/11/11/第17講定積分與微積分基本定理考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1．了解定積分的實(shí)際背景、基本思想及概念．2．了解微積分基本定理的含義.2015·天津卷，112015·湖南卷，112015·陜西卷，16定積分與微積分基本定理難度不大，常?？疾槎ǚe分的計(jì)算和求曲邊梯形的面積.分值：5分1．定積分的定義及相關(guān)概念一般地，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2，…，n)，作和式eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)，當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作eq\i\in(a,b,)f(x)dx.在eq\i\in(a,b,)f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間__[a，b]__叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做__積分變量__，__f(x)dx__叫做被積式．2．定積分的幾何意義f(x)eq\i\in(a,b,)f(x)dx的幾何意義f(x)≥0表示由直線__x＝a__，__x＝b(a≠b)__，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積f(x)<0表示由直線__x＝a__，__x＝b(a≠b)__，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)f(x)在[a，b]上有正有負(fù)表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積3．微積分的性質(zhì)(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝__keq\i\in(a,b,)f(x)dx__(k為常數(shù))；(2)eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝__eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx__；(3)__eq\i\in(a,b,)f(x)dx__＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx(其中a<c<b)．4．微積分基本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝__F(b)－F(a)__，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓－萊布尼茨公式．5．定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)陰影部分的面積為S.(1)S＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx；(2)S＝__－eq\i\in(a,b,)f(x)dx__；(3)S＝__eq\i\in(a,c,)f(x)dx－eq\i\in(c,b,)f(x)dx__；(4)S＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx.6．定積分與變速直線運(yùn)動(dòng)的路程及變力做功間的關(guān)系(1)s＝__eq\i\in(a,b,)v(t)dt__；(2)W＝__eq\i\in(a,b,)F(s)ds__.7．奇偶函數(shù)定積分的兩個(gè)重要結(jié)論設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則有(1)若f(x)是偶函數(shù)，則eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(,a,)0f(x)dx；(2)若f(x)是奇函數(shù)，則eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝0.1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)．(1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(t)dt.(√)(2)定積分一定是曲邊梯形的面積．(×)(3)若eq\i\in(a,b,)f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方．(×)解析(1)正確．定積分與被積函數(shù)、積分上限和積分下限有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無關(guān)．(2)錯(cuò)誤．不一定是，要結(jié)合具體圖形來定．(3)錯(cuò)誤．也有可能是在x軸上方部分的面積小于在x軸下方部分的面積．2．若s1＝eq\i\in(1,2,)x2dx，s2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx，s3＝eq\i\in(1,2,)exdx，則s1，s2，s3的大小關(guān)系為(B)A．s1<s2<s3 B．s2<s1<s3C．s2<s3<s1 D．s3<s2<s1解析因?yàn)閟1＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(2,1)＝eq\f(1,3)(23－13)＝eq\f(7,3)<3，s2＝lnx|eq\o\al(2,1)＝ln2－ln1＝ln2<1，s3＝ex|eq\o\al(2,1)＝e2－e>3，所以s2<s1<s3.3．直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(D)A．2eq\r(2) B．4eq\r(2)C．2 D．4解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x，,y＝x3，))得交點(diǎn)為(0,0)，(2,8)，(－2，－8)，所以S＝eq\i\in(0,2,)(4x－x3)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,4)x4))eq\o\al(2,0)＝4，故選D．4.已知t>1，若eq\i\in(1,t,)(2x＋1)dx＝t2，則t＝__2__.,解析eq\i\in(1,t,)(2x＋1)dx＝(x2＋x)|eq\o\al(t,1)＝t2＋t－2從而得方程t2＋t－2＝t2，解得t＝2.5．