4.2一次函數與正比例函數一、學生起點分析在七年級下期學生已經探索了變量之間關系，在此基礎上，本章前一節(jié)繼續(xù)通過對變量關系的考察，讓學生初步體會函數的概念，能判斷兩變量之間的關系是否可看作函數。本節(jié)課進一步研究其中最簡單的一種函數一一一次函數.由于有前面內容的鋪墊，學生已經會建立變量之間的關系，可能有部分學生表述上還不太規(guī)范，在教學中，教師要注意糾正學生的一些錯誤習慣，如將解析式寫成x+y=1,x-y=-1等，培養(yǎng)學生良好的書寫習慣.二、教學任務分析《一次函數》是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級(上)第四章《一次函數》的第二節(jié).本節(jié)內容安排了1個課時：讓學生理解一次函數和正比例函數的概念，能根據已知信息寫出簡單的一次函數表達式，并初步形成利用函數的觀點認識現(xiàn)實世界的意識和能力.與原傳統(tǒng)教材相比，新教材更注重借助生活中的實際背景，讓學生經歷一般規(guī)律的探究過程來理解一次函數和正比例函數的概念；同時，新教材調整了知識的安排順序，原來教材正比例函數在一次函數前面，而新教材是將正比例函數作為一次函數特殊情況給出來的.本節(jié)課教學目標分析是：(1)理解一次函數和正比例函數的概念；(2)能根據所給條件寫出簡單的一次函數表達式.(3)經歷一般規(guī)律的探索過程，發(fā)展學生的抽象思維能力；(4)經歷從實際問題中得到函數關系式這一過程，發(fā)展學生的數學應用能力.(5)體驗生活中的數學的應用價值，感受數學與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學生學數學、用數學的興趣.(6)在探索過程中體驗成功的喜悅，樹立學習的自信心.本節(jié)課教學重點是：理解一次函數和正比例函數的概念.本節(jié)課教學難點是：能根據所給條件寫出簡單的一次函數表達式,發(fā)展學生的抽象思維能力.三、教學過程設計本節(jié)課設計了七個環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié):復習引入；第二環(huán)節(jié)：新課講述；第三環(huán)節(jié)：鞏固練習；第四環(huán)節(jié)：知識提高；第五環(huán)節(jié)：反饋練習；第六環(huán)節(jié)：課堂小結；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè).第一環(huán)節(jié)：復習引入內容：復習上節(jié)課學習的函數，教師提出問題：(1)什么是函數？(2)函數有哪些表示方式？(3)在現(xiàn)實生活中有許多問題都可以歸結為函數問題,大家能不能舉一些例子呢？意圖：為了激發(fā)學生的求知欲望，吸引同學們的注意力，這里采用了“復習舊知識,誘導新內容”的引入方法.問題(1)(2)復習上節(jié)課的內容，問題(3)是讓學生把所學知識運用于實際生活，提高學生的運用意識.效果：問題(1)(2)學生都能快而準的回答，問題⑶是在一個開放的環(huán)境中回答，學生不能很準確的表述出來,可讓學生互相補充,也可教師進行補充、完善.通過學生親身經歷了感受函數在生活中的運用過程，初步形成數學建模的思想，感受成功的喜悅，充分體現(xiàn)了本節(jié)課的情感、態(tài)度目標.若課堂氣氛比較沉悶，也可由教師先舉例，讓學生來列函數表達式，激發(fā)學生的學習激情,再讓學生舉例：(如可補充如下習題)①假設某學生騎自行車的速度為10km/h,則他騎自行車用的時間t(h)和所走過的路程s之間的關系是什么？②上網費用是2元/小時,則上網t(小時)，費用y(元)的關系式是什么？