貴州省2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬測試本試卷共23題，共150分，考試時(shí)間120分鐘，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂：非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺.不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.2021年7月24日中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》.自此全國范圍內(nèi)落實(shí)“雙減”工作要求的步伐在不斷邁進(jìn)中，校內(nèi)、校外教育生態(tài)迎來巨大變化與革新.在此背景之下，提出已久的“教師輪崗制”再度進(jìn)入討論視野，并在北京、上海、深圳等城市開始試點(diǎn)，某區(qū)教育局為了解教師對輪崗制度的態(tài)度，對本區(qū)在編1000名教師進(jìn)行問卷調(diào)查，將贊成輪崗制度的教師年齡的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的樣本頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，則下列結(jié)論不正確的是（）A.該區(qū)贊成輪崗制度的教師年齡低于25歲的比例約為24%B.該區(qū)年齡在35到40歲的教師對輪崗制度的贊成人數(shù)最少C.該區(qū)贊成輪崗制度的教師年齡的平均值不超過40歲D.該區(qū)贊成輪崗制度的教師中有一半以上的人年齡不超過25歲或大于50歲4.已知命題p:函數(shù)的最小值為2，命題q:，，則下列命題為真命題的是（）A. B. C. D.5.已知某圓錐的母線長為2，其軸截面為直角三角形，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.6.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個(gè)新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象.若某入侵物種的個(gè)體平均繁殖數(shù)量為Q，一年四季均可繁殖，繁殖間隔T為相鄰兩代間繁殖所需的平均時(shí)間.在物種入侵初期，可用對數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計(jì)繁殖數(shù)量n與入侵時(shí)間K（單位：天）之間的對應(yīng)關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出，.據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量比初始累計(jì)繁殖數(shù)量增加11倍所需要的時(shí)間為（，）（）A.22.0天 B.13.8天 C.24.8天 D.17.9天7.已知，則（）A. B. C. D.8.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公比為（）A.2或 B.或 C.或2 D.或9.若雙曲線的實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的重心，則該雙曲線的離心率為（）A.3 B.2 C. D.10.已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為（）A.1 B.2 C.3 D.11.在一個(gè)邊長為4的正方形的四邊上分別取一個(gè)距頂點(diǎn)最近的四等分點(diǎn)，連接成正方形，再在新的正方形中，以同樣的方式形成一個(gè)更小的正方形，如此重復(fù)9次，得到如圖所示的一個(gè)優(yōu)美圖形.若在這個(gè)大正方形內(nèi)部隨機(jī)投擲一粒豆子，則這粒豆子落在圖中陰影部分的概率為（）A. B. C. D.12.如圖，已知多面體的底面是邊長為的正方形，四邊形為等腰梯形，平面平面，且，，則該幾何體外接球的表面積為（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量，滿足，則______.14.曲線在處的切線方程為______.l5.已知函數(shù)，點(diǎn)A，B，C是直線與函數(shù)的圖象從左至右的某三個(gè)相鄰交點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)______.16.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，O為橢圓的中心，P為橢圓上（除x軸以外）任意一點(diǎn)，過作的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)Q，則______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）2021年9月30日，電影《長津湖》在各大影院上映，并獲得一致好評.該片是以長津湖戰(zhàn)役為背景，講述了一個(gè)中國志愿軍連隊(duì)在極度嚴(yán)酷的環(huán)境下堅(jiān)守陣地，奮勇殺敵，為長津湖戰(zhàn)役勝利作出重要貢獻(xiàn)的感人的歷史故事.某同學(xué)看完電影后以抗美援朝時(shí)期的歷史為內(nèi)容制作了一份知識問卷，并邀請了該校100名同學(xué)（男女各一半）參與了問卷的知識競賽，將得分情況統(tǒng)計(jì)如下表：得分性別男生581341055女生3101210654將比賽成績超過60分的考生視為對抗美援朝的歷史了解.（1）從這100名同學(xué)中隨機(jī)抽選一人，求該位同學(xué)對抗美援朝的歷史了解的頻率；（2）能否有95%的把握認(rèn)為對抗美援朝的歷史了解與性別有關(guān)？附：，0.100.050.102.7063.8416.63518.（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若，求的面積的最大值.19.（12分）如圖，在三棱錐中，是邊長為4的正三角形，，，O為線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)P在底面上的射影為點(diǎn)M.