概率論基礎(chǔ)知識

第一章隨機事件及其概率

-隨機事件

§1幾個概念

1、隨機實驗:滿足下列三個條件的試驗稱為|隨機網(wǎng)；(1)試驗可在相同條件下重復(fù)進行；(2)試驗的

可能結(jié)果不止一個,且所有可能結(jié)果是已知的;(3)每次試驗?zāi)膫€結(jié)果出現(xiàn)是耒翅的；隨機試驗以后簡

稱為試驗，并常記為E。

例如：E,：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的總數(shù)；E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；

E3：觀察某電話交換臺在某段時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。

2、隨機事件：在試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機事件:常記為A,B,C

例如，在日中，A表示“擲出2點”，B表示“擲出偶數(shù)點”均為隨機事件。

3、必然事件與不可能事件：每次試驗必發(fā)生的事情稱為必然事件,記為Q。每次試驗都不可能發(fā)生的

事情稱為|不可能事件|，記為中。

例如，在E1中，“擲出不大于6點”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點”的事件便是不可能事

件,以后，隨機事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為甌用。

4、基本事件：試驗中直接觀察到的最簡單的結(jié)果稱為基本事件

例如，在E］中，“擲出1點”，“擲出2點”，……，"擲出6點”均為此試驗的基本事件。

由基本事件構(gòu)成的事件稱為復(fù)僉事件，例如，在E1中“擲出偶數(shù)點”便是復(fù)合事件。

5、樣本空間：從集合觀點看，稱構(gòu)成基本事件的元素為樣本點，常記為e.

例如，在巳中，用數(shù)字1,2,……，6表示擲出的點數(shù)，而由它們分別構(gòu)成的單點集{1},{2},…{6}

便是E］中的基本事件。在E?中，用H表示正面，T表示反面，此試驗的樣本點有(H,H),(H,T),

(T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}顯然，任何

事件均為某些樣本點構(gòu)成的集合。

例如，在E1中“擲出偶數(shù)點”的事件便可表為［2,4,6}。試驗中所有樣本點構(gòu)成的集合稱為樣本

空間。記為

例如，

在Ei中，Q={1,2,3,4,5,6)

第1頁

在E2中，Q={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}

在E3中，Q={0,1,2,……}

例1，一條新建鐵路共10個車站，從它們所有車票中任取?張，觀察取得車票的票種。

此試驗樣本空間所有樣本點的個數(shù)為N產(chǎn)P2H)=9().(排列：和順序有關(guān)，如北京至天津、天津至北京)

10

若觀察的是取得車票的票價，則該試驗樣本空間中所有樣本點的個數(shù)為Nn-||-45

I2J(組合)

例2.隨機地將15名新生平均分配到三個班級中去，觀察15名新生分配的情況。此試驗的樣本空間所

有樣本點的個數(shù)為

%慨）7第種方法用組合+乘法原理；第二種方法用排列

§2事件間的關(guān)系與運算

1、包含：“若事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A,記為A匚B或B二必。

例如，在Ei中,令A(yù)表示“擲出2點”的事件,即A={2}

B表示“擲出偶數(shù)”的事件，即B={2,4,6}則AcB

2、相等：若AUB且B匚A,則稱事件A等于事件B,記為A=B

例如，從?付52張的撲克牌中任取4張，令A(yù)表示“取得到少有3張紅桃”