第二環(huán)節(jié)：新課講述內容：例1某彈簧的自然長度為3cm,在彈簧限度內，所掛物體的質量x每增加1kg,彈簧長度y增加0.5cm.(1)計算所掛物體的質量分別為1kg、2kg、3kg、4kg、5kg時的彈簧長度，并填入下表：x/kg012345y/cm⑵你能寫出x與y之間的關系式嗎？答案(1)3、3.5、4、4.5、5、5.5；(2)y30.5x.例2某輛汽車油箱有汽油100L,汽車每行駛5些m耗油9L.⑴完成下表：汽車行駛路程x/km050100150200300油箱剩余汽油量y/L⑵你能寫出x與y之間的關系式嗎？⑶汽車行駛的路程x可以無限增大嗎?有沒有一個取值范圍?剩余油量y呢?答案(1)100、91、82、73、64、46；x與y之間的關系式為y1000.18x；(3)汽車行駛路程x不可能無限增大，因為汽油只有100L,每行駛50km耗油9L,行駛560km后,油箱就沒有油了，所以，不會超過560km.y代表油箱剩余油量,所以y應該小于100但不能小于零.通過觀察、探索、總結，歸納出一次函數與正比例函數的概念：一般地，若兩個變量x,y間的關系式可以表示成ykxb(k,b為常數，k半0)的形式，則稱y是x的一次函數(x是自變量，y為因變量).特別地，當b0時,貝Uy是x的正比例函數.意圖：從生動有趣的問題情景(彈簧的長度、汽車油箱中的余油量)成，通過對一般規(guī)律的探索過程,從實際問題中抽象出一次函數和正比例函數的概念.效果：從兩個具體問題的函數表達式出發(fā)，互相討論，教師在教學上恰當地設疑立障,引導學生大膽猜想,勇于探索,鼓勵學生積極思維，總結出一次函數的定義，提高學生的分析問題、解決問題、總結歸納的能力.主要從函數解析式這一角度去研究一次函數，這是學生第一次正式接觸函數的表達式，教學中可根據學生狀況多加一些例子，讓學生逐步學會從函數表達式去認識函數，進一步掌握一次函數的定義.第三環(huán)節(jié)：鞏固練習內容：3.在函數(1)y-,(2)yx5,(3)y 4x,(4)y2x23x,x⑸y (6)y,中是一次函數的是 ，是正比例函數x2—— 的是二. —— —— —.寸函數y(r3m)x4n4是一次函數，則m,n應滿足的條件是；字是正比例函數,則m,n應滿足的條件是..當k=時，函數y(k3)xk285是關于x的一次函數.意圖：對本節(jié)知識進行鞏固練習. 一—+一效果：學生基本能交好的獨立完成練習題，收到了較好的教學效果.在第3題中，學生易忘記k3半0的條件,而錯誤的將答案寫成土3.第四環(huán)節(jié)：知識提高內容：例3寫出下列各題中x與y之間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數？是否為正比例函數？(1)汽車以60千米/時的速度勻速行駛,行駛路程y(千米)與行駛時間x(時)之間的關系；⑵圓的面積y(厘米2)與它的半徑x(厘米)之間的關系;⑶一棵樹現(xiàn)在高50厘米,每個月長高2厘米，x個月后這棵樹的高度為j(厘米)，則j與x的關系.答案：(1)由路程=速度X時間，得j60x,j是x的一次函數，也是x的正比例函數；(2)由圓的面積公式，得j x2,j不是x的一次函數，也不是x的正比例函數；(3)這棵樹每月長高萬厘米，x個月長高了2x厘米，因而j5020x,j是x的一次函數,但不是x的正比例函數.例4某地區(qū)電話的月租費為25元,在此基礎上,可免費打50次市話(每次3分鐘)，超過50次后，每次0.2元.(1)寫出每月電話費j(元)與通話次數x(x>50)的函數關系式；(2)求出月通話150次的電話費；(3)如果某月通話費為53.6元,求該月通話的次數.分析：解決此類問題首先要理解題意，然后找出相等關系.此題相等關系為：每月通話費=月租費+超過50次后電話費.