高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧專題研究數(shù)學(xué)究竟是由什么組成的？定理嗎？證明嗎？概念？定義？理論？公式？誠(chéng)然，沒(méi)有這些組成部分，數(shù)學(xué)就不存在，這些都是數(shù)學(xué)的必要組成部分，但是，它們中的任何一個(gè)都不是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)家存在的主要理由就是解決問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問(wèn)題和解，問(wèn)題才是數(shù)學(xué)的心臟?！柲?/p>

掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題，解題就是在原先是隔開(kāi)的事物或想法（已有的事物與要求的事物、已知量和未知量、假設(shè)與結(jié)論）之間去找出聯(lián)系……這種聯(lián)系就像一座橋……像是一條由一系列結(jié)論組成的鏈。解題是一種本領(lǐng)，不僅要能解決普通的問(wèn)題，而且要能解決需要某種程度的獨(dú)立思考、判斷力、獨(dú)創(chuàng)性和想象力的問(wèn)題。

——波利亞

美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)管理者大會(huì)在《21世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（1988）中指出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問(wèn)題解決。并把“問(wèn)題解決”定義為“將先前已獲得的知識(shí)用于新的、不熟悉的情境的過(guò)程。這就是說(shuō)，問(wèn)題解決是一個(gè)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程、探索的過(guò)程、創(chuàng)新的過(guò)程。

學(xué)數(shù)學(xué)如同下圍棋，必須實(shí)踐(做習(xí)題)，必須和較高水平的人切磋(做有一定難度的題)，棋力(數(shù)學(xué)水平)才有長(zhǎng)進(jìn)．此外，還需揣摩成局(學(xué)習(xí)定理的證明或著名問(wèn)題的解法)，領(lǐng)會(huì)其精髓(深刻的數(shù)學(xué)思想)?！獑螇栭_(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)課程的主要目的是教會(huì)學(xué)生如何思考?！敖虝?huì)思考”意味著數(shù)學(xué)教師不僅僅應(yīng)該傳授知識(shí)，而且也應(yīng)當(dāng)去發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所傳授的知識(shí)的能力……——《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》第二卷教師必須通曉他所要講授的內(nèi)容。他應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生如何解題。但是，如果連他自己都搞不清楚，又怎么能教他的學(xué)生呢？教師應(yīng)該提高學(xué)生們的才智和推理能力；教師應(yīng)該能發(fā)現(xiàn)并鼓勵(lì)創(chuàng)造性的見(jiàn)解。但是，教師往往對(duì)自己所學(xué)的課程并沒(méi)有充分掌握，而且也沒(méi)有考慮到如何發(fā)揚(yáng)他自己的技能、推理能力、解題能力以及創(chuàng)造性。依我看，這就是現(xiàn)在對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)中存在的最大缺陷?！ɡ麃?/p>

數(shù)學(xué)解題案例滲透著對(duì)特定數(shù)學(xué)問(wèn)題的深刻反思,反映了數(shù)學(xué)解題實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)與方法,蘊(yùn)涵著一定程度的理論原理,是了解解題教學(xué)的窗口,數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的源泉,是數(shù)學(xué)解題理論的故鄉(xiāng),是數(shù)學(xué)教師發(fā)展的階梯.

1995年北京文科高考狀元段楠說(shuō):“我能學(xué)好數(shù)學(xué)是背例題背出來(lái)的.我不喜歡題海戰(zhàn)術(shù),我喜歡從每一種類型的題中找出一兩道典型“背”下來(lái).剛開(kāi)始的例題可能不會(huì),但“背”過(guò)一兩次,理解之后,再看到這種類型就拿著“例題”往里套了.”

成功的數(shù)學(xué)家大都有樂(lè)而不疲多做題的經(jīng)歷.

解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過(guò)的題.