（1）證明：平面.（2）若三棱錐的體積為，求的值.20.（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是曲線C上一點(diǎn).（1）若，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若直線與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)P為拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，直線與的斜率分別為，，求的值.21.（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.（1）求直線l和曲線C的普通方程；（2）已知點(diǎn)，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求的值.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）已知.（1）求不等式的解集.（2）若，且，證明：，，，.2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬測試參考答案1.B【命題意圖】本題考查集合的交集，要求考生理解集合的交集運(yùn)算.【解題分析】∵集合，，∴.2.B【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算及幾何意義，要求學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的周期性和運(yùn)算法則.【解題分析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.3.D【命題意圖】本題以雙減政策背景下的“教師輪崗制”為情景，要求考生運(yùn)用所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)中頻率直方圖及樣本的數(shù)字特征等必備知識解答相關(guān)問題，主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)，考查創(chuàng)新能力，解答時(shí)應(yīng)根據(jù)對頻率分布直方圖和樣本的數(shù)字特征的理解進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，突出基礎(chǔ)性、應(yīng)用性的考查要求.【解題分析】用樣本估計(jì)總體，由頻率分布直方圖可得，該區(qū)贊成輪崗制度的教師年齡低于25歲的比例約為，年齡在35到40歲的教師贊成輪崗制度所對應(yīng)的頻率最小，故選項(xiàng)A，B正確；該區(qū)贊成輪崗制度的教師年齡的平均值為，故選項(xiàng)C正確；該區(qū)贊成輪崗制度的教師中年齡不超過25歲或大于50歲的比例約為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.4.B【命題意圖】本題考查命題真假的判定問題，要求學(xué)生會判斷復(fù)合命題的真假性.【解題分析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以p為假命題.恒成立，則，，所以命題q為真命題，所以為真命題.5.A【命題意圖】本題考查圓錐的體積，要求考生掌握圓錐的體積公式，會利用圓錐的母線長及軸截面求圓錐的體積.【解題分析】由題意知圓錐的底面半徑，圓錐的高，所以圓錐的體積，故A正確.6.C【命題意圖】本題以入侵物種的繁殖為背景，考查運(yùn)算求解能力，要求考生理解繁殖數(shù)量與入侵時(shí)間的關(guān)系，利用對數(shù)型模型求解物種繁殖到一定數(shù)量所需時(shí)間.主要考查對數(shù)型函數(shù)的運(yùn)算求解的能力，運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模的學(xué)科素養(yǎng)，突出創(chuàng)新性、應(yīng)用性的考查要求.【解題分析】因?yàn)椋?，，所以，解?設(shè)初始時(shí)間為，初始累計(jì)繁殖數(shù)量為n，累計(jì)繁殖數(shù)量增加11倍后的時(shí)間為，則（天）.7.D【命題意圖】本題考查三角恒等變換，要求會利用角之間的關(guān)系，并運(yùn)用三角恒等式和誘導(dǎo)公式求角的三角函數(shù)值.【解題分析】，.8.A【命題意圖】本題考查等比數(shù)列，要求考生掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并利用等比數(shù)列的定義和前n項(xiàng)和公式求公比.【解題分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，，兩式相除得，即，解得或2.9.A【命題意圖】本題考查雙曲線的離心率，要求考生會利用雙曲線的幾何性質(zhì)求離心率.【解題分析】由題意可知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)和雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是該三角形的重心，則，所以.10.A【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，要求考生掌握點(diǎn)到直線的距離公式，會利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到動(dòng)直線的最大距離.【解題分析】由直線l的方程可得，則直線l恒過定點(diǎn)，圓心，故圓心C到直線l的最大距離.11.C【命題意圖】本題考查等比數(shù)列和幾何概型的綜合，要求考生能根據(jù)具體問題找到數(shù)列的通項(xiàng)公式，并運(yùn)用幾何概型公式求概率.【解題分析】因?yàn)槊看螛?gòu)造的新正方形的面積為原來正方形面積的，所以正方形的面積構(gòu)成一個(gè)以16為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，重復(fù)9次，得到10個(gè)正方形，所以，故概率.12.C【命題意圖】本題考查多面體的外接球表面積，要求考生運(yùn)用所學(xué)球體的特征解答相關(guān)問題，主要考查空間想象能力，解答時(shí)應(yīng)根據(jù)球心與底面外接圓的圓心的連線與底面垂直的特點(diǎn)，找到外接球的球心，再通過勾股定理求出外接球的半徑和表面積.