答案：(1)根據題意得：j25(x50)X0.2，即j0.2x15；(2)當x150時，j=0.2X1501545； = +(3)因為53.6>25，可知通話次數大于50次，即當j53.6時，求x的 = 值.53.60.2x15:解得x193. 一意圖：通過豐富的現(xiàn)實背景的例題，進一步理解一次函數和正比例函數的概念,根據所給的條件寫出簡單的一次函數的表達式，讓學生體會數學的廣泛應用發(fā)展學生的抽象思維能力.充分加強數學與現(xiàn)實的聯(lián)系，促進學生新的認知結構的建立和數學應用能力的發(fā)展.效果：根據已知條件寫出簡單的一次函數的表達式，教學時，學生會出現(xiàn)一定的差異,止匕時,要給予學生足夠的思考時間，必要的時候可組織學生交流討論，而不能是簡單的“告訴”.另外，在教學上還必須注意培養(yǎng)學生的書面表達能力，這些都是邏輯思維訓練的一部分.在例4中的（1）中，易錯解為y250.2x.應讓學生仔細審題，找準等量關系；（2）、（3）兩問是給定自變量的匡求函數數值，這類問題的實質就是解方程.第五環(huán)節(jié)：反饋練習內容：.下列語句中，具有正比例函數關系的是（ ）（A）長方形花壇的面積不變，長y與寬x之間的關系；（B）正方形的周長不變，邊長x與面積S之間的關系；（C）三角形的一條邊不變,這條邊上的高h與面積S之間的關系；（D）圓的面積為S，半徑為r,S與r之間的關系..我國現(xiàn)行個人工資、薪金所得稅征收辦法規(guī)定：月收入低于1600元的部分不收稅；月收入超過1600元但低于2100元的部分征收5%的所得稅……如果某人月收入1960元.他應繳納個人工資、薪金所得稅為（19601600）義5%=18（元）.（1）當月收入大于1600元而又小于2100元時，寫出應繳納所得稅y（元）與月收入x（元）之間的關系式.（2）某人月收入為1760元，他應該繳納所得稅多少元？（3）如果某人本月繳所得稅19.2元，那么此人本月工資、薪金是多少以元？意圖：對本節(jié)知識進行鞏固練習.效果：學生基本能較好地獨立完成練習題，收到了較好的教學效果.在第2題，學生容易遺忘幾何的相關內容，在此教師可作適當的提醒，讓學生更順利地完成習題.第六環(huán)節(jié)：課堂小結內容：這節(jié)課我們學習了一類很有用的函數一一一次函數，只要解析式可以表示成ykxb（k,b為常數，kW0）的形式的函數則稱為一次函數.正比例函數是一次函數當b0時的特殊情形.（方式：師生互相交流總結.）目的：鼓勵學生結合本節(jié)課的學習內容,談談自己的收獲和感想,進一步鞏固本節(jié)課的知識.實際效果：學生暢所欲言自己對本節(jié)課的感受與收獲，都能準確的說出一次函數與正比例函數的概念.但學生容易忽略一次函數與實際生活的聯(lián)系，教師應做適當補充.第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)1.根據下表寫出x,y之間的一個關系式.x10123y2.某電信公司手機的A類收費標準如下：不管通話時間多長，每部手機每月必須繳月租費50元，另外，每通話1分鐘交費0.4元.（1）寫出每月應繳費用y（元）與通話時間x（分）之間的關系式；（2）某手機用戶這個月通話時間為152分，他應繳費多少元？（3）如果該手機用戶本月預交了200元的話費，那么該用戶本月可通話多長時間？.某電信公司手機的B類收費標準如下：沒有月租費，但每通話1分鐘收費0.6元.按照此類收費標準，分別完成第2題中的各小題..根據上面第2,3題中的條件，完成下列各題：（1）若每月平均通話時間為300分，你選擇哪類收費方式？（2）每月通話多長時間時，按A,B兩類收費標準繳費，所交話費相等？四、教學設計反思.