地理加權(quán)回歸模型介紹TingBaowasrevisedonJanuary6,20021第三章地理加權(quán)回歸模型介紹基本模型在地學(xué)空間分析中，n組觀測數(shù)據(jù)通常是在n個不同地理位置上獲取的樣本數(shù)據(jù)，全局空間回歸模型就是假定回歸參數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的地理位置無關(guān)，或者說在整個空間研究區(qū)域內(nèi)保持穩(wěn)定一致，那么在n個不同地理位置上獲取的樣本數(shù)據(jù)，就等同于在同一地理位置上獲取的n個樣本數(shù)據(jù)，其回歸模型與最小二乘法回歸模型相同，采用最小二乘估計得到的回歸參數(shù)戶既是該點的最優(yōu)無偏估計，也是研究區(qū)域內(nèi)所有點上的最優(yōu)無偏估計。而在實際問題研究中我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)回歸參數(shù)在不同地理位置上往往表現(xiàn)為不同，也就是說回歸參數(shù)隨地理位置變化，這時如果仍然采用全局空間回歸模型，得到的回歸參數(shù)估計將是回歸參數(shù)在整個研究區(qū)域內(nèi)的平均值，不能反映回歸參數(shù)的真實空間特征。為了解決這一問題，國外有些學(xué)者提出了空間變參數(shù)回歸模型（SpatiallyVarying-CoeffiCientRegressionModel）（FosterandGorr，1986；GorrandOlligschlaeger，1994），將數(shù)據(jù)的空間結(jié)構(gòu)嵌入回歸模型中，使回歸參數(shù)變成觀測點地理位置的函數(shù)。Fortheringham等（Brunsdonetal，1996；Fortheringhametal，1997；Brunsdonetal，1998）在空間變系數(shù)回歸模型基礎(chǔ)上利用局部光滑思想，提出了地理加權(quán)回歸模型（GeographicallyWeightedRegressionModel-GWR）。地理加權(quán)回歸模型（GWR）是對普通線性回歸模型（OLR）的擴展，將樣點數(shù)據(jù)的地理位置嵌入到回歸參數(shù)之中，即：y.=吐—門+￡禺@門匚卞就十5」=12…，刀式中：（u，v）為第i個樣點的坐標(biāo)（如經(jīng)緯度）；B（u，v）是第i個樣點iikii的第k個回歸參數(shù)；￡是第i個樣點的隨機誤差。為了表述方便，我們將上式簡寫i為：若］=2=???=，則地理加權(quán)回歸模型（GWR）就退變?yōu)槠胀ň€性回歸模型（OLR）。Fotheringhametal依據(jù)“接近位置i的觀察數(shù)據(jù)比那些離i位置遠(yuǎn)一些的數(shù)據(jù)對的估計有更多的影響"（Fotheringhametal，1996）的思想，利用加權(quán)最小二乘法來估計參數(shù)，得

其中：其中：0血…0血，匕)0血叫)件仏山)…0血』J■■■?**!■!■*rkrfa0仏七)仗仏心)…0血七).亠是B的估計值，n是空間樣點數(shù)，k是自變量的個數(shù)，W.是對位置i刻畫模型in時賦予數(shù)據(jù)點n的權(quán)重。由于地理加權(quán)回歸模型中的回歸參數(shù)在每個數(shù)據(jù)采樣點上都是不同的，因此其未知參數(shù)的個數(shù)為nX(P+1),遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于觀測個數(shù)n,這樣就不能直接利用參數(shù)回歸估計方法估計其中的未知參數(shù)，而一些非參數(shù)光滑方法為擬合該模型提供了一個可行的思路。Foste&Gorr(1986)和Gorr&Olligsehiaeger(1994)利用廣義阻尼負(fù)反饋(generalizeddampednegativefeedback)方法估計未知參數(shù)在各地理位置的值，這種估計方法只是在很直觀的意義上考慮數(shù)據(jù)的空間結(jié)構(gòu)，加之估計方法較為復(fù)雜，很難對估計量作深入的統(tǒng)計推斷方面的研究。