上節(jié)回顧聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院1、晶體的微觀描述2、晶格的周期性3、幾種常見(jiàn)晶體結(jié)構(gòu)：晶胞、原胞、WS原胞等4、晶胞體積計(jì)算、致密度及其計(jì)算、配位數(shù)等第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院1.4%C鋼奧氏體加熱至850℃左右淬火馬氏體思索1晶體的各向異性晶向指數(shù)思索2不同原子面晶面指數(shù)思索3組織轉(zhuǎn)變K-S關(guān)系：思索3結(jié)構(gòu)測(cè)定第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院3）晶帶及晶帶軸指數(shù)的標(biāo)定本節(jié)重點(diǎn)1）晶向指數(shù)的標(biāo)定；2）晶面指數(shù)的標(biāo)定；第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院通過(guò)晶格隨意兩格點(diǎn)作始終線，這始終線稱為晶列。兩格點(diǎn)之間的距離稱為晶列的周期。1、晶列晶體的一個(gè)基本特點(diǎn)是具有方向性，即各向異性，沿晶格的不同方向晶體性質(zhì)不同。假如一平行直線族把格點(diǎn)包括無(wú)遺，且每始終線上都有格點(diǎn)，則稱這些直線為同一族晶列第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院晶列的特點(diǎn)：1、取向；2、晶列上格點(diǎn)的周期；3、相鄰晶列之間的距離必定相等。2.晶向在晶格中，每一個(gè)晶列定義了一個(gè)方向，稱為晶向。利用晶向指數(shù)來(lái)表示晶向。第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院4）將這三個(gè)值乘以公倍數(shù)，化簡(jiǎn)為最小整數(shù)l1、l2、l3，加上方括號(hào)，則[l1

l2

l3]即為AB晶向的晶向指數(shù)。晶向指數(shù)的標(biāo)定1）以晶胞的某一陣點(diǎn)為原點(diǎn)，三個(gè)基矢方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，并以點(diǎn)陣基矢的長(zhǎng)度分別作為三個(gè)坐標(biāo)的單位長(zhǎng)度；2）過(guò)原點(diǎn)做始終線，使其平行于待標(biāo)定的晶向，且方向一樣；3）在直線上選取距原點(diǎn)最近的格點(diǎn)，確定該格點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)值；D第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院例簡(jiǎn)潔立方結(jié)構(gòu)中DC晶向指數(shù)解：在紅色的坐標(biāo)系中

DC：[110]在藍(lán)色的坐標(biāo)系中

DC：3)晶向指數(shù)表示的是一組相互平行、方向一樣的直線。若兩直線相互平行但方向相反，則它們的晶向指數(shù)數(shù)字取相反數(shù)。留意：1)當(dāng)涉及到負(fù)的指數(shù)，按慣例負(fù)值的指數(shù)是用數(shù)字上面加一橫;2)建立不同的坐標(biāo)系，所標(biāo)定的晶向指數(shù)數(shù)字相同，為了比較，坐標(biāo)系只移動(dòng)，不轉(zhuǎn)動(dòng)。BA第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院晶向指數(shù)的另一標(biāo)定方法-數(shù)學(xué)法確定了原點(diǎn)和三個(gè)基矢，然后確定所要標(biāo)定晶向兩端的坐標(biāo)值，設(shè)格點(diǎn)A(x1，x2，x3)和另一格點(diǎn)B(x1’，x2’，x3’)，則晶向AB的指數(shù)為：[x1’-x1，x2’-x2，x3’-x3]

（取互質(zhì)整數(shù)）例已知簡(jiǎn)潔立方結(jié)構(gòu)中的晶格常數(shù)a，AA1=BB1=a/3，試確定BA的晶向指數(shù)解：A(1，1，2/3)和B(0，1，1/3)，則BA的指數(shù)為[1，0，1/3]，乘以最小公倍數(shù)，得到BA的晶向指數(shù)[301]

而表示晶向指數(shù)為[x1’-x1，x2’-x2，x3’-x3]