的事件；B表示“取得至多有一張不是紅桃”的事件。顯然A=B

A=B

3、和：稱事件A與事件B至少有一個發(fā)生的事件為A與B的和事件簡稱為和，記為AUB,或A+B

例如，甲，乙兩人向目標射擊，令A(yù)表示“甲擊中目標”的事件，B表示“乙

擊中目標”的事件，則AUB表示“目標被擊中”的事件。

推廣：

AUB

Ij4-4U4UU4-(4.41,……2"一個發(fā)韁

有限個1

ClA-4U41U.…“.?…至娟一個發(fā)到

無窮可列個

4、積：稱事件A與事件B同時發(fā)生的事件為A與B的積事件，簡稱為積，記為Af|B或AB。

例如，在E3中，即觀察某電話交換臺在某時刻接到的呼喚次數(shù)中，令人=｛接到偶數(shù)次呼喚｝,B=｛接到

奇數(shù)次呼喚｝,則AC|B=｛接到6的倍數(shù)次呼喚｝

HA■44……4“….汨時發(fā)生)任意有限個

HA-44…….……同時發(fā)生）

無窮可列個

5、差：稱事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A減B的差事件簡稱為差，記為A-B。

例如，測量晶體管的B參數(shù)值，令A(yù)=｛測得B值不超過50｝,B=｛測得B值

不超過100｝,則，A-B=4>,B-A=｛測得B值為50<BW100｝

6、互不相容：若事件A與事件B不能同時發(fā)生，即AB=4>,則稱A與B是互不相容的。

例如，觀察某定義通路口在某時刻的紅綠燈：若人=｛紅燈亮｝,B=｛綠燈亮｝,

則A與B便是互不相容的。

￡B=0

7、對立：稱事件A不發(fā)生的事件為A的對立事件，記為W顯然/U7-a，AA7=(|)

例如，從有3個次品，7個正品的10個產(chǎn)品中任取3個，若令A(yù)=｛取得的3

個產(chǎn)品中至少有一個次品｝,則E=｛取得的3個產(chǎn)品均為正品｝。

第1頁

§3事件的運算規(guī)律

1、交換律AUB=BUA：ACB=BAA

2、結(jié)合律(AUB)UC=AU(BUC)；(ACB)CC=AC(BClC)

3、分配律AH(BUC)=(AAB)U(AAC),AU(BHC)=(AUB)A(AUC)

4、對偶律

此外，還有一些常用性質(zhì)，如

AUBZ>A,AUB二，B(越求和越大)；AAB匚A,AClBCB(越求積越小

若ACB,則AUB=B,ADB=AA-B=A-AB=AS等等。

例3,從一批產(chǎn)品中每次取一件進行檢驗，令A(yù)尸｛第i次取得合格品｝,i=l,2,3,試用事件的運算符號表示

下列事件。A=｛三次都取得合格品｝B=｛三次中至少有一次取得合格品｝C=｛三次中恰有兩次取得合

格品｝D=｛三次中最多有一次取得合格品｝

解：A=AAzA38=&U4UACD=4AU44UAA

表示方法常常不唯一，如事件B又可表為

8=4^^11也工11值41144114電114441144出或S-4ZZ

例4,一名射手連續(xù)向某一目標射擊三次，令A(yù)j=｛第i次射擊擊中目標｝,i=l,2,3,試用文字敘述下列事

件：4UA，A.AUAUAU4

解：4U扁?｛前洞次射擊中至少有一次擊中目標］每■悌二防擊未擊中目標)

4U&U4■｛三次射擊至少有一次擊中目標)AiA2A3=｛三次射擊都擊中目標｝

AyA2=｛第三次擊中目標但第二次未擊中目標｝

皿石"苜兩次跑未擊中目標雌,犀J石?4石)

4U看■便四次射擊至娟一^擊中目標)

例5,下圖所示的電路中，以A表示“信號燈亮”這一事件，以B,C,D分別表示繼電器接點，I,II,

m,閉合，試寫出事件A,B,C,D之間的關(guān)系。

解，不難看出有如下一些關(guān)系:

第1頁

3CcA.BDcA

BCuBD-Ji,

瓦等

二事件的概率

§1概率的定義

所謂事件A的概率是指事件A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P(A)。規(guī)定P(A)》O,P(Q)=1。

1、古典概型中概率的定義

古典概型：滿足下列兩條件的試驗?zāi)Ｐ头Q為古典概型:

(1)所有基本事件是有限個；(2)各基本事件發(fā)生的可能性相同;

例如：擲一勻稱的骰子，令人=｛擲出2點產(chǎn)｛2｝,B=｛擲出偶數(shù)總｝=｛2,4,6｝o此試驗樣本空間為

Q={1,2,3,4,5,6},于是，應(yīng)有1=P(Q)=6P(A),即P(A)=-

而P(B)=3P(A)=

6番本事件

定義1:在古典概型中，設(shè)其樣本空間C所含的樣本點總數(shù)，即試驗的基本事件總數(shù)為N。而事件A所

含的樣本數(shù)，即有利于事件A發(fā)生的基本事件數(shù)為NA，則事件A的概率便定義為：

EG.M.A包含基本事件徵

久心工玷料咻途

例1,將一枚質(zhì)地均勻的硬幣一拋三次，求恰有一次正面向上的概率。

解：用H表示正面，T表示反面，則該試驗的樣本空間

Q=｛(H,H,H)(H,H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,T,T)｝。

可見N°=8令A(yù)=｛恰有一次出現(xiàn)正面｝,則A=｛(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)｝