本課時在初中數學學習中的重要性函數是初中階段數學學習的一個重要內容，學生又是第一次接觸函數，充分考慮學生的接受能力，本節(jié)從生動有趣的問題情景出發(fā)，通過對一般規(guī)律的探索過程，從實際問題中抽象出一次函數和正比例函數的概念.又通過具有豐富的現(xiàn)實背景的例題，進一步理解一次函數和正比例函數的概念，為下一步學習《一次函數圖象》奠定基礎，并形成用函數觀點認識現(xiàn)實世界的能力與意識..怎樣對學生進行引導本節(jié)課的教學對象是初二學生,他們的參與意識較強，思維活躍,對研究常量的計算問題已掌握了一定的方法，但對函數、變量的變化規(guī)律的學習剛剛開始，抽象概括概念的能力尚顯不足,為此，我力求以下三個方面對學生進行引導：(1)從創(chuàng)設問題情景入手,通過知識再現(xiàn),孕育教學過程；(2)從學生活動出發(fā),通過以舊引新，順勢教學過程；(3)借助探索,通過思維深入,領悟教學過程..注意改進的方面在討論之前，應該留給學生充分的獨立思考的時間，不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考，掩蓋了其他學生的疑問。教師應對小組討論給予適當的指導，包括知識的啟發(fā)引導、學生交流合作中注意的問題及對困難學生的幫助等，使小組合作學習更具實效性。4.4一次函數的應用第1課時確定一次函數的表達式.會確定正比例函數的表達式；(重點).會確定一次函數的表達式.(重點)一、情境導入一、情境導入某農場租用播種機播種小麥，在甲播種機播種2天后，又調來乙播種機參與播種，直至完成800畝的播種任務，播種畝數與天數之間的函數關系如圖.你能通過圖象提供的信息求出y與x之間的關系式嗎？你知道乙播種機參與播種的天數是多少呢？學習了本節(jié)的內容，你就知道了.二、合作探究探究點一：確定正比例函數的表達式'U求正比例函數y=(m—4)m2—15的表達式.解析：本題是利用正比例函數的定義來確定表達式的，即自變量的指數為1,系數不為0,這種類型簡稱為定義式.解：由正比例函數的定義知m2—15=1且m—4W0,；.m=—4,；.y=-8x.方法總結：利用正比例函數的定義確定表達式：自變量的指數為1,系數不為0.探究點二：確定一次函數的表達式［類型一］根據給定的點確定一次函數的表達式已知一次函數的圖象經過(0,5)已知一次函數的圖象經過(0,5)、(2,—5)兩點，求一次函數的表達式.解析：先設一次函數的表達式為y=kx+b,因為它的圖象經過(0,5)、(2,—5)兩點，所以當x=0時，y=5;當x=2時，y=-5.由此可以得到兩個關于k、b的方程，通過解方程即可求出待定系數k和b的值，再代回原設即可.解：設一次函數的表達式為丫=卜乂+b根據題意得，3二b,3二b,—5=2k+b.fk=-5,解得15.，一次函數的表達式為y=-5x+5.方法總結：“兩點式”是求一次函數表達式的基本題型.二次函數y=kx+b中有兩個待定系數k、b,因而需要知道兩個點的坐標才能確定函數的關系式.圖象與y軸的交點，且0A=20B.求正比例函數與一次函數的表達式.解析：根據A(4,3)可以求出正比例函數表達式，利用勾股定理可以求出OA的長，從而可以求出點B的坐標，根據A、B兩點的坐標可以求出一次函數的表達式.解：設正比例函數的表達式為y1=k1x,一次函數的表達式為y2=k2x+b.\?點A(4,3) 3 是它們的交點，.??代入上述表達式中，得3=4k,3=4k+b..?.k=],即正比例函數的表達TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 4… 3 ，—— — 5式為丫=/：04=\：32+42=5,且OA=2OB,???OB=a「?點B在y軸的負半軸上，?,?B點的4 2 5 5一一 .坐標為(0,—[).又二,點B在一次函數y=kx+b的圖象上，.J—5=b,