第5

章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用人教A版2019選修第一冊(cè)5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（第1課時(shí)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的概念的實(shí)際背景．2.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．前面我們研究了兩類變化率問題：一類是物理學(xué)中的問題，涉及平均速度和瞬時(shí)速度；另一類是幾何學(xué)中的問題，涉及割線斜率和切線斜率.這兩類問題來自不同的學(xué)科領(lǐng)域，但在解決問題時(shí)，都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法；問題的答案也有一樣的表示形式.下面我們用上述思想方法研究更一般的問題.1.平均變化率對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋?x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋?x).這時(shí)，x的變化量為?x，y的變化量為

?y＝f(x0＋?x)－f(x0).我們把比值，即叫做函數(shù)y＝f(x)從從x0到x0＋?x的平均變化率.2.導(dǎo)數(shù)的概念如果當(dāng)?x→0時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作或，即例如問題1中運(yùn)動(dòng)員在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度為v(1)就是函數(shù)h(t)在t=1處的導(dǎo)數(shù)h′(1)，即問題2中拋物線f(x)＝x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線P0T的斜率k0就是函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)，即2.導(dǎo)數(shù)的概念如果當(dāng)?x→0時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作或，即概念強(qiáng)化：1.f′(x0)與x0的值有關(guān)，不同的x0其導(dǎo)數(shù)值一般也不相同；2.

f′(x0)與?x的具體取值無關(guān)；3.瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同一概念的兩個(gè)名稱；4.導(dǎo)數(shù)可以描述任何運(yùn)動(dòng)變化事物的瞬時(shí)變化率

.例題1

設(shè)

，求分析：因?yàn)樗詾榱吮阌谟?jì)算，我們可以先求出

，再對(duì)它取極限.解：思考

你能總結(jié)出求函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的步驟嗎？例題1

設(shè)

，求求函數(shù)y＝f(x)在x＝1處導(dǎo)數(shù)求y’|

x＝1查看導(dǎo)數(shù)定義，思考題目還可以怎么表述？第一步，寫出

并化簡(jiǎn)；第二步，求極限，

若

存在，則思考

你能總結(jié)出求函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的步驟嗎？這個(gè)實(shí)際問題與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？例題2

將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.已知在第xh時(shí)，原油的溫度（單位：℃）為

計(jì)算第2h與第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義.導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá).解：在第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是

和所以因?yàn)橥恚?/p>

在本題中

是原油溫度在時(shí)刻

x0的瞬時(shí)變化率，它反映的是原油溫度在時(shí)刻x0附近的變化情況.

表示在第2h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率為－3℃/h.這說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降.導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)為負(fù)，體現(xiàn)了下降的變化趨勢(shì).

和在這個(gè)實(shí)際問題中的意義是什么？

表示在第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率為5℃/h，這說明在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速率上升.導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)為正，體現(xiàn)了上升的變化趨勢(shì).瞬時(shí)加速度就是速度的瞬時(shí)變化率.例題3

一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)ts時(shí)汽車的速度（單位：m/s）為y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽車在第2s與第6s時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說明它們的意義.速度與瞬時(shí)加速度的關(guān)系是什么？

在本題中

是t0時(shí)刻汽車的瞬時(shí)加速度，反映了速度在t0時(shí)刻附近的變化情況.

表示在第2s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度是2m/s2，這說明在第2s附近，汽車的速度每秒大約增加2m/s.導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)為正，體現(xiàn)了增加的變化趨勢(shì).

和

在這個(gè)實(shí)際問題中的意義是什么？

表示在第6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度是-6m/s2，這說明在第6s附近，汽車的速度每秒大約減少6m/s.導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)為負(fù)，體現(xiàn)了減少的變化趨勢(shì).瞬時(shí)速度是位移的瞬時(shí)變化率，瞬時(shí)加速度是速度的瞬時(shí)變化率.根據(jù)路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)求速度與加速度是一類基本問題，它和求已知曲線的切線這兩類問題直接促進(jìn)了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生.課本練習(xí)1.在例2中，計(jì)算第3h與第5h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義.解：在第3h附近，原油溫度大約以1℃/h的速率下降；在第5h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率上升.解：3.一質(zhì)點(diǎn)A沿直線運(yùn)動(dòng)，位移y(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)之間的關(guān)系為y(t)=2t2+1，求質(zhì)點(diǎn)A在t=2.7s時(shí)的瞬時(shí)速度.4.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-1.求:(1)當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率；(2)函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù).隨堂檢測(cè)1.函數(shù)y＝1在[2，2＋Δx]上的平均變化率是(

) A.0 B.1 C.2 D.