Brunsdon等(1996)在局部多項式光滑思想上提出了偏差和方差折衷(Bias-VarianceTrade-off)的解題思路：假設(shè)回歸參數(shù)為一連續(xù)表面，位置相鄰的回歸參數(shù)非常相似，在估計采樣點i的回歸參數(shù)時，以采樣點i及其鄰域采樣點上的觀測值構(gòu)成局域子樣，建立全局線性回歸模型，然后采用最小二乘方法得到回歸參數(shù)估計亠(k=0,1,2,…，p)。對于另一個采樣點，i+1采用另一個相應(yīng)的局域子樣來估計，以此類推。由于在回歸分析過程中，以其它采樣點上的觀測值來估計i點上的回歸參數(shù)，因此得到的i點上的參數(shù)估計不可避免存在偏差，即參數(shù)估計為有偏估計。顯然，參與回歸估計的子樣規(guī)模越大，參數(shù)估計的偏差就越大，參與回歸估計的子樣規(guī)模越小，參數(shù)估計的偏差就越小。從降低偏差這一角度考慮因盡量減少子樣規(guī)模，但子樣規(guī)模的減少必然導(dǎo)致回歸參數(shù)估計值的方差增加，精度降低?？臻g權(quán)函數(shù)的選擇空間權(quán)重矩陣是地理加權(quán)回歸模型（GWR）的核心（Brunsdonetal,2000），空間權(quán)函數(shù)的選取對地理加權(quán)回歸模型（GWR）的參數(shù)估計影響很大。（1）距離閾值法距離閾值法是最簡單的空間權(quán)函數(shù)，它的關(guān)鍵是選取合適的距離閾值D,然后將數(shù)據(jù)點j與回歸點i之間的距離d與其進行比較，若大于該閾值則權(quán)重為0,否則為ij1，即卩■」〔0兀＞D這種權(quán)重函數(shù)的實質(zhì)就是一個移動窗口，計算雖然簡單，但其缺點為函數(shù)不連續(xù)，因此在地理加權(quán)回歸模型的參數(shù)估計中不宜采用。（2）距離反比法Tobler（1970）地理學(xué)第一定律認(rèn)為空間相近的地物比相遠(yuǎn)的地物具有更強的相關(guān)性，因此在估計回歸點i的參數(shù)時，應(yīng)對回歸點的鄰域給予更多的關(guān)注。根據(jù)這種思路，人們自然想到用距離來衡量這種空間關(guān)系：這里a為合適的常數(shù)，當(dāng)a取值為1或2時，對應(yīng)的是距離倒數(shù)和距離倒數(shù)的平方。這種方法簡潔明了，但對于回歸點本身也是樣本數(shù)據(jù)點的情況，就會出現(xiàn)回歸點觀測值權(quán)重?zé)o窮大的情況，若要從樣本數(shù)據(jù)中剔除卻又會大大降低參數(shù)估計精度，所以距離反比法在地理加權(quán)回歸模型參數(shù)估計中也不宜直接采用，需要對其進行修正。（3）高斯（Gauss）函數(shù)法高斯（Gauss）函數(shù)法就是表示w與d之間的連續(xù)單調(diào)遞減函數(shù)，可以克服上述ijij空間權(quán)函數(shù)不連續(xù)的缺點。其函數(shù)形式如下：J=旳（-仏"）'）

式中是描述權(quán)重與距離之間函數(shù)關(guān)系的非負(fù)衰減參數(shù)，稱之為帶寬（Bandwidth）。帶寬越大，權(quán)重隨距離增加衰減的越慢，帶寬越小，權(quán)重隨距離增加衰減的越快。（3）bi-square函數(shù)法在實際中，往往會將對回歸參數(shù)估計幾乎沒有影響的數(shù)據(jù)點截掉，不予計算，并以有限高斯函數(shù)來代替高斯函數(shù)，最常采用的便是bi-square函數(shù)（Bmndonetal，1997；Fotheringhametal，1998）：

1997；Fotheringhametal，1998）：從上式可以看出，bi-square函數(shù)法可以看成是距離閾值法和高斯（Gauss）函數(shù)法的結(jié)合。帶寬范圍內(nèi)的回歸點，可以通過有限高斯函數(shù)來計算數(shù)據(jù)點的權(quán)重，而帶寬之外的數(shù)據(jù)點權(quán)重為0。本文分別選用高斯（Gauss）函數(shù)和bi-square函數(shù)兩類空間權(quán)函數(shù)方法進行地理加權(quán)回歸模型（GWR）的分析。帶寬的確定與優(yōu)化地理加權(quán)回歸分析對高斯（Gauss）權(quán)函數(shù)和bi-square權(quán)函數(shù)的選擇并不是很敏感，但對特定權(quán)函數(shù)的帶寬卻很敏感。因此，帶寬的確定是地理加權(quán)回歸分析巾的關(guān)鍵。