——前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家雅諾夫斯卡婭

尋找題解就好像去抓石堆里的老鼠.這有兩種方法:一種是可以把這個(gè)石堆的石頭一塊接一塊地逐漸地搬開(kāi),直到露出老鼠來(lái).這時(shí),再撲上去,抓住它.另一種就是圍繞石堆不停止地來(lái)回走動(dòng),并留心觀察,看看什么地方露出老鼠尾巴沒(méi)有.一旦發(fā)現(xiàn)老鼠尾巴,就用手抓住它,并把老鼠從石堆里拖出來(lái).——前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家塔爾塔科夫斯基例1:(1995年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科題)在復(fù)平面上,一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)按照逆時(shí)針?lè)较蛞来螢閆1,Z2,Z3,O(其中O是原點(diǎn)),已知Z2復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng),求Z1和Z3對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).yZ2Z3Z1ox

解法1:如圖,由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義有解法2:由復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義有加減消元即得.例2:（1999年全國(guó)理科高考題）若則()A.1B.-1C.0D.2例3:(2004年天津理科高考題)若則例4:(2007年安徽高考數(shù)學(xué)題)已知?jiǎng)t()例6：“糖水加糖變甜了”，請(qǐng)以這一生活常識(shí)為背景提煉出一個(gè)數(shù)學(xué)命題，然后給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。答案：若b>a>0,m>0，則a/b<a+m/b+m.拓展情境1:將3小杯濃度相同的糖水混合成一大杯后,濃度還相同.答案:由等比定理a1/b1=a2/b2=a3/b3=a1+a2+a3/b1+b2+b3拓展情境2:將幾杯濃度不盡相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的濃度一定比淡的濃而又比濃的淡。答案：對(duì)b1>a1>0,b2>a2>0,則有a1/b1<a2/b2→a1/b1<a1+a2/b1+b2<a2/b2.拓展情境3:取濃度不等的兩杯糖水，它們有一個(gè)平均濃度，合在一起后又有一個(gè)濃度，這兩個(gè)濃度哪個(gè)大？答案：這是一個(gè)有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，需比較與的大小。變式2：（1989年廣東數(shù)學(xué)高考題）如果0<m<b<a,那么（）A.

B.C.

D.例7:已知橢圓(a>b>0),自中心作兩條互相垂直的弦AC,BD.順次連結(jié)A,B,C,D得一四邊形,記其面積為S,在所有這樣的四邊形中,求S的最大值.解:由對(duì)稱性知,只須求出△AOB的面積.設(shè)A的坐標(biāo)為,(),由OA⊥OB得B的坐標(biāo)為則S=4S△AOB=2OA?OB≤OA2+OB2=(a2cos2θ+b2sin2θ)+(a2sin2θ+b2cos2θ)=a2+b2例8:求函數(shù)(a≠0)的最大值與最小值.解:題目的結(jié)構(gòu)像斜率公式,故取A(a2x2,ax),B(-2,1),則A在拋物線y2=x上,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求拋物線上動(dòng)點(diǎn)A與定點(diǎn)B的連線的斜率的最大值與最小值.設(shè)過(guò)B(-2,1)的直線方程為y=k(x+2)+1,代入拋物線方程y2=x得其判別式非負(fù)解得,所以最大值為,最小值為例9:設(shè)λ,ω是已知的復(fù)數(shù)(|λ|≠1),解關(guān)于z的方程解:對(duì)已知式求共軛復(fù)數(shù)與上式聯(lián)立可解得例11:(1992年數(shù)學(xué)高考理科題)在(x2+3x+2)5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為()160B.240C.360D.800解:因?yàn)閤2乘以式中的另兩項(xiàng)不會(huì)產(chǎn)生一次項(xiàng)x,故確定x的系數(shù)與x2項(xiàng)無(wú)關(guān),只須考慮(3x+2)5展開(kāi)式中的x項(xiàng)就夠了:C54?(3x)?24=240x,選B.例12:(1992年數(shù)學(xué)高考題)如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t),那么()f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)答:選A.