【解題分析】連接交于點(diǎn)O，取的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌媸沁呴L為的正方形，且平面平面，所以平面，故外接球的球心M一定在直線上，連接.設(shè)多面體外接球的半徑為R，，在和中，又，所以，解得，故外接球的表面積為.13.【命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積，要求學(xué)生掌握向量的基本運(yùn)算，會求向量的夾角.【解題分析】因?yàn)?，所以，則.14.【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要求考生會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【解題分析】，，則切線方程為，即.15.【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，要求考生會求三角函數(shù)的周期，圖象的對稱軸，三角函數(shù)值.【解題分析】由題意得，因?yàn)椋?，則，即.令，，得，，所以函數(shù)在處取最大值，又，，所以.16.【命題意圖】本題考查橢圓的定義及基本性質(zhì)，要求學(xué)生掌握橢圓的定義及基本性質(zhì)，并會利用基本性質(zhì)求線段長.【解題分析】由條件，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在的延長線上，且，所以.17.【命題意圖】本題以抗美援朝中的長津湖戰(zhàn)役為情景，考查創(chuàng)新能力，要求考生會求事件的頻率，并會運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)等相關(guān)知識解答相關(guān)問題.主要考查獲取信息、運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析的學(xué)科素養(yǎng)，突出基礎(chǔ)性、應(yīng)用性的考查要求.【解題分析】（1）該位同學(xué)對抗美援朝的歷史了解的頻率.……4分（2）由表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得如下列聯(lián)表：對抗美援朝的歷史了解對抗美援朝的歷史不了解合計(jì)男生203050女生153550合計(jì)3565100……6分所以，……10分故沒有95%的把握認(rèn)為對抗美援朝的歷史了解與性別有關(guān).……12分18.【命題意圖】本題考查解三角形，要求學(xué)生會利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，會利用余弦定理及基本不等式求解三角形面積的最值問題.【解題分析】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，…?分所以，又，所以，即，又，所以.……6分（2）在中，由余弦定理可得，即，……8分所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，……9分所以，故的面積的最大值為.……12分19.【命題意圖】本題考查線面垂直和點(diǎn)在平面上的投影，要求學(xué)生掌握線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，會根據(jù)判定定理和性質(zhì)定理證明線面垂直及求點(diǎn)在平面上的投影的位置.【解題分析】（1）由題意知，，，則，……2分又點(diǎn)P在底面上的射影為M，所以平面，所以，又，所以平面.……6分（2）設(shè)，過點(diǎn)O作，則.由（1）可知平面，點(diǎn)P在底面上的射影一定在交線上，且，又是邊長為4的正三角形，，，所以，所以.又，所以，解得，所以.……9分又，即，解得，即點(diǎn)O為的中點(diǎn)，所以.……12分20.【命題意圖】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，要求考生掌握拋物線的定義及設(shè)而不求的思想，會求圓錐曲線中的定值問題.【解題分析】（1）由題知，，，因?yàn)?，所以，解得?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.……4分（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，所以，所以.由題知，，所以直線的斜率，直線的斜率，所以.綜上可知，.……12分21.【命題意圖】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)問題，要求學(xué)生掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會利用分類討論的方法處理含參問題.【解題分析】（1），……1分①當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；……2分②當(dāng)時(shí)，在恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；……4分③當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.……5分綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.……6分（2）在上有零點(diǎn)等價(jià)于方程在上有根，即在上成立.令，因?yàn)?……8分當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.又，……10分所以，，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.……12分22.【命題意圖】本題考查參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程互化以及直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式幾何意義的