學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)秒殺數(shù)學(xué)第一章立體幾何專題7線面垂直的判定與證明秒殺秘籍：第一講在被垂直平面找垂直（鱉臑法則）定理：若一條直線垂直于一個平面，如果在被垂直的平面內(nèi)找到相互垂直的兩條線（與相交），則與異面的直線垂直于和構(gòu)成的平面．鱉臑是最典型的例子．當(dāng)出現(xiàn)重垂線PA時，就需要在水平面ACB內(nèi)找到兩條垂直相交的直線，由于AC與重垂線PA相交，故能得到，同理，PAC作為被垂直的平面，在平面內(nèi)找到，BC與PC相交，故可以得到，PBC作為被垂直的平面，需要在這個面內(nèi)找到垂直的兩條直線，當(dāng)時（或），能得到．具體書寫格式：，同理【例1】已知中，面，，求證：面．【證明】，同理．【例2】已知是矩形，平面，，，E為BC的中點．求證：平面；（2）求直線與平面所成的角．【證明】(1)在中，，∵平面，平面，又，平面【解析】（2）為與平面所成的角在，，在中，在中，，．【小結(jié)】按照推導(dǎo)式寫的證明步驟比傳統(tǒng)方式更簡潔明了．【例3】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，分別是，的中點．求證：（1）直線EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．【證明】（1）在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD．又因為EF平面PCD，PD?平面PCD，所以直線EF∥平面PCD．（2）連接BD．因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因為F是AD的中點，所以BF⊥AD．因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD．又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．【例4】如圖，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是正三角形，AB＝BC＝2CD．在線段BE上是否存在一點F，使CF∥平面ADE？（2）求證：平面ADE⊥平面ABE．【解析】（1）當(dāng)F為BE的中點時，CF∥平面ADE．【證明】取BE的中點F，AE的中點G，連接FG、GD、CF，∴GF＝eq\f(1,2)AB，GF∥AB．∵DC＝eq\f(1,2)AB，CD∥AB，∴CD∥GF．∴四邊形CFGD是平行四邊形．∴CF∥GD．又CF平面ADE，DG平面ADE，∴CF∥平面ADE．（2）∵CF⊥BF，CF⊥AB，∴CF⊥平面ABE．∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE．∵DG⊥平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．秒殺秘籍：第二講等腰三角形三線合一構(gòu)造法在沒有特殊的重垂線和水平面，證一些線面垂直則需要一些特殊的幾何性質(zhì),由有著共底邊的兩個等腰三角形構(gòu)成的立體圖形，則兩個頂點的連線一定垂直于底邊．【例5】如圖，已知空間四邊形中，，，E是AB的中點．求證：（1）平面CDE；（2）平面平面ABC．【證明】（1）同理，又∵∴平面由（1）有平面又∵平面，∴平面平面【例6】如圖，在四棱錐中，底面是且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面．若G為AD的中點，求證：平面PAD；（2）求證：．【證明】（1）為等邊三角形且為的中點，又平面平面，平面；（2）是等邊三角形且為的中點，且，，平面，平面，．1．（2018?江蘇）在平行六面體中，，．求證：平面平面．2．（2018?新課標Ⅲ）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．求證：平面平面．3．（2018?北京）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，分別為，的中點．（1）求證：；（2）求證：平面平面．4．（2018?新課標Ⅰ）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將折起，使點到達點的位置，且．（1）求證：平面平面；（2）為線段上一點，為線段上一點，且，求三棱錐的體積．5．（2017?新課標Ⅰ）如圖，在四棱錐中，，且．（1）求證：平面平面；（2）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．6．（2017?山東）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點，為的中點，平面，設(shè)是的中點，求證：平面平面．7．（2016?江蘇）如圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點，點在側(cè)棱上，且，．求證：平面平面．8．（2016?四川）如圖，在四棱錐中，，，，．求證：平面平面．9．（2015?新課標Ⅰ）如圖，四邊形為菱形，為與的交點，平面．（1）求證：平面平面；（2）若，，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積．

10．（2015?重慶）如圖，三棱錐中，平面平面，，點、在線段上，且，，點在線段上，且．（1）求證：平面；（2）若四棱錐的體積為7，求線段的長．11．（2015?陜西）如圖，在直角梯形中，，，，是的中點，是與的交點．將沿折起到如圖2中△的位置，得到四棱錐．（1）求證：平面；（2）當(dāng)平面平面時，四棱錐的體積為，求的值．12．（2015?福建）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，垂直于圓所在的平面，且，（1）若為線段的中點，求證；平面；（2）求三棱錐體積的最大值；（3）若，點在線段上，求的最小值．

13．（2014?江蘇）如圖，在三棱錐中，，，分別為棱，，的中點，已知，，，．求證：平面平面．14．（2014?福建）如圖，三棱錐中，平面，．（1）求證：平面；（2）若，為中點，求三棱錐的體積．15．（2019?南通模擬）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，平面平面，點為上一點．求證：平面平面．16．（2019?揭陽二模）已知如圖，長方體中，，，點，，分別為，，的中點，過點的平面與平面平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個幾何圖形．（1）在圖中畫出這個幾何圖形，并求這個幾何圖形的面積（畫圖說出作法，不用說明理由）；（2）求證：平面．

17．（2019?四川模擬）如圖，在三棱柱中，已知點在棱上，且，點在線段上，且，且，．求證：平面平面．18．（2019?沭陽期中）如圖，是的直徑，點是上的動點，垂直于所在的平面．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，，求點到平面的距離．19．（2019?聊城二模）如圖，四邊形