真正的問(wèn)題是不能照套的，需要解題者發(fā)揮某種程度的主動(dòng)性與創(chuàng)造性．主動(dòng)性與創(chuàng)造性程度越大，問(wèn)題的難度越大，質(zhì)量越高．例2：化簡(jiǎn)分析1:分別令x=a,x=b,x=c代入上式得答案都為1,由于上式是關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程,至多有兩個(gè)相異根,故上式恒等于1.分析2:x2的系數(shù)是分式,以(a-b)(b-c)(c-a)為公分母,通分后,三項(xiàng)的分子分別為-(b-c),-(c-a),-(a-b),它們的和為0,所以x2項(xiàng)在最后結(jié)果中不出現(xiàn).x的系數(shù)也是分式,以(a-b))(b-c)(c-a)為公分母,通分后,三項(xiàng)的分子分別為(b+c)(b-c),(c+a)(c-a),(a+b)(a-b),即b2-c2,c2-a2,a2-b2,它們的和也為0,所以x項(xiàng)在最后結(jié)果中也不出現(xiàn).常數(shù)項(xiàng)也由三項(xiàng)合并而得,公分母與前面相同,通分后,三項(xiàng)的分子分別為-bc(b-c),-ca(c-a),-ab(a-b),分子的和為-bc(b-c)-ca(c-a)-ab(a-b)=-c(b2-bc+ac-a2)-ab(a-b)=-c(a-b)(c-a-b)-ab(a-b)=(a-b)(ac+bc-c2-ab)=(a-b)(b-c)(c-a)正好與分母相同,相約后值為1.所以答案為1.例3:若函數(shù)t(x)有性質(zhì),則恒等式必成立.解法1:將左端徹底展開(kāi),然后逐步倒退,略加更動(dòng),使之變?yōu)橛叶?評(píng)析:這種工作失于過(guò)分保守,只知比貓畫虎,毫無(wú)創(chuàng)造意識(shí).注意到要證的等式兩端表現(xiàn)的差異,僅是與位置不同.若將左端的與

對(duì)調(diào),便是右端.于是我們只需要證明要證的恒等式的任一端關(guān)于對(duì)稱就夠了.運(yùn)用已知條件,記,則有分子可整理為分母可整理為兩式各自交換,它們都不收影響,即是前邊的分式不變,因此恒等式成立.

解法3:題目的條件與結(jié)論是題系統(tǒng)的兩個(gè)部分,左邊與右邊是等式的兩個(gè)部分,從整體結(jié)構(gòu)上去全面理解題意,可以看到左右兩邊都等于例5:(2007年陜西數(shù)學(xué)高考題)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2,S3n=14,則S4n=()解:把Sn=2,S3n=14代入得即由,得,進(jìn)而例6:(2007陜西數(shù)學(xué)高考理科題)安排3名支教老師去6所學(xué)校任教,每校至多2人,則不同的分配方案共有多少種?解法1:依題意,分配方案有兩種情況:(1)3名教師分到3所學(xué)校,每校1人.這相當(dāng)于從6所學(xué)校取3所作為接收單位,得P63種分法.(2)3名教師分到2所學(xué)校,有一校2人.從3名教師中取2人有C32種取法,再?gòu)?所學(xué)校取2所作為接收單位,得C32P62種分法.由加法原理得不同的分配方案為N=P63+C32P62=210解法2:3名教師每人都有到“6所學(xué)?！钡?種去法,得63種去法,但3名教師都到1所學(xué)校與“每校至多2人”矛盾,故得不同的分配方案共有N=63-6=210種.例7:(2007陜西數(shù)學(xué)高考理科題)已知各項(xiàng)全不為0的數(shù)列｛ak｝的前k項(xiàng)和為Sk,且,其中a1=1.(1)求數(shù)列｛ak｝的通項(xiàng)公式;(2)對(duì)任意給定的正整數(shù)n(n≥2),數(shù)列｛bn｝滿足(k=1,2,…,n-1),b1=1,求b1+b2+…+bn.解:(1)當(dāng)k=1時(shí),由a1=S1=a1a2及a1=1,得a2=2.當(dāng)k≥2時(shí),由得從而奇、偶項(xiàng)合并得ak=k(k∈N＊)(2)把a(bǔ)k=k代入已知,有,得從而

例8:(1992年全國(guó)高考理科題)已知橢圓,A,B是橢圓上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于一點(diǎn).證明:

解:設(shè)A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),由|PA|=|PB|有(acosα-x0)2+(bsinα-0)2=(acosβ-x0)2+(bsinβ-0)2即2ax0(cosα-cosβ)=(a2-b2)(cos2α-cos2

β)即

所以例9:(1984年全國(guó)數(shù)學(xué)高考題)設(shè)p≠0,實(shí)系數(shù)一元二次方程z2-2pz+q=0有兩個(gè)虛數(shù)根z1,z2,再設(shè)z1,z2在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Z1,Z2,求以Z1,Z2為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng).解:由實(shí)系數(shù)一元二次方程的性質(zhì)知z2=≠0,|z2|=|z1|,q=z1z2>0,根據(jù)橢圓的定義,原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為2a,則2a=|0-z1|+|0-z2|=|z1|+|z2|=2|z1|