(c)bi^square權(quán)函數(shù)(c)bi^square權(quán)函數(shù)("=3〉(<J)ht-squareIV函數(shù)(乃=10)圖不同權(quán)函數(shù)與帶寬選擇對參數(shù)估計的影響在實際應(yīng)用中我們發(fā)現(xiàn)，地理加權(quán)回歸分析對Gauss權(quán)函數(shù)和bi-Squar權(quán)函數(shù)的選擇并不是很敏感，但對特定權(quán)函數(shù)的帶寬卻很敏感（如圖），帶寬過大回歸參數(shù)估計的偏差過大，帶寬過小又會導(dǎo)致回歸參數(shù)估計的方差過大。最小二乘平方和是最常采用的優(yōu)化原則之一，但對于地理加權(quán)回歸分析中的帶寬選擇卻失去了作用，這是因為對Y_1［—亠（）］2=而言，帶寬b越小，參與回歸分析的數(shù)據(jù)點的權(quán)=重越小，預(yù)測值亠（）越接近實際觀測值從而Y=」一亠（）］2?0,也就是說最優(yōu)帶是只包含一個樣本點的狹小區(qū)域。（1）交叉驗證方法基于此，Cleveland（1979）、Bowman（1984）建議采用用于局域回歸分析的交叉驗證方法（cross-validation，CV），該方法的公式表達為：cv=￡［幾-九⑹］其中，亠工()是的擬和值，在刻畫過程中省略了點i的觀測值得。這樣當(dāng)b變得很小時，模型僅僅刻畫點i附近樣點而沒有包括i本身。在實際應(yīng)用中為了減少計算量，Loader于1999年提出了一種近似交叉驗證統(tǒng)計量的方法，稱為廣義交叉驗證方法(generalizedcrossvalidation，GCV)：t￡(另-戈(對GCV=一r二丹(1_"(￡少)⑷)(?-fr(S(A))由帽子矩陣s的構(gòu)成可知，當(dāng)帶寬很小時，地理加權(quán)回歸分析的有效參數(shù)個數(shù)趨近樣本數(shù)量n，上式中的分母趨于零，這樣即便預(yù)測值亠()趨向y『GCV也不會等于0。(2)AIC準(zhǔn)則Akaike通過對極大似然原理的估計參數(shù)方法加以修正，提出了一種較為一般的模型選擇準(zhǔn)則，稱為Akaike信息量準(zhǔn)則(AkaikeInformationCriterion，AIC)。AIC定義為(Akaike，1974)：AIC二-21,蠱)+羽其中，亠為。的極大似然估計，Q為未知參數(shù)的個數(shù)。AIC準(zhǔn)則應(yīng)用比較廣泛，Hurvichetal將AIC準(zhǔn)則擴展到非參數(shù)回歸分析中的光滑參數(shù)選擇(Hurvichetal，1998)，Brunsdon和Fotheringham則在Hurvich等研究基礎(chǔ)上將其進一步用于地理加權(quán)回歸分析中的權(quán)函數(shù)帶寬選擇(Brunsdonet2002)，其公式為：2002)，其公式為：al，2002；Fotheringhametal，其中，下標(biāo)C表示“修正后的”AIC估計值，n是樣點的大小，亠是誤差項估計的標(biāo)準(zhǔn)離差，tr(S)是GWR的S矩陣的跡，它是帶寬的函數(shù)。AIC有利于評價GWR模型是否比OLS模型更好地模擬數(shù)據(jù)。其簡單形式表示為：AIC=2刀ln(cr)+nln(2^)十刀卡rr(51)3)貝葉斯信息準(zhǔn)則1978年SehwartZ提出了貝葉斯信息準(zhǔn)則(BayesianInformationCriterion,BIC)，該準(zhǔn)則可以使自回歸模型的階數(shù)適中，故常被用來確定回歸模型中的最優(yōu)階數(shù)，2002年Nakaya將其用于地理加權(quán)回歸分析中的權(quán)函數(shù)帶寬選擇。BIC準(zhǔn)則與AIC準(zhǔn)則非常相似，只是懲罰因子不同，其公式為BIC=-21n￡<^Tx)+^lnn式中為e的極大似然估計，q為未知參數(shù)