汽車以36km/h的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以減速度a＝2m/s2剎車，則從開始剎車到停車，汽車走的距離是__解析t＝0時(shí)，v0＝36km/h＝10m/s，剎車后，汽車減速行駛，速度為v(t)＝v0－at＝10－2t，由v(t)＝0得t＝5s，所以從剎車到停車，汽車所走過的路程為eq\i\in(0,5,)v(t)dt＝eq\i\in(0,5,)(10－2t)dt＝(10t－t2)|eq\o\al(5,0)＝25(m)．,,一定積分的計(jì)算,計(jì)算定積分的步驟(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積或和或差．(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為初等函數(shù)的定積分．(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)．(4)利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值．(5)計(jì)算原始定積分的值．【例1】計(jì)算下列定積分．(1)eq\i\in(0,1,)(－x2＋2x)dx；(2)eq\i\in(0,π,)(sinx－cosx)dx；(3)eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2x＋\f(1,x)))dx；(4)∫eq\f(π,2)0eq\r(1－sin2x)dx.解析(1)eq\i\in(0,1,)(－x2＋2x)dx＝eq\i\in(0,1,)(－x2)dx＋eq\i\in(0,1,)2xdx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3))|eq\o\al(1,0)＋(x2)|eq\o\al(1,0)＝－eq\f(1,3)＋1＝eq\f(2,3).(2)eq\i\in(0,π,)(sinx－cosx)dx＝eq\i\in(0,π,)sinxdx－eq\i\in(0,π,)cosxdx,＝(－cosx)|eq\o\al(π,0)－sinx|eq\o\al(π,0)＝2.(3)eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2x＋\f(1,x)))dx＝eq\i\in(1,2,)e2xdx＋eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝eq\f(1,2)e2xeq\o\al(2,1)＋lnx|eq\o\al(2,1),＝eq\f(1,2)e4－eq\f(1,2)e2＋ln2－ln1＝eq\f(1,2)e4－eq\f(1,2)e2＋ln2.(4)eq\a\vs4\al(\i\in(0,\f(π,2),))eq\r(1－sin2x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,\f(π,2),))|sinx－cosx|dx,＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,\f(π,4),))(cosx－sinx)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(\f(π,4),\f(π,2),))(sinx－cosx)dx,＝(sinx＋cosx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs0\al\co1(\f(π,4),0))＋(－cosx－sinx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs0\al\co1(\f(π,2),\f(π,4))),＝eq\r(2)－1＋(－1＋eq\r(2))＝2eq\r(2)－2.二定積分幾何意義的應(yīng)用,(1)利用定積分求平面圖形面積的步驟：①根據(jù)題意畫出圖形；②借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定定積分的上、下限；③把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和；④計(jì)算定積分，寫出答案．(2)根據(jù)平面圖形的面積求參數(shù)的方法：先利用定積分求出平面圖形的面積，再根據(jù)條件構(gòu)造方程(不等式)求解．【例2】(1)由曲線y＝eq\r(x)，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為(C)A．eq\f(10,3) B．4C．eq\f(16,3) D．6(2)如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示)，則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為__1．2__.解析(1)作出曲線y＝eq\r(x)和直線y＝x－2的草圖(如圖所示)，所求面積為陰影部分的面積．,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝x－2))得交點(diǎn)A(4,2)．因此y＝eq\r(x)與y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為eq\i\in(0,4,)[eq\r(x)－(x－2)]dx＝eq\i\in(0,4,)(eq\r(x)－x＋2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\f(3,2)－\f(1,2)x2＋2x))eq\o\al(4,0)＝eq\f(2,3)×8－eq\f(1,2)×16＋2×4＝eq\f(16,3).,(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系由拋物線過點(diǎn)(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝eq\f(2,25)x2－2，拋物線與x軸圍成的面積S1＝eq\a\vs4\al(\i\in(－5,5,))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,25)x2))dx＝eq\f(40,3)，梯形面積S2＝eq\f(?6＋10?×2,2)＝16，最大流量比為S2∶S1＝6∶5.三定積分在物理中的應(yīng)用定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為v＝v(t)，那么從時(shí)刻t＝a到t＝b所經(jīng)過的路程s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.