可見，令NA=3故式⑷?迫

8

例2,(取球問題)袋中有5個白球，3個黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。

(1)有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后放回袋中，再取下一個球；

（2）無放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后不再放回袋中，再取下一個球;

（3）一次取球：從袋中任取3個球。在以上三種取法中均求人=｛恰好取得2個白球）的概率。

解：⑴有放回取球N.=8X8X8=83=512（袋中八個球，不論什么顏色，取到每個球的概率相等）

町-5x5x3-S1y-225

I牛（先從三個球里取兩個白球，第一次取白球有五種情況，第二次取

白球還有五種情況〈注意是有放回〉，第三次取黑球只有三種情況）.,I/

-8x7x6-4J-336

.,180A—

（2）無放回取球故網(wǎng)3V6寸苛。）

叫制5x4x3■胃180

（3）一次取球

故代足■處

-0.54

屬于取球問題的一個實例：

設(shè)有100件產(chǎn)品，其中有5%的次品，今從中隨機抽取15件，則其中恰有2件次品的概率便為

-011377

（屬于一次取球模型）

例3（分球問題）將n個球放入N個盒子中去，試求恰有n個盒子各有一球的概率（nWN）。

解：令人=｛恰有n個盒子各有一球｝,先考慮基本事件的總數(shù)

M,-M-M--y-W先從N個盒子里選n個盒子，然后在n個盒子里n個球全排列

故

屬于分球問題的一個實例:

全班有40名同學，向他們的生日皆不相同的概率為多少？令人=｛40個同學生日皆不相同｝,則有

故P（4）-■0L109

（可以認為有365個盒子，40個球）

例4（取數(shù)問題）

從0,1,…….9共十個數(shù)字中隨機的不放回的接連取四個數(shù)字,并按其出現(xiàn)的先后排成一列，求下列

事件的概率：（1）四個數(shù)排成?個偶數(shù)；（2）四個數(shù)排成一個四位數(shù)：（3）四個數(shù)排成一個四位偶數(shù);

解：令人=｛四個數(shù)排成一個偶數(shù)｝,B=｛四個數(shù)排成?個四位數(shù)｝,C=｛四個數(shù)排成一個四位偶數(shù)｝

“9x8x7”

%&-10x9x8x7;町:星-5x9x8x7;ttFC4)-----------------0.5

10x9x8x7

MAG10X9X8X7-9*8X7

一《一或-10x9x8x7-9x8x7,WJ\B)---------------------------------0.9

10x9x8x7

5x9x8x7-4x8x7

5x9x8x7-4x8x7,ft/XQ-------------------------------0A.456

10x9x8x7

例5（分組問題）將一幅52張的樸克牌平均地分給四個人，分別求有人手里分得13張黑桃及有人手里

有4張A牌的概率各為多少？

解：令人=｛有人手里有13張黑桃｝,B=｛有人手里有4張A牌｝

“同踹M既加

第1頁

13

于是儀⑷rat-6.3*10也

Mffl調(diào)5嚷O

不難證明，古典概型中所定義的概率有以下三條基本性質(zhì)：

1°P(A)20

2°P(0)=1

3°若A”A2,……,An兩兩互不相容,則21^(4)

141-1

2、概率的統(tǒng)計定義

頻率：在n次重復(fù)試驗中，設(shè)事件A出現(xiàn)了nA次，則稱：工(肉■士■為事件A的頻率。頻率具有一

M

定的穩(wěn)定性。示例見下例表

正面(A)出現(xiàn)的

試驗者拋硬幣次數(shù)n正面(A)出現(xiàn)次數(shù)以

頻率Z(4)--

德?摩爾根204810610.5180

浦豐404021480.5069

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005

維尼30000149940.4998

定義2：在相同條件下，將試驗重復(fù)n次，如果隨著重復(fù)試驗次數(shù)n的增大，事件A的頻率f￡A)越來越

穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動，則稱常數(shù)p為事件A的概率，即P(A)=p

