2022-2023學(xué)年山東省淄博市臨淄區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一、選擇題（本題共10小題，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填在下面的表中.每小題4分，滿分40分，錯(cuò)選、不選或選出的答案超過一個(gè)，均記0分.）1．已知函數(shù)y＝（m﹣2）x是反比例函數(shù)，則m的值為（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．任意實(shí)數(shù)2．如圖，在坡角為30°的斜坡上要栽兩棵樹，要求它們之間的水平距離AC為6m，則這兩棵樹之間的坡面AB的長(zhǎng)為（）A．12m B．3m C．4m D．12m3．將拋物線y＝2（x﹣3）2+2向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4 C．y＝2x2 D．y＝2x2+44．對(duì)于二次函數(shù)y＝（x+1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．對(duì)稱軸是直線x＝﹣1 C．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2） D．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)5．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+b與二次函數(shù)y＝b（x﹣a）2的圖象大致為（）A． B． C． D．6．已知tanA＝0.85，用計(jì)算器求∠A的大小，下列按鍵順序正確的是（）A． B． C． D．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與y＝x﹣2的圖象交于點(diǎn)P（a，b），則代數(shù)式的值為（）A． B． C． D．8．如圖，A，B是雙曲線y＝上的兩個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，交OB于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)C，連接OA，若△ODC的面積為1，D為OB的中點(diǎn)，則k的值為（）A． B．2 C．4 D．89．對(duì)稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≥m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．4 C．5 D．610．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜邊都在坐標(biāo)軸上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝???＝30°．若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4…，則依此規(guī)律，點(diǎn)A2022的縱坐標(biāo)為（）A． B． C．0 D．二、填空題（每小題4分，共20分）11．二次函數(shù)y＝（k﹣2）x2+k2﹣4的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則k的值是．12．已知方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．而點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）為反比例函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，若x1＞x2＞0，則y1y2（填“＞”或“＜”或“＝”）．13．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集為．14．△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，AC＝4，則BC＝．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OBCA是平行四邊形，，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F，若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且△AOF的面積為12，則m的值為．三、解答題（第16，17，18，19題每題10分；第20，21題每題12分，第22，23題每題13分；滿分90分）解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.16．計(jì)算（1）2cos45°﹣60°；（2）（sin30°）﹣1×（sin60°﹣cos45°）﹣；（3）已知三角函數(shù)有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，利用該公式求sin75°的值．17．如圖，直線y＝﹣x+1與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（﹣2，0），連接AC、BC．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求S△ABC；（3）利用函數(shù)圖象直接寫出關(guān)于x的不等式﹣x+1＜的解集．18．已知：如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的高，E為邊AC的中點(diǎn)，BC＝14，AD＝12，sinB＝．求：（1）線段DC的長(zhǎng)；（2）tan∠EDC的值．19．王叔叔計(jì)劃購(gòu)買一套商品房，首付30萬元后，剩余部分用貸款并按“等額本金”的形式償還，即貸款金額按月分期還款，每月所還貸款本金數(shù)相同設(shè)王叔叔每月償還貸款本金y萬元，x個(gè)月還清，且y是x的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）王叔叔購(gòu)買的商品房的總價(jià)是萬元；（3）若王叔叔計(jì)劃每月償還貸款本金不超過2000元，則至少需要多少個(gè)月還清？20．已知函數(shù)y＝x2﹣mx+m﹣3．（1）求證：無論m為任何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）若函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限，求m的范圍；（3）求證：無論m為何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第四象限．21．如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)CD＝15m，斜坡的傾斜角為α，cosα＝．小文在C點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為60°，在D點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為30°（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．（1）求C，D兩點(diǎn)的高度差；（2）求居民樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）22．我國(guó)互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展日新月異，網(wǎng)上購(gòu)物備受消費(fèi)者青睞．某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條60元，當(dāng)售價(jià)為每條100元時(shí)，每月可銷售120條．