(2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同的方向從x＝a移動(dòng)到x＝b時(shí)，力F(x)所做的功是W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx.【例3】(1)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車行駛的距離(單位：m)是(C)A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5 D．4＋50ln2(2)一物體在力F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，0≤x≤2，,3x＋4，x>2))(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x＝0處運(yùn)動(dòng)到x＝4(單位：m)處，則力F(x)做的功為__36__J.解析(1)由v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)＝0，可得t＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＝－\f(8,3)舍去))，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4s，此期間行駛的距離為eq\i\in(0,4,)v(t)dt＝eq\i\in(0,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7t－\f(3,2)t2＋25ln?1＋t?))|eq\o\al(4,0),＝4＋25ln5(m)．,(2)由題意知，力F(x)所做的功為,W＝eq\i\in(0,4,)F(x)dx＝eq\i\in(0,2,)5dx＋eq\i\in(2,4,)(3x＋4)dx＝5×2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x2＋4x))eq\o\al(4,2),＝10＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×42＋4×4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×22＋4×2))))＝36J.1．定積分eq\i\in(0,1,)eq\r(x?2－x?)dx的值為(A)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．π D．2π解析令y＝eq\r(x?2－x?)，則(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，由定積分的幾何意義知，eq\i\in(0,1,)eq\r(x?2－x?)dx的值為區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－1?2＋y2＝1?y≥0?，,0≤x≤1))的面積，即為eq\f(π,4).2．計(jì)算：eq\i\in(－3,3,)(x3cosx)dx＝__0__.解析∵y＝x3cosx為奇函數(shù)，∴eq\i\in(－3,3,)(x3cosx)dx＝0.3．如圖，由兩條曲線y＝－x2，y＝－eq\f(1,4)x2及直線y＝－1所圍成的平面圖形的面積為?。?！eq\f(4,3)###.解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,y＝－1，))得交點(diǎn)A(－1，－1)，B(1，－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x2，,y＝－1，))得交點(diǎn)C(－2，－1)，D(2，－1)．所以所求面積S＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\i\in(0,1,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x2＋x2))dx＋\i\in(1,2,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x2＋1))dx))＝eq\f(4,3).4．如圖，圓O：x2＋y2＝π2內(nèi)的正弦曲線y＝sinx與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機(jī)向圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為！??！eq\f(4,π3)###.解析陰影部分的面積為2eq\i\in(0,π,)sinxdx＝2(－cosx)|eq\o\al(π,0)＝4，圓的面積為π3，所以點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是eq\f(4,π3).易錯(cuò)點(diǎn)定積分的幾何意義不明確錯(cuò)因分析：eq\i\in(a,b,)f(x)dx不一定表示面積，也可能是面積的相反數(shù)，它可正，可負(fù)，也可為零．【例1】求曲線f(x)＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)π))與x軸圍成的圖形的面積．解析當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f(x)≥0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(5,4)π))時(shí)，f(x)<0.則所求面積S＝eq\i\in(0,π,)sinxdx＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∫\f(5,4)ππsinxdx))＝－cosxeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o\al(π,0)＋cosx))eq\f(5,4)ππ＝2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋1))＝3－eq\f(\r(2),2).【跟蹤訓(xùn)練1】(2023·山東淄博一模)如圖所示，曲線y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0圍成的陰影部分的面積為(A)A．eq\i\in(0,2,)|x2－1|dx B．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\i\in(0,2,)?x2－1?dx))C．eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx D．