例10:已知abc≠0,,,m,n∈Z,且,求證:證明:已知表明不同的兩點(diǎn)都在直線ax+by=c上,但A,B又決定一條直線方程即因?yàn)閮牲c(diǎn)確定唯一一條直線,所以,上述兩條直線重合,得對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例,即得證.例11:(2004年廣東數(shù)學(xué)高考題)設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),又與雙曲線x2-y2=1相交于C、D兩點(diǎn),C、D三等分線段AB,求直線的方程.解:從題設(shè)的橢圓方程與雙曲線方程可知,它們的圖形既關(guān)于x軸,又關(guān)于y軸對(duì)稱,既然C、D三等分線段AB,則有AC=CD=DB,則直線也應(yīng)該關(guān)于x軸、y軸或坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.設(shè)直線的方程為y=kx+b,則(1)當(dāng)k=0時(shí),y=b,直線軸.分別把y=b代入橢圓與雙曲線的方程得因?yàn)锳B=3CD,所以x2-x1=3(x4-x3),即,從而,所以直線的方程為(2)當(dāng)斜率k不存在時(shí),直線的方程x=c,直線軸,類似(1)可得,直線的方程為(3)當(dāng)斜率k≠0時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知b=0,則y=kx,此時(shí)直線通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),類似(1)得根據(jù)x2-x1=3(x4-x3),可得,從而直線的方程為例12:對(duì)a,b,c,d,m∈R,m≠-1,且(a-c)2+(b-d)2≠0,求證:證法1:由柯西不等式有證法2:在坐標(biāo)平面上取點(diǎn)A(a,b),B(c,d),直線AB上的其他點(diǎn)為又與AB平行且過(guò)原點(diǎn)的直線為l:(b-d)x-(a-c)y=0.則M到l的距離不大于OM,得,得證.例13:(1994年全國(guó)數(shù)學(xué)高考文科試題)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)于所有的正整數(shù)n,都有,證明:｛an｝是等差數(shù)列.證明:當(dāng)n≥2時(shí),變形為而為了證明｛an｝是等差數(shù)列,只須證(1,a1),(n-1,an-1),(n,an)3點(diǎn)共線,寫成表達(dá)式就是,只需將上式兩邊同時(shí)減去(n-2)a1即得證.即例14:設(shè)m≠n,mn≠0,a>1,求分析:由已知有,,代入求值式,數(shù)字繁多,運(yùn)算復(fù)雜,若用x表示a,則由已知有,,則得證.例15:當(dāng)正數(shù)a為何值時(shí),拋物線與橢圓有4個(gè)不同的交點(diǎn).解:作出拋物線與橢圓的圖形如圖,拋物線與yoxx軸的交點(diǎn)為M(4,0),M1(-4,0);橢圓與x軸的交點(diǎn)為A(a,0),A1(-a,0).要它們有4個(gè)交點(diǎn),須A,A1位于M,M1之外,故得a>4.評(píng)析:由于圖形未反映出精確的數(shù)量關(guān)系,直觀造成了錯(cuò)覺(jué),以為“A,A1位于M,M1之外”是兩曲線有4個(gè)交點(diǎn)的充要條件.其實(shí),這只是充分而不必要條件.事實(shí)上,聯(lián)立兩方程消去x得關(guān)于y的二次方程a2y2-36y+(144-9a2)=0.其兩根在(-3,3)內(nèi).記f(y)=a2y2-36y+(144-9a2),這是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線.方程f(y)=0的兩根在(-3,3)內(nèi)的充要條件為,解得例16:已知橢圓,直線l:.P是l上一點(diǎn),射線OP交橢圓于點(diǎn)R,又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|=|OR|2.當(dāng)點(diǎn)P在L上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡,并說(shuō)明軌跡是什么曲線.解:問(wèn)題的難度在于Q(x,y)同時(shí)受到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(xP,yP),R(xR,yR)的約束,為了化解這個(gè)難點(diǎn),我們引進(jìn)輔助參數(shù)λ∈(0,1),使則,則,分別代入所在的曲線方程得相減即得Q的軌跡方程其中λ≠0知,不包括原點(diǎn).例17:已知,求證:證法1:已知條件表明點(diǎn)在單位圓上,又由顯然的恒等式知,A點(diǎn)在過(guò)B(cosβ,sinβ)(也在單位圓上)的切線xcosβ+ysinβ=1上.由切點(diǎn)的唯一性得A,B重合.則,即代入則得證.證法2:由平均不等式有則所以代入即得證.貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本.解題所做的腦力工作就在于回憶他的經(jīng)驗(yàn)中用得上的東西,并且和他的解題思維聯(lián)系起來(lái).如果你希望從自己的努力中,取得最大的收獲,就要從已經(jīng)解決了的問(wèn)題中找出那些對(duì)將來(lái)的問(wèn)題可能有用的特征.解題中,一個(gè)好念頭的基礎(chǔ)是過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí).——波利亞