不難證明頻率有以下基本性質(zhì):

1。4⑷2。2。匕(a)?i

3°若A”A2,……，兩兩互不相容，則/燈4)■以(4)

AA-L

3、概率的公理化定義(數(shù)學定義)

定義3：設(shè)某試驗的樣本空間為Q,對其中每個事件A定義一個實數(shù)P(A),如果它滿足下列三條公理:

1°P(A)20(非負性)2°P(Q)=1(規(guī)范性)

3°若Ai，A2)……，An……兩兩互不相容，則Edj/J■之其馬)(可列可加性，簡稱可加性)

■4JM

則稱P(A)為A的概率

4、幾何定義

定義4：假設(shè)Q是Rn(n=l,2,3)中任何一個可度量的區(qū)域，從Q中隨機地選擇一點，即Q中任何一點都有

同樣的機會被選到，則相應(yīng)隨機試驗的樣本空間就是。，假設(shè)事件A是Q中任何一個可度量的子集，則

P(A)==u(A)/u(Q)

§2概率的性質(zhì)

性質(zhì)1：若ACB,則P(B-A)=P(B)-P(A)——差的概率等于概率之差

證：因為：A'=B

所以：B=AU(B-A)且AA(B-A尸小,山概率可加性

得P(B)=P[AU(B-A)]=P(A)+P(B-A)

即P(B-A)=P(B)-P(A)

性質(zhì)2：若A，=B,則P(A)WP(B)——概率的單調(diào)性

證：由性質(zhì)1及概率的非負性得OWP(B-A)=P(B)-P(A),即P(A)WP(B)

性質(zhì)3：P(A)證明：由于A匚Q,由性質(zhì)2及概率的規(guī)范性可得P(A)W1

性質(zhì)4：對任意事件A,P(Z)=1-P(A)

證明：在性質(zhì)1中令B=Q便有P(Z)=P(Q-A)=P(Q)-P(A)=1-P(A)

性質(zhì)5：P(4>)=0證：在性質(zhì)4中，令A(yù)=Q,便有P(4>)=P(SI)=1-P(Q)=1-1=0

性質(zhì)6(加法公式)對任意事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

證：由于AUB=AU(B-AB)且API(B-AB)=。(見圖)

由概率的可加性及性質(zhì)1便得

P(AUB)=P[AU(B-AB)]=P(A)+P(B-AB)

=P(A)+P(B)-P(AB)

推廣：P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

例6設(shè)10個產(chǎn)品中有3個是次品，今從中任取3個，試求取出產(chǎn)品中至少有一個是次品的概率。

解：令C=｛取出產(chǎn)品中至少有一個是次品｝,則丁=｛取出產(chǎn)品中皆為正品｝,于是由性質(zhì)4得

式C)=1-F(C)==0.71

例7,甲，乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為0.4和0.35,而同時下雨的概率為0.15,問在此季節(jié)

內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個城市下雨的概率。

解：令人=｛甲城下雨｝,B=｛乙城下雨｝,按題意所要求的是

P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.4+0.35-0.15=0.6

例8.設(shè)A,B,C為三個事件，已知P(A尸P(B尸P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有

一個發(fā)生的概率。

鼎由于ABCczAB故

0￡P(guān)(ABC)￡P(guān)(AB)=0從而P(ABC)=0

于是所求的概率為

P(AUfiUC)-+喇4-既C)-w班-既g-KBC)+P^ABC)

444b°4

第1頁

三條件概率

§1條件概率的概念及計算

在已知事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的概率稱為事件A的條件概率，記為P(A/B)o條件概率P(A/B)

與無條件概率P(A)通常是不相等的。

例1：某一工廠有職工500人，男女各一半，男女職工中非熟練工人分別為40人和10人，即該工廠職

工人員結(jié)構(gòu)如下：

人數(shù)男女總和

非熟練工人401050

其他職工210240450

總和250250500

現(xiàn)從該廠中任選一職工，令人=｛選出的職工為非熟練工人｝,B=｛選出的職工為女職工｝

顯然，R?■+-梟而

%_網(wǎng)硼

■,2502^麗死初

定義1設(shè)A、B為兩事件，如果P(B)>0,則稱咆為在事件B發(fā)生的條件下，事件A

的|條件概率|。同樣，如果P(A)>0,則稱?岑，為在事件A發(fā)生條件下，事件B的|條件概率

條件概率的計算通常有兩種辦法:

(1)由條件概率的分文計算(通常適用于古典概型)，(2)由條件概率的定義計算。

例2：一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無放回地取二次晶管，每次取一只,

當發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時，向第二次取的也是好的晶體管的概率為多少？

解：令A(yù)=｛第一次取的是好的晶體管｝,B=｛第二次取的是好的晶體管｝

第1頁

按條件概率的含義立即可得：X%)■;

按條件概率的定義需先計算：^)--￡-1i,pfjw)11；于是

105''10x93

例3：某種集成電路使用到2000小時還能正常工作的概率為0.94,使用到3000小時還能正常工作的概

率為0.87.有一塊集成電路已工作了2000小時，向它還能再工作1000小時的概率為多大？

解：令A(yù)=｛集成電路能正常工作到2000小時｝,B=｛集成電路能正常工作到3000小時｝

已知:：P(A)=0.94,P(B尸0.87且3uA，既有AB=B于是P(AB尸P(B)=0.87

按題意所要求的概率為：膽0■幽?0.926

附0.94

§2關(guān)于條件概率的三個重要公式

1.乘法公式

定理1：如果知總有砌收)，如果剜有網(wǎng)

例4:已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級品，今從這批產(chǎn)品中任取一件，求取得的為

一級的概率.

解：令A(yù)=｛任取一件產(chǎn)品為一級品｝,B=｛任取一件產(chǎn)品為合格品｝,顯然ACB,即有AB=A

故P(AB)=P(A)。于是，所要求的概率便為碗.瓜孫X75K-72K

例5:為了防止意外，在礦內(nèi)安裝兩個報警系統(tǒng)a和b,每個報警系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)a有效的概率為0.92,

系統(tǒng)b的有效概率為0.93,而在系統(tǒng)a失靈情況下，系統(tǒng)b有效的概率為0.85,試求：(1)當發(fā)生意外時，兩

個報警系統(tǒng)至少有一個有效的概率；(2)在系統(tǒng)b失靈情況下，系統(tǒng)a有效的概率.

解：令A(yù)=｛系統(tǒng)a有效｝B=｛系統(tǒng)b有效｝

已知網(wǎng)。?0.92,NM-Q.93,股￡卜0.85

AB=B-質(zhì)對問題(1),所要求的概率為

F（J1Ufi）-FW+P（fl）-1.85-P（AB）,其中（見圖）

=網(wǎng)切-同6力=-F（/）^（^）=0.93-0.08xO.85-0.862

于是H'US）-185-0.862-0.988

4一"）.R#-4?）=0.92-0.862

對問題(2),所要求的概率為:Q829

W?需?1-R回1-0.93007-

推廣：如果

小“5的皿???4)?網(wǎng)研%4%?卜化心人)

證:由于4n44n…04舄…故P(4)2HM?)2…2H44…樂》0

所以上面等式右邊的諸條件概率均存在，且由乘法公式可得

如…”?山“T%1yJ

,依此類推)=…[%”?4)

例&10個考簽中有4個難簽，三個人參加抽簽(無放回)甲先，乙次，丙最后，試問(1)甲、乙、丙均抽得難

簽的概率為多少？(2)甲、乙、丙抽得難簽的概率各為多少？

解：令A(yù),B,C分別表示甲、乙、丙抽得難簽的事件，

對問題(1),所求的概率為：3)-木衿-聯(lián)-0.033

第1頁

對問題(2),甲抽得難簽的概率為：--0.4

式4-AB}-網(wǎng)砌+率6)?P(X)/^)+

乙抽得難簽的概率為4364

■—X-.*--x-0.4

109109

Rc)-F^BCUXBCUASC\yABdj-RjUC)*雄a7)+/1^!?。)十也可c)

丙抽得難簽的概率為

取"”也燉Q(%J哈4號.白

其中日出7).卷

員必7)■(/)*中卜!