eq\i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(1－x2)dx解析由曲線y＝|x2－1|的對(duì)稱性知，所求陰影部分的面積與如下圖形的面積相等，即eq\i\in(0,2,)|x2－1|dx.課時(shí)達(dá)標(biāo)第17講[解密考綱]本考點(diǎn)主要考查利用微積分基本定理以及積分的性質(zhì)求定積分、曲邊梯形的面積，常與導(dǎo)數(shù)、概率相結(jié)合命題，通常以選擇題的形式呈現(xiàn)，題目難度中等．一、選擇題1．eq\i\in(0,1,)exdx的值等于(C)A．e B．1－eC．e－1 D．eq\f(1,2)(e－1)解析eq\i\in(0,1,)exdx＝ex|eq\o\al(1,0)＝e1－e0＝e－1，故選C．2．eq\i\in(1,e,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝(C)A．e2－2 B．e－1C．e2 D．e＋1解析eq\i\in(1,e,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝(x2＋lnx)|eq\o\al(e,1)＝e2.故選C．3．求曲線y＝x2與直線y＝x所圍成圖形的面積，其中正確的是(A)A．S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx B．S＝eq\i\in(0,1,)(x2－x)dxC．S＝eq\i\in(0,1,)(y2－y)dy D．S＝eq\i\in(0,1,)(y－eq\r(y))dy解析由圖象可得S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx.第3題圖第4題圖4．曲線y＝eq\f(2,x)與直線y＝x－1及直線x＝4所圍成的封閉圖形的面積為(D)A．2ln2 B．2－ln2C．4－ln2 D．4－2ln2解析由曲線y＝eq\f(2,x)與直線y＝x－1及x＝4所圍成的封閉圖形，如圖中陰影部分所示，故所求圖形的面積為S＝eq\i\in(2,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1－\f(2,x)))dx＝(eq\f(1,2)x2－x－2lnx)|eq\o\al(4,2)＝4－2ln2.5．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,\f(1,x)，x∈?1，e]))(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則eq\i\in(0,e,)f(x)dx的值為(A)A．eq\f(4,3) B．eq\f(1,π)C．eq\f(1,2) D．eq\f(π－2,π)解析eq\i\in(0,e,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,e,)eq\f(1,x)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＋lnx|eq\o\al(e,1)＝eq\f(1,3)＋1＝eq\f(4,3)，故選A．6．如圖，設(shè)D是圖中所示的矩形區(qū)域，E是D內(nèi)函數(shù)y＝cosx圖象上方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域(陰影部分)，向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入E中的概率為(D)A．eq\f(2,π) B．eq\f(1,π)C．eq\f(1,2) D．eq\f(π－2,π)解析因?yàn)閑q\a\vs4\al(\i\in(0,\f(π,2),))cosxdx＝sinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＝1故所求概率為eq\f(π－1×2,π)＝eq\f(π－2,π).二、填空題7．eq\a\vs4\al(\i\in(0,\f(π,2),))(cosx－sinx)dx＝__0__.解析eq\a\vs4\al(\i\in(0,\f(π,2),))(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＝0.8．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，則eq\i\in(1,e,)f(x)dx＝?。?！eq\f(e2＋1,2)###.解析eq\i\in(1,e,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋lnx))|eq\o\al(e,1)＝eq\f(e2＋1,2).9．由曲線y＝sinx，y＝cosx與直線x＝0，x＝eq\f(π,2)所圍成的平面圖形(圖中的陰影部分)的面積是！?。?eq\r(2)－2###.解析由圖可得陰影部分面積S＝2eq\a\vs4\al(\i\in(0,\f(π,4),))(cosx－sinx)dx＝2(sinx＋cosx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs2\al\co1(\f(π,4),0))＝2(eq\r(2)－1)．三、解答題10.求下列定積分．,(1)eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x2＋\f(1,x)))dx；(2)eq\i\in(,0,)－π(cosx＋ex)dx.解析(1)eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x2＋\f(1,x)))dx＝eq\i\in(1,2,)xdx－eq\i\in(1,2,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝eq\f(x2,2)eq\o\al(2,1)－eq\f(x3,3)eq\o\al(2,1)＋lnx|eq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)－eq\f(7,3)＋ln2＝ln2－eq\f(5,6).(2)eq\a\vs4\al(\i\in(－π,0,))(cosx＋ex)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(－π,0,))cosxdx＋eq\a\vs4\al(\i\in(－π,0,))exdx＝sinx|eq\o\al(0,－π)＋ex|eq\o\al(0,－π)＝1－eq\f(1,eπ).11．已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在點(diǎn)(1,2)處的切線與函數(shù)g(x)＝x2圍成的圖形的面積．解析∵(1,2)為