的方向矢量為第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院OABCDE

例：如圖在立方體中，D是BC的中點(diǎn)，求BE,AD的晶向指數(shù)。解：1)晶列BE的晶向指數(shù)為：[011]AD的晶向指數(shù)為:2)晶向(11-1)晶向[11-1]晶向(111)晶向[111]第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院3、晶向族在晶向的標(biāo)定過(guò)程中，可以發(fā)覺(jué)在立方結(jié)構(gòu)中，存在四條體對(duì)角線，八個(gè)不同晶向由于晶體的對(duì)稱性，這一組晶向在性質(zhì)上是等同的，因此稱性質(zhì)相同的晶向?yàn)榫蜃澹ɑ虻刃Ь颍?，用角括?hào)表示：<l1l2l3>例<100><110>第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院4、已知晶向標(biāo)出位置例已知在簡(jiǎn)潔立方晶格中如下的晶向指數(shù)：[111]，[101]，[122]，標(biāo)出其在晶體結(jié)構(gòu)中的位置。解：如圖[111][101][122]第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院5、晶面假設(shè)全部的格點(diǎn)都分布在相互平行的一組平面上（如圖），這樣的平面稱為晶面。這一組晶面平行等距，其特征有二：1）晶面的方位，2）晶面的間距。所謂晶面的方位就是說(shuō)在具體探討晶體時(shí)，常常要談到某些具體晶面，因此，須要有確定的方法來(lái)標(biāo)記不同的晶面。要描述一個(gè)晶面的方位，就是在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)表示出該平面的法線的方向余弦，或著表示出這平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距。第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院A2A3OA1Nd如圖取一格點(diǎn)為頂點(diǎn)，原胞的三個(gè)基矢為坐標(biāo)系的三個(gè)軸。，則有設(shè)某一晶面與三個(gè)坐標(biāo)軸分別交于A1,A2,A3,設(shè)晶面的法線ON交晶面A1A2A3于N，ON長(zhǎng)度為d，d為相鄰晶面間的距離，為整數(shù)，該晶面法線方向的單位矢量用表示。并且第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院A2A3OA1Nd可見(jiàn)晶面的法線方向與三個(gè)坐標(biāo)軸(基矢)的夾角的余弦之比，等于晶面在三個(gè)軸上的截距的倒數(shù)之比。第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院A2A3OA1Nda1a3a2A3A2A1n另外由于平行晶面把格點(diǎn)包括無(wú)遺，則基矢末端的格點(diǎn)必定落在和A1A2A3平行晶面上。設(shè)基矢末端分別落在離原點(diǎn)為h1d、h2d、h3d的晶面上，法線單位矢量為n，則有第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院又由于晶體結(jié)構(gòu)確定，a1、a2、a3確定，可見(jiàn)，若h1、h2、h3已知，則晶面法線矢量的方向余弦，即晶面的方位就確定了。因此可用h1、h2、h3來(lái)表征晶面方位。稱(h1h2h3)為晶面指數(shù)。第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院因?yàn)閔1、h2、h3為整數(shù)，所以r、s、t必為有理數(shù)。并且可以證明h1，h2，h3確定互質(zhì)，稱它們?yōu)樵摼孀宓拿嬷笖?shù)，記為(h1h2h3)。綜上所述，晶面指數(shù)(h1h2h3

)表示的意義是；(1)基矢被平行的晶面等間距的分割成h1、h2、h3

等份；(2)以為各軸的長(zhǎng)度單位所求得的晶面在坐標(biāo)軸上的截距倒數(shù)的互質(zhì)比；(4)最靠近原點(diǎn)的晶面在坐標(biāo)軸上的截距分別為其他晶面的截距為這組最小截距的整數(shù)倍。(3)晶面的法線與基矢夾角的方向余弦的比值。第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院4)將求得h、k、l用圓括號(hào)括起來(lái)，則(hkl)即為該晶面的晶面指數(shù)。總上，晶面指數(shù)的標(biāo)定步驟如下：1)以晶胞的某一陣點(diǎn)為原點(diǎn)(但不能將原點(diǎn)選在待確定指數(shù)的晶面上)，三個(gè)基矢為坐標(biāo)軸，并以點(diǎn)陣基矢的長(zhǎng)度分別作為三個(gè)坐標(biāo)的單位長(zhǎng)度；2)以點(diǎn)陣基矢的長(zhǎng)度為單位，量出待定晶面在各坐標(biāo)軸上的截距;3)取三個(gè)截距的倒數(shù)，并以最小公倍數(shù)乘以這三個(gè)倒數(shù)，得到三個(gè)最小的整數(shù)h、k、l，留意：1)若晶面在坐標(biāo)軸上截距為負(fù)，則在相應(yīng)的指數(shù)上加一橫；第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院3)在原胞基矢坐標(biāo)系中求出的面指數(shù)用(h1h2h3)表示；而在晶胞基矢坐標(biāo)系求出的面指數(shù)用(hkl)表示，稱為密勒指數(shù)。二者是不同的。不同的晶體結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)關(guān)系是不同的。