教學(xué)生解題是意志的教育.當(dāng)學(xué)生求解那些對(duì)他來(lái)說(shuō)并不太容易的題目時(shí),他學(xué)會(huì)了敗而不餒,學(xué)會(huì)了贊賞微小的進(jìn)展,學(xué)會(huì)了等待主要的念頭,學(xué)會(huì)了當(dāng)主要念頭出現(xiàn)后全力以赴.如果學(xué)生在學(xué)校里沒(méi)有機(jī)會(huì)嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂(lè),那么他的數(shù)學(xué)教育就在最重要的地方失敗了.——波利亞“怎樣解題表”弄清題意擬定計(jì)劃執(zhí)行計(jì)劃?rùn)z驗(yàn)回顧變換,推廣,類比,作出新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).概括方法論因素,建立數(shù)學(xué)模型.弄清問(wèn)題1)已知是什么?2)未知是什么?3)題目要求你干什么?4)可否畫一個(gè)圖形?5)可否數(shù)學(xué)化?擬定計(jì)劃6)你能否一眼看出結(jié)果?7)是否見(jiàn)過(guò)形式上稍有不同的題目?8)你是否知道與此有關(guān)的題目,是否知道用得上的定義,定理公式?9)有一個(gè)與你現(xiàn)在的題目有關(guān)且你已解過(guò)的題目,你能利用它嗎?10)已知條件A,B,C……可否轉(zhuǎn)化?可否建立一個(gè)等式或不等式?11)你能否引入輔助元素?12)如果你不能解這個(gè)題,可先解一個(gè)有關(guān)的題,你能否想出一個(gè)較易下手的,較一般的,特殊的,類似的題?實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

13)把你想好的解題過(guò)程具體地用術(shù)語(yǔ),符號(hào),圖形,式子表述出來(lái).14)修正解題方向以及原來(lái)擬定的不恰當(dāng)?shù)姆桨?15)解題要求是:嚴(yán)密具有邏輯性.回顧反思16)你能擬定其它解題方案嗎?17)你能利用它嗎?你能用它的結(jié)果嗎?你能用它的方法嗎?18)你能找到什么方法檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)果嗎?

正如波利亞所說(shuō)，這是“領(lǐng)會(huì)方法的最佳時(shí)機(jī)”，“當(dāng)讀者完成了任務(wù)，而且他的體驗(yàn)在頭腦中還是新鮮的時(shí)候，去回顧他所做的一切，可能有利于探究他剛才克服困難的實(shí)質(zhì)，他可以對(duì)自己提出許多有用的問(wèn)題：‘關(guān)鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方我可以完成得更好些？我為什么沒(méi)有覺(jué)察到這一點(diǎn)？要看出這一點(diǎn)我必須具備哪些知識(shí)？應(yīng)該從什么角度去考慮？這里有沒(méi)有值得學(xué)習(xí)的訣竅可供下次遇到類似問(wèn)題時(shí)應(yīng)用？’”《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過(guò)程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實(shí)卻已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。在這張包括“弄清問(wèn)題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過(guò)程的解題表中，對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。

他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程分解為五條建議和二十三個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程進(jìn)行分解，使我們對(duì)解題的思維過(guò)程看得見(jiàn)，摸得著，易于操作。

