ln(cos2x)

1

3

ex1x3

第三章

微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用作業(yè)習(xí)題

1、證明下列的不等式。

（1）

arctanxarctanyxy

；（2）

xyxxy

ln,(0yx)xyy

。

2、設(shè)

a,,a1

2k1

是任意實數(shù)，求證

f(x)asinxasin3x

13

a

2k1

sin(2k1)x在(

,)

22

內(nèi)必有零點。

3、設(shè)

f(x)

在

[a,)

可導(dǎo)，lim

f(x)

存在，lim

f

(x)b

，求證

b0

。

x

x

4、求下列極限。

（1）lim

x0

(1x)

x

1

x

e

；（2）lim；（3）lim

ln(cos3x)

x0

x0

4

(tanx)

tan2x

；

（4）lim

x1

1x

()

lnxlnx

；（5）lim

x

2

(cosx)

2

x

；（6）lim(ln)x

x

x0

；

（7）lim

x0

2

x

2

x

x

2

2

；（8）lim。

sin6x

x0

5、求函數(shù)

1g(x)ln

x

2

x

的單調(diào)區(qū)間與極值點。

6、證明當(dāng)

0x

2

時，有

sinxtanx2x

。

7、求證當(dāng)

1x[,2]

2

時，有

3xx22

。

8、證明方程

2

x

x

2

1

有且僅有三個實根。

9、求橢圓

x2y2

1

a2b2

的曲率半徑。

10、在半徑為R的球內(nèi)作一內(nèi)接圓錐體，要使錐體體積最大，問其高，底半徑應(yīng)是多少？

1/6

故

；由羅爾定理，

lim

作業(yè)習(xí)題參考答案：

1、

證：（1）取

f(x)arctanx,f

(x)

1

1x

2

,在[x,y]

上對

f(x)

用拉格朗

日中值定理，(x,y)

使得

f(x)f(y)arctanxarctany1

，

xyxy

12

即

arctxanarctyanxy

。

（2）取

f(x)lnx,y0,在[y,x]

上對

f(x)

用拉格朗日中值定理，

(y,x)

，使得

lnxlnyf()(xy)

1

(xy),(0yx)

111xyxxy,ln

xyxyy

。

2、證：設(shè)

F(x)acosx

1

aaa3cos3x5cos5x2k1352k1

cos(2k1)x

則

F(x)f(x),F()0,F()0(,)

2222

，

使F()f()0,

即

是

f(x)

在

(

,)

22

上的零點。

3、證：對

x,x1(a,),則f(x)在[x,x1]

上可導(dǎo)，不妨記

lim

x

f(x)alimf(x1)a

x

。

由拉格朗日中值定理，有

f(x1)f(x)f()(x1x)f(),xx1

。

又limf(x)b

，故limf(x)limf()b,

x

blim

f

(

)

lim

x[f(x1)f(x)]

lim

f(x1)

lim

f(x)0

x

x

x

x

故b0。

4、解：（1）lim

x0

(1x)

x

1

x

1

eex

x0

ln(1x)

x

e

2/6

1

lim

lim

22cos3x4

4

limlim

lim

e2

lim

x0

e

1

x

ln(1x)

1x

[ln(1x)]x21x

limex

x0

ln(1x)

lim

x0

1x(1x)ln(1x)

1xx2

x0

e

lim

x0

11ln(1x)1

e

2x2

。

（2）lim

x0

ln(cos2x)

ln(cos3x)

lim

x0

2

cos2x

3

cos3x

(sin2x)

(sin3x)

2cos3xsin2x

3cos2xsin3xx0

lim。33cos2x9

x0

（3）lim(tanx)tan2x

x0

4

=limetan2xlntanx

x0

4

limtan2xlntanx

x0

limsin2x1

lim

x0

4

lntanx

cot2x

lim

x0

4

1

sec2x

tanx

2csc2(2x)

x0

4

故lim

(tanx)

tan2x

=

e

1

。

x0

4

（4）lim

x1

(

1x1x1

)1lnxlnxlnxx1

x1x1

。

（5）lim

x

2

(cosx)

2

x(x)lncosx

x

2

，

lim

x

2

(x)lncosx2

lim

x

2

(

lncosx

x)12

lim

x

2

1

(sinx)cosx

(x)22

limsinxlim

xx

22

(

x)

2

cosx

2

lim

x

2

2(x)

2

sinx

0

3/6

lim

3

故lim

(cosx)

2

x

=

e

0

1

。

x

2

（6）lim

x0

1

(ln)

x

x

=lime

x0

1

xln(ln)

x

，

lim

x0

1

xln(ln)

x

lim

x0

1

ln(ln)

x

x1

=lim

x0

1

(ln)

x

1

1x()

x2

x2

lim

x0

x

lnx

0

故lim

x0

1

(ln)

x

x

e

0

1

。

（7）

2

x

e

xln2

1

1xln2(xln2)

2

2

(x

2

),(x0),

2xexln2

1xln2

1

2

(xln2)2(x2),(x0),

lim

x0

2x2x2(xln2)2(x2)

x2x2

x0

ln22

。

（8）ex3

1x

3

1

x

2

6

(x

6

),(x0),

sin

6

x[x(x

2

)]

6

x

6

(x

6

),(x0),

lim

x0

ex1xsin6x

3

=lim

x0

1x

3

1

x

2

x6

61x3(x6)

(x

6

)

1

2

。

5、解：g(x)

1

2lnxxln2x

xlnx(2lnx)x2x2

0x1,xe2

。

（0，1）

1

（1，

e

2

）

e

2

（

e

2

，

）

g

(x)

-

0

+

0

-

g(x)

極小值

極大值

g(x)

的單調(diào)減少區(qū)間是（0，1）與（e2，）；

單調(diào)増加區(qū)間是（1，

e

2

）。

g(x)

的極小值是

g(1)0,

極大值是

g(e

2

)e

2

。

6、證：先對原不等式變型得

4/6

當(dāng)

1

2

2

3

sinxsinx2x,0x

cosx2

時，所以原式

sinxcosxsinx2xcosx0

。

設(shè)

f(x)sinxcosxsinx2xcosx,f(0)0

。

f

(x)cos2xcosx2cosx2xsinx(1cosx)2sinx(xsinx)

當(dāng)

0x

2

時，

sinx0,xsinx,

故

f

(x)0,

所以

f(x)

在

[0,)

2

嚴(yán)格増加。

f(x)f(0)0sinxcosxsinx2xcosx0

，

即當(dāng)

0x

2

時，

sinxtanx2x

。

7、證：設(shè)

f(x)2xx3，則f(x)33x20x1,

（舍棄-1）。

因為

13111

f(1)312,f()

2288

,f(2)682

。

所以

f(x)在[,2]

2

上最大值為2，最小值為2，即23xx32

亦即

3xx

3

2

。

8、證：設(shè)

f(x)2xx21,

易知

f(0)f(1)0

，

因為

f(4)1616110,f(5)3225160,

由連續(xù)函數(shù)介值定理

(4,5),

使得

f(

)0即f(x)

至少有三個零點。

假設(shè)

f(x)

=0有四個根，記為

x,x,x,x123

4

，由羅爾中值定理，

f

(x)

有三

個零點，

f

(x)

有二個零點，

f

(x)(ln2)

3

2

x

有一個零點。這顯然不可

能。故方程

2

x

x

2

1

有且僅有三個實根。

9、解：在橢圓

x2y2

1

a2b2

兩邊同時對x求導(dǎo)，得

2x2yyb2x0y