2)平行晶面的晶面指數(shù)相同，或數(shù)字相同而正負(fù)相反。應(yīng)用：

1)已知晶體結(jié)構(gòu)（晶胞），標(biāo)出某一晶面的面指數(shù)；2)已知晶體結(jié)構(gòu)和某一晶面的面指數(shù)，在晶體結(jié)構(gòu)（晶胞）中標(biāo)出某一晶面；第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院OABCDEFGHI

例2：如圖所示，I和H分別為BC，EF之中點(diǎn)，試求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密勒指數(shù)。AEG

ABCD

DIHGOEFG111121abc在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距

解答1:1:1化整得(hkl)(111)(001)(120)取倒數(shù)之比0第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院ABCDEFG例3:在立方晶系中畫出(210)、晶面。晶面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為：1(210)11密勒指數(shù)是(210)

的晶面是ABCD面；(121)密勒指數(shù)是

的晶面是EFG面；

解答第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院在晶體系中，某些晶面的性質(zhì)是相同的，它們的晶面指數(shù)數(shù)字相同但排列依次不同，這些晶面稱為同一晶面族（或等效晶面）。用{hkl}表示。如{100}，{111}等。6、晶面族（等效晶面）第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院例、證明：簡(jiǎn)潔立方晶格中晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)zxyACBO證明：設(shè)晶格常數(shù)為a，晶向[hkl]的方向矢量可以寫成：依據(jù)晶面密勒指數(shù)定義距原點(diǎn)最近的平面ABC在三個(gè)晶軸上的截距分別則ABC平面中的兩矢量AB和BC分別為則所以簡(jiǎn)潔立方晶格中晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)zxyACBO證明：對(duì)于正交系，設(shè)晶格常數(shù)為a、b、c，晶向[hkl]的方向矢量可以寫成：依據(jù)晶面密勒指數(shù)定義距原點(diǎn)最近的平面ABC在三個(gè)晶軸上的截距分別則ABC平面中的兩矢量AB和BC分別為則所以上述結(jié)論只適合立方晶系和三角晶系第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院7、晶帶及晶帶軸（010）（100）（010）（110）[001]C晶帶軸如圖畫有陰影線的晶面都屬于[001]晶帶軸。同一晶帶中各晶面的法線都與晶帶軸垂直。相交于同始終線或平行于同始終線的一組晶面組成一個(gè)晶帶。這一組晶面叫做共帶面，而該直線(用晶向指數(shù)表示)叫做晶帶軸。留意：第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院hu+kv+lw=0晶帶定理晶帶軸指數(shù)的確定：--用到晶帶定理設(shè)晶帶軸的晶向指數(shù)為[uvw]，由矢量代數(shù)可知，該晶帶中任一晶面(hkl)與晶帶軸指數(shù)間具有如下關(guān)系：

若已知晶帶中兩個(gè)晶面指數(shù)分別為(h1k1l1)和(h2k2l2)，晶帶軸的晶向指數(shù)為[uvw]，則

(k1l2-k2l1)：(l1h2-l2h1)：(h1k2-h2k1)適合全部晶系第四節(jié)晶列晶向指數(shù)與晶面指數(shù)聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院但為了便利，一般接受交叉法求解。設(shè)兩個(gè)非平行晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，它們的晶帶軸為：去掉第一列和最終一列，得到三個(gè)二介行列式，則u：v：w=(k1l2-k2l1)：(l1h2-l2h1)：(h1k2-h2k1)由此得出在立方晶系中，隨意三個(gè)非平行晶面(h1k1l1)和(h