波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過(guò)程，特別是解題過(guò)程中典型有用的智力活動(dòng)。他說(shuō)《怎樣解題》這本書就是實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動(dòng)表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問(wèn)題吧。

“你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？……”波利亞說(shuō)他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過(guò)去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，實(shí)際上是他解決和研究問(wèn)題時(shí)的思維過(guò)程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在，絕非“紙上談兵”。

我們表中的問(wèn)題和建議并不直接提到念頭；但實(shí)際上，所有的問(wèn)題和建議都與它有關(guān)。了解問(wèn)題是為好念頭的出現(xiàn)作準(zhǔn)備；制定計(jì)劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實(shí)現(xiàn)它；回顧此過(guò)程和求解的結(jié)果，我們是試圖更好地利用它?！ɡ麃?/p>

可能會(huì)有這樣的情況：一個(gè)學(xué)生想出了一個(gè)異常好的念頭，于是跳過(guò)所有的預(yù)備步驟，解答就脫口而出了。如此幸運(yùn)的念頭當(dāng)然是求之不得的，但是也可能發(fā)生很不如愿和很不走運(yùn)的事，即學(xué)生通過(guò)上述4階段中的任何一個(gè)階段都沒(méi)有想出好念頭。老師為學(xué)生所能做的最大的好事是通過(guò)比較自然的幫助，促使他自己想出一個(gè)好念頭。——波利亞解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。為了找出哪個(gè)方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近的一側(cè)，我們從各個(gè)方面、各個(gè)側(cè)面去試驗(yàn)，我們變化命題。變化問(wèn)題使我們引進(jìn)了新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了和我們問(wèn)題有關(guān)的元素接觸的新可能性。如果我們不用“題目變更”，幾乎是不能有什么進(jìn)展的?！ɡ麃?/p>

“解題系統(tǒng)”是波利亞解題思想的整體輪廓，“分析解題過(guò)程”是波利亞解題思想的內(nèi)在核心，“念頭誘發(fā)”是波利亞解題思想的外在表現(xiàn)，“問(wèn)題轉(zhuǎn)換”是波利亞解題思想的具體實(shí)現(xiàn)，這張表體現(xiàn)了解題過(guò)程是積極思維活動(dòng)的實(shí)質(zhì)，也抓住了思維活動(dòng)中最富于創(chuàng)造性的成分——提出問(wèn)題，并且為不斷提出問(wèn)題、不斷解決問(wèn)題的積極思維活動(dòng)提供了一個(gè)合理的框架。

對(duì)于多數(shù)中學(xué)教師來(lái)說(shuō),他們最缺乏的是主動(dòng)的、創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)工作經(jīng)驗(yàn),而沒(méi)有一定的獨(dú)立思考、能動(dòng)性和創(chuàng)新精神,也就談不上才智.在數(shù)學(xué)里,才智比起僅僅具有知識(shí)更為重要,而且重要得多.中學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)向?qū)W生傳授知識(shí),而且應(yīng)當(dāng)開(kāi)發(fā)他們的才智,他們的獨(dú)立性、能動(dòng)性和創(chuàng)新精神.因此,教師更應(yīng)當(dāng)具有某種創(chuàng)造性工作的經(jīng)歷.

不能要求一般的教師都去從事某個(gè)非常高深的課題的研究.所謂適當(dāng)水平的創(chuàng)造性工作,對(duì)大多數(shù)教師來(lái)說(shuō),就是解題,尤其是解非常規(guī)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題.這種問(wèn)題并不要求超出中學(xué)水平的知識(shí),卻要求一定程度的(有時(shí)要求高度的)精力集中和判斷能力,需要發(fā)揮某種程度的主動(dòng)性和創(chuàng)造性.解這種問(wèn)題時(shí),不僅有機(jī)會(huì)獲得中學(xué)數(shù)學(xué)的全面知識(shí),而且能享受到發(fā)現(xiàn)的喜悅.“如果你沒(méi)有解過(guò)這樣的問(wèn)題;如果你沒(méi)有體驗(yàn)過(guò)發(fā)現(xiàn)的緊張與勝利;如果,在多年執(zhí)教后,你還沒(méi)有在一個(gè)學(xué)生身上見(jiàn)到這種緊張與勝利,那么,去尋找其他的職業(yè)吧,別再教數(shù)學(xué)了.”——