為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價(jià)措施．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查知：銷售單價(jià)每降1元，則每月可多銷售6條．設(shè)每條褲子的售價(jià)為x元（x為正整數(shù)），每月的銷售量為y條．（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該網(wǎng)店每月獲得的利潤(rùn)為w元，當(dāng)銷售單價(jià)降低多少元時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定每月從利潤(rùn)中捐出300元資助貧困學(xué)生．為了保證捐款后每月利潤(rùn)不低于4950元，且讓消費(fèi)者得到最大的實(shí)惠，該如何確定休閑褲的銷售單價(jià)？23．如圖，拋物線y＝ax2+bx+與直線AB交于點(diǎn)A（﹣1，0），．點(diǎn)D是拋物線上A，B兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C，連接AD，BD．（1）求拋物線的解忻式；（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題（本題共10小題，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填在下面的表中.每小題4分，滿分40分，錯(cuò)選、不選或選出的答案超過一個(gè)，均記0分.）1．已知函數(shù)y＝（m﹣2）x是反比例函數(shù)，則m的值為（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．任意實(shí)數(shù)【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得出關(guān)于m的一元一次不等式以及一元二次方程，解之即可得出m的值，此題得解．解：∵函數(shù)y＝（m﹣2）x是反比例函數(shù)，∴，解得：m＝﹣2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在坡角為30°的斜坡上要栽兩棵樹，要求它們之間的水平距離AC為6m，則這兩棵樹之間的坡面AB的長(zhǎng)為（）A．12m B．3m C．4m D．12m【分析】AB是Rt△ABC的斜邊，這個(gè)直角三角形中，已知一邊和一銳角，滿足解直角三角形的條件，可求出AB的長(zhǎng)．解：如圖，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝6m，∴AB＝＝＝4（m）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．應(yīng)用問題盡管題型千變?nèi)f化，但關(guān)鍵是設(shè)法化歸為解直角三角形問題，必要時(shí)應(yīng)添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形．3．將拋物線y＝2（x﹣3）2+2向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4 C．y＝2x2 D．y＝2x2+4【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．解：將拋物線y＝2（x﹣3）2+2向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線解析式為：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；再向下平移2個(gè)單位為：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．4．對(duì)于二次函數(shù)y＝（x+1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．對(duì)稱軸是直線x＝﹣1 C．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2） D．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)【分析】根據(jù)a的正負(fù)判斷開口方向，通過拋物線的y＝a（x﹣h）2+k解析式判定對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向即可判斷拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：∵拋物線a＞0，所以開口向上，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2），所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)以及開口向上可判定與x軸沒有交點(diǎn)，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，B選項(xiàng)正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)以及拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．5．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+b與二次函數(shù)y＝b（x﹣a）2的圖象大致為（）A． B． C． D．【分析】本題可先由一次函數(shù)y＝ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y＝b（x﹣a）2的圖象相比較看是否一致．解：A、由拋物線可知，圖象經(jīng)過一、二、三象限，a＞0，b＞0，由拋物線可知，開口向上，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，b＞0，a＞0一致，故此選項(xiàng)正確；B、由拋物線可知，圖象經(jīng)過一、二、四象限，a＜0，b＞0，由拋物線可知，開口向上，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，b＞0，a＞0，不一致，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由拋物線可知，圖象經(jīng)過二、三、四象限，a＜0，b＜0，由拋物線可知，開口向上，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，b＞0，a＞0，不一致，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由拋物線可知，圖象經(jīng)過一、三、四象限，a＞0，b＜0，由拋物線可知，開口向下，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，b＜0，a＜0，不一致，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了拋物線和直線的性質(zhì)，用假設(shè)法來搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法，難度適中．6．已知tanA＝0.85，用計(jì)算器求∠A的大小，下列按鍵順序正確的是（）A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)計(jì)算器功能鍵判斷．解：根據(jù)計(jì)算器功能鍵，先按反三角2ndF，再按正切值．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用計(jì)算器求角，熟悉計(jì)算器功能鍵和按鍵順序是求解本題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與y＝x﹣2的圖象交于點(diǎn)P（a，b），則代數(shù)式的值為（）A． B． C． D．