中到%>%)物3*抬4

于是

2.全概率公式

完備事件組:如果?組事件4i.&a.….V.在每次試驗中必發(fā)生且僅發(fā)生一個,

即LJ/fj-a且Mj「|勺?/―/)，則稱此事件組為該試驗的一個完備事件組

UI

例如，在擲一顆骰子的試驗中，以下事件組均為完備事件組：①{1},{2},{3},{4},{5},{6}；②

{1,2,3},{4,5},{6}；③A,工(A為試驗中任意一事件)

定理2：設(shè)%."i.…H■為一完備事件組，且10,)>4?12?“.扃，則對于任意事件A有

知■》祈)[%)

,

證：由于U/=Q且對于任意t?j.宿n//j-.

，彳

于是A=Aa=Ad)/f|)-OjwJ且對于在意j-j.Mn4勺于是由概率的可加性及

J-lM

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------^-4-^

乘法公式便得:

例7,某屆世界女排錦標賽半決賽的對陣如下:

根據(jù)以往資料可知，中國勝美國的概率為0.4,中國勝日本的概率

為0.9,而日本勝美國的概率為0.5,求中國得冠軍的概率。

解：☆H=｛日本勝美國｝,三=｛美國勝「I本｝,A=｛中國得冠軍｝

由全概率公式便得所求的概率為

0.5x0.9+0.5x0.4-0.65

例8,盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，第一次比賽時，從盒中任取3個使用，用后放會盒中,

第二次比賽時，再取3個使用，求第二次取出都是新球的概率

解：令H2=｛第一次比賽時取出的3個球中有i個新球｝i=0,1,2,3,A=｛第二次比賽取出的3個

球均為新球｝

山全概率公式便可得所求的概率

ffl

=0.146

3貝葉斯公式

定理3：設(shè)Hi,H3.....H、為一完備事件組，且

又設(shè)A為任意事件，且P(A)>0,則有為加明閾

由乘法公式和全概率公式即可得到卜

II：

弱M%)

例9：某種診斷癌癥的實驗有如下效果：患有癌癥者做此實驗反映為陽性的概率為0.95,不患有癌癥者

做此實驗反映為陰的概率也為0.95,并假定就診者中有0.005的人患有癌癥。已知某人做此實驗反應(yīng)為

陽性，問他是一個癌癥患者的概率是多少？y------------

(先驗概率

解：令H=｛做實驗的人為癌癥患者｝，三=｛做實驗的人不為癌癥患者｝,A=｛實驗結(jié)果反應(yīng)為陽性｝，｛實

驗結(jié)果反應(yīng)為陰性｝,由貝葉斯公式可求得所要求的概率:

什％)

0.005x0.95

例)?0.087

0.005x0.95*0.995x0.05

四可%)+6M%)

例10：兩信息分別編碼為X和Y傳送出去，接收站接收時，X被誤收作為Y的概率0.02,而Y被誤作為

X的概率為0.01.信息X與Y傳送的頻繁程度之比為2:1,若接收站收到的信息為X,問原發(fā)信息也是X

的概率為多少？

解：設(shè)H=｛原發(fā)信息為X｝而可?(R發(fā)包息為打

又設(shè)A■假期■為X｝A-儆甥>卻”)

2—1

由題意可知式幻■彳.汽彩)?石

-1-0.02-0.98

久邛（用

由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為

OL98X2

_________3196

0.98x^4-0.01x1197

3_3

例11：設(shè)有一箱產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，已知其中%的產(chǎn)品是由甲廠生產(chǎn)的，乙、丙兩廠的產(chǎn)品各

占%,已知甲，乙兩廠的次品率為2%,丙廠的次品率為4%,現(xiàn)從箱中任取一產(chǎn)品（1）求所取得

產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率；（2）求所取得產(chǎn)品是次品的概率；（3）已知所取得產(chǎn)品是次品，

問他是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少？

解：令笈〃［分別表示所取得的產(chǎn)品是屬于甲、乙、丙廠的事件，A=｛所取得的產(chǎn)品為次品｝

顯然*)?%,*)?*)?％,伏卜仇卜2%,仇)F

對問題（1）,由乘法公式可得所要求的概率:

對問題（2）,山全概率公式可得所要求的概率

對問題（3）,山貝葉斯公式可得所要求的概率仍介駕［Qi.旦?4第

（勾P（⑷25%

四獨立性

§1事件的獨立性

如果事件B的發(fā)生不影響事件A的概率，即產(chǎn)（%）->0）則稱事件A對事件B獨立。