①②得a=6,b=-6,則l的方程為+=1,即x-y-6=0.故所求直線l的方程為x-7y=0或x-y-6=0.二、填空題(每題5分,共15分)8.若直線y=kx+1與以A(3,2),B(2,3)為端點的線段有公共點,則k的取值范圍是________.【分析】由題可知直線y=kx+1過定點P(0,1),且kPB==1,kPA==,聯(lián)合圖象可知,當(dāng)直線y=kx+1與以A(3,2),B(2,3)為端點的線段有公共點時,k的取值范圍是.答案:9.將直線y=x+-1繞它上邊一點(1,)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°,所獲得的直線方程是________.【分析】由y=x+-1得直線的斜率為1,傾斜角為45°.由于沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°,角變成60°,所以所求直線的斜率為.又由于直線過點(1,),所以直線方程為y-=(x-1),即y=x.答案:y=x10.如圖,射線OA,OB分別與x軸正半軸成45°和30°角,過點P(1,0)作直線AB分別交OA,OB于A,B兩點,當(dāng)AB的中點C恰巧落在直線y=x上時,直線AB的方程為________.【分析】由題意可得kOA=tan45°=1,-4-kOB=tan(180°-30°)=-,所以直線lOA:y=x,lOB:y=-x.設(shè)A(m,m),B(-n,n),所以AB的中點C,由點C在直線y=x上,且A,P,B三點共線得解得m=,所以A(,).又P(1,0),所以kAB=kAP==,所以lAB:y=(x-1),即直線AB的方程為(3+)x-2y-3-=0.答案:(3+)x-2y-3-=01.(5分)(2018·張家口模擬)直線l經(jīng)過A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)兩點,則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A.B.C.D.【分析】選C.直線l的斜率k=tanα==1+m2≥1,所以≤α<.2.(5分)已知直線l過點A(1,2),且傾斜角為直線l0:3x-y-2=0的傾斜角的2倍,則直線l的方程為( )A.x-y+=0B.x-y-3=0-5-C.x+y-3=0D.x+y-=0【分析】選C.直線l0的斜率k0=,所以傾斜角α0=;故直線l的傾斜角α=2α0=,斜率k=-,直線l的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0.【變式備選】已知直線l的斜率為,在y軸上的截距為另一條直線x-2y-4=0的斜率的倒數(shù),則直線l的方程為( )A.y=x+2B.y=x-2C.y=x+D.y=-x+2【分析】選A.由于直線x-2y-4=0的斜率為,所以直線l在y軸上的截距為2,所以直線l的方程為y=x+2.3.(5分)過點P(4,1)作直線l分別交x,y軸正半軸于A,B兩點,當(dāng)△AOB面積最小時,直線l的方程為________.【分析】設(shè)直線方程為+=1,由于直線過點P(4,1),所以+=1.△AOB的面積S=ab.+=1≥2,解得ab≥16,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=8,b=2時取等號,此時△AOB的面積S有最小值8,直線l的方程為+=1,即x+4y-8=0.答案:x+4y-8=04.(12分)(2018·瀘州模擬)求過點A(1,-1)與已知直線l1:2x+y-6=0訂交于B點,且|AB|=5的直線方程.【分析】過點A(1,-1)與y軸平行的直線為x=1.解方程組得B點坐標(biāo)為(1,4),此時|AB|=5,即x=1為所求.-6-設(shè)過點A(1,-1)且與y軸不平行的直線為y+1=k(x-1),解方程組得(k≠-2,不然與已知直線平行).兩直線交點B的坐標(biāo)為.由已知+=52,解得k=-,所以y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0.綜上可知,所求直線的方程為x=1或3x+4y+1=0.5.(13分)已知在△ABC中,點A的坐標(biāo)為(1,3),AB,AC邊上的中線所在直線的方程分別為x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各邊所在直線的方程.【分析】設(shè)AB,AC邊上的中線分別為CD,BE,此中D,E分別為AB,AC的中點,由于點B在中線