【分析】將P點(diǎn)坐標(biāo)代入到兩個(gè)解析式，可以的到ab＝8和b﹣a＝﹣2，將代數(shù)式變形成，代入即可解決．解：函數(shù)與y＝x﹣2的圖象交于點(diǎn)P（a，b），∴ab＝8，b＝a﹣2，∴b﹣a＝﹣2，∴故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，關(guān)鍵步驟是將代數(shù)式，變形成，再運(yùn)用整體思想進(jìn)行代入，是解題的關(guān)鍵．8．如圖，A，B是雙曲線y＝上的兩個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，交OB于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)C，連接OA，若△ODC的面積為1，D為OB的中點(diǎn)，則k的值為（）A． B．2 C．4 D．8【分析】過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，可知S△BOE＝k，由D為OB的中點(diǎn)，CD∥BE，可知CD是△OBE的中位線，CD＝BE，那么△ODC∽△OBE，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方得出S△ODC＝S△BOE＝k＝1，即可求出k的值．解：過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則S△BOE＝k．∵D為OB的中點(diǎn)，CD∥BE，∴CD是△OBE的中位線，CD＝BE，∴△ODC∽△OBE，∴＝（）2＝，∴S△ODC＝S△BOE＝k＝1，∴k＝8．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟知反比例函數(shù)y＝圖象中任取一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是|k|，且保持不變是解答此題的關(guān)鍵．9．對(duì)稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≥m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．4 C．5 D．6【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①錯(cuò)誤；②∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正確；③當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＜0，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，∴3a+c＞0，故④正確；⑤當(dāng)x＝1時(shí)，y取到值最小，此時(shí)，y＝a+b+c，而當(dāng)x＝m時(shí)，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤錯(cuò)誤，⑥當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，故⑥錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸和拋物線與y軸的交點(diǎn)確定．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜邊都在坐標(biāo)軸上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝???＝30°．若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4…，則依此規(guī)律，點(diǎn)A2022的縱坐標(biāo)為（）A． B． C．0 D．【分析】根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得；；，于是可得到，再根據(jù)2022與4的商和余數(shù)判斷出點(diǎn)A2022與A2位置相同，在y軸的正半軸上，從而得解．解：∵∠A2OC2＝30°，OA1＝OC2＝3，在Rt△OA2C2中，，則，同理可得；，……，∴，∵2022＝4×505???2，∴點(diǎn)A2022與A2都在y軸的正半軸上，∴點(diǎn)A2022的縱坐標(biāo)為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型問題探究﹣點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握從一些特殊的點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)按規(guī)律變化的因素是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題4分，共20分）11．二次函數(shù)y＝（k﹣2）x2+k2﹣4的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則k的值是﹣2．【分析】由題意二次函數(shù)的解析式為：y＝（k﹣2）x2+k2﹣4知k﹣2≠0，則k≠2，再根據(jù)二次函數(shù)y＝（k﹣2）x2+k2﹣4的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，把（0，0）代入二次函數(shù)，解出m的值．解：∵二次函數(shù)的解析式為：y＝（k﹣2）x2+k2﹣4，∴（k﹣2）≠0，∴k≠2，∵二次函數(shù)y＝（k﹣2）x2+k2﹣4的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，∴k2﹣4＝0，∴k＝2或﹣2，∵k≠2，∴k＝﹣2．故答案為﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，這是容易出錯(cuò)的地方．12．已知方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．而點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）為反比例函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，若x1＞x2＞0，則y1＞y2（填“＞”或“＜”或“＝”）．【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，Δ＞0，求出k的取值范圍，進(jìn)而確定k﹣2的符號(hào)，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可得解．解：∵方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＞0，解得：k＜1，∴k﹣2＜0，∴反比例函數(shù)過二，四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵x1＞x2＞0，∴y1＞y2；故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．掌握“方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，Δ＞0”是解題的關(guān)鍵．13．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集為﹣1＜x＜3．【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的對(duì)稱軸和一個(gè)拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出另一個(gè)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得出函數(shù)值大于0的x的取值范圍，即可得到答案．解：由圖象可知：拋物線的對(duì)稱軸為：x＝1，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為：（3，0），則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：1×2﹣3＝﹣1，由圖象可知：函數(shù)值大于0的x的取值范圍為：﹣1＜x＜3，即關(guān)于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集為：﹣1＜x＜3，故答案為：﹣1＜x＜3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組），正確掌握二次函數(shù)與不等式（組）的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，AC＝4，則BC＝8或4．【分析】分兩種情況進(jìn)行解答，一是∠ACB為銳角，另一種∠ACB為鈍角，分別畫出圖形，通過作高，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)和邊角關(guān)系進(jìn)行解答即可．解：①當(dāng)∠ACB為銳角時(shí)，如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，BD＝cos30°×AB＝6，在Rt△ADC中，DC＝＝2，∴BC＝BD+DC＝6+2＝8；②當(dāng)∠ACB為鈍角時(shí)，如圖2，過點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，BD＝cos30°×AB＝6，在Rt△ADC中，DC＝＝2，∴BC＝BD﹣DC＝6﹣2＝4；因此BC的長(zhǎng)為8或4，故答案為：8或4．【點(diǎn)評(píng)】考查直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系等知識(shí)，分類畫出相應(yīng)的圖形，作高構(gòu)造直角三角形是常用的方法．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OBCA是平行四邊形，，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F，若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且△AOF的面積為12，則m的值為（5，）．【分析】先設(shè)OA＝a（a＞0），過點(diǎn)F作FM⊥x軸于M，根據(jù)sin∠AOB＝，得出AH＝a，OH＝a，求出S△AOH的值，根據(jù)S△AOF＝12，求出平行四邊形AOBC的面積，根據(jù)F為BC的中點(diǎn)，求出S△OBF＝6，根據(jù)BF＝a，∠FBM＝∠AOB，得出S△BMF＝BM?FM，S△FOM＝6+a2，再根據(jù)點(diǎn)A，F(xiàn)都在y＝的圖象上，S△AOH＝k，求出a，得出OH，AH的長(zhǎng)，即可得答案．解：設(shè)OA＝a（a＞0），過點(diǎn)F作FM⊥x軸于M，過點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N，∵平行四邊形AOBC，∴OA＝BC，AH＝CN，∴Rt△AOH≌△CBN（HL），∴OH＝BN，∵sin∠AOB＝，∴AH＝a，OH＝a，∴S△AOH＝?a?a＝a2，∵S△AOF＝12，∴S平行四邊形AOBC＝24，∵F為BC的中點(diǎn)，∴S△OBF＝6，∵BF＝a，∠FBM＝∠AOB，∴FM＝a，BM＝a，∴S△BMF＝BM?FM＝?a?a＝a2，∴S△FOM＝S△OBF+S△BMF＝6+a2，∵點(diǎn)A，F(xiàn)都在y＝的圖象上，∴S△AOH＝S△FOM＝k，∴a2＝6+a2，∴a＝，∴OA＝，∴AH＝，OH＝2，∴A（，），∴m＝2×＝16，故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)、平行四邊形、反比例函數(shù)、三角形的面積等，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．三、解答題（第16，17，18，19題每題10分；第20，21題每題12分，第22，23題每題13分；滿分90分）解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.16．計(jì)算（1）2cos45°﹣60°；（2）（sin30°）﹣1×（sin60°﹣cos45°）﹣；（3）已知三角函數(shù)有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，利用該公式求sin75°的值．【分析】（1）先算特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行乘方，乘法運(yùn)算，最后算加減；（2）先算特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，去括號(hào)，開方運(yùn)算，然后進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后算加減；（3）將75°轉(zhuǎn)化為：30°+45°，代入公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝＝＝；（3）sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．17．如圖，直線y＝﹣x+1與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（﹣2，0），連接AC、BC．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求S△ABC；（3）利用函數(shù)圖象直接寫出關(guān)于x的不等式﹣x+1＜的解集．【分析】（1）由題意，可知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣2，把x＝﹣2代入y＝﹣x+1，求出y，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；（2）先將兩函數(shù)的解析式聯(lián)立，解方程組求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式列式計(jì)算即可；（3）觀察圖象，找出直線y＝﹣x+1落在雙曲線y＝下方的部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可．解：（1）把x＝﹣2代入y＝﹣x+1，得y＝2+1＝3，∴A（﹣2，3），∵反比例函數(shù)y＝的圖象過點(diǎn)A，∴k＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝﹣；（2）由，解得，或，∴B（3，﹣2），∴S△ABC＝×3×5＝7.5；（3）由圖象可知，當(dāng)﹣2＜x＜0或x＞3時(shí)，直線y＝﹣x+1落在雙曲線y＝的下方，所以關(guān)于x的不等式﹣x+1＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積，利用了數(shù)形結(jié)合思想．18．已知：如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的高，E為邊AC的中點(diǎn)，BC＝14，AD＝12，sinB＝．求：（1）線段DC的長(zhǎng)；（2）tan∠EDC的值．【分析】（1）在Rt△ABD中，根據(jù)已知條件求出邊AB的長(zhǎng)，再由BC的長(zhǎng)，可以求出CD的長(zhǎng)；（2）根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出∠C＝∠EDC，從而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值．解：（1）∵AD是BC邊上的高，△ABD和△ACD是Rt△，在Rt△ABD中，∵sinB＝，AD＝12，∴，∴AB＝15，∴BD＝，又∵BC＝14，∴CD＝BC﹣BD＝5；（2）在Rt△ACD中，∵E為斜邊AC的中點(diǎn)，∴ED＝EC＝AC，∴∠C＝∠EDC，∴tan∠EDC＝tanC＝．【點(diǎn)評(píng)】此題要靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式和解直角三角形的公式，同時(shí)還要掌握“直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半”等知識(shí)點(diǎn)．19．王叔叔計(jì)劃購(gòu)買一套商品房，首付30萬元后，剩余部分用貸款并按“等額本金”的形式償還，即貸款金額按月分期還款，每月所還貸款本金數(shù)相同設(shè)王叔叔每月償還貸款本金y萬元，x個(gè)月還清，且y是x的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）王叔叔購(gòu)買的商品房的總價(jià)是90萬元；（3）若王叔叔計(jì)劃每月償還貸款本金不超過2000元，則至少需要多少個(gè)月還清？【分析】（1）利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；（2）計(jì)算學(xué)區(qū)房的總價(jià)＝首付30萬元+貸款金額；（3）把y≤0.2代入反比例函數(shù)的解析式求y即可．解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)解析式為：y＝，把P（150，0.5）代入得：0.5＝，k＝60，∴y與x的函數(shù)解析式為：y＝，（2）則總價(jià)＝30+xy＝30+60＝90（萬元），答：王叔叔家購(gòu)買的學(xué)區(qū)房的總價(jià)是90萬元；故答案為：90；（3）當(dāng)y≤0.2時(shí)，0.2≥解得：x≥300，答：至少需要300個(gè)月還清．【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)的應(yīng)用，難度不大，考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，并根據(jù)某點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)求另一個(gè)坐標(biāo)，代入解析式即可．20．已知函數(shù)y＝x2﹣mx+m﹣3．（1）求證：無論m為任何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）若函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限，求m的范圍；（3）求證：無論m為何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第四象限．【分析】（1）求出Δ的取值范圍，即可得證；（2）根據(jù)圖象不經(jīng)過第三象限，可知：當(dāng)x＝0時(shí)，y≥0，且圖象的對(duì)稱軸，進(jìn)行求解即可；（3）證明函數(shù)圖象必過第四象限中的一點(diǎn)即可得證．【解答】（1）證明：∵y＝x2﹣mx+m﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4（m﹣3）＝m2﹣4m+12＝（m﹣2）2+8＞0，∴無論m為任何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）解：y＝x2﹣mx+m﹣3，∴拋物線的對(duì)稱軸為：，由題意得：，解得m＞0，且x＝0時(shí)，y＝m﹣3≥0，解得：m≥3，∴當(dāng)函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限，m≥3；（3）證明：當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1﹣m+m﹣3＝﹣2，∴無論m為何實(shí)數(shù)，拋物線必過點(diǎn)（1，﹣2），即：二次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第四象限．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．21．如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)CD＝15m，斜坡的傾斜角為α，cosα＝．小文在C點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為60°，在D點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為30°（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．（1）求C，D兩點(diǎn)的高度差；（2）求居民樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在Rt△DCE中，可得（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，設(shè)AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，求出x的值，即可得出答案．解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D兩點(diǎn)的高度差為9m．（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，由題意可得BF＝DE，DF＝BE，設(shè)AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民樓的高度AB約為24m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．22．我國(guó)互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展日新月異，網(wǎng)上購(gòu)物備受消費(fèi)者青睞．某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條60元，當(dāng)售價(jià)為每條100元時(shí)，每月可銷售120條．為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價(jià)措施．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查知：銷售單價(jià)每降1元，則每月可多銷售6條．設(shè)每條褲子的售價(jià)為x元（x為正整數(shù)），每月的銷售量為y條．（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該網(wǎng)店每月獲得的利潤(rùn)為w元，當(dāng)銷售單價(jià)降低多少元時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定每月從利潤(rùn)中捐出300元資助貧困學(xué)生．為了保證捐款后每月利潤(rùn)不低于4950元，且讓消費(fèi)者得到最大的實(shí)惠，該如何確定休閑褲的銷售單價(jià)？【分析】（1）直接利用銷售單價(jià)每降1元，則每月可多銷售6條得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用銷量×每件利潤(rùn)＝總利潤(rùn)進(jìn)而得出函數(shù)關(guān)系式求出最值；（3）利用總利潤(rùn)＝4950+300，求出x的值，進(jìn)而得出答案．解：（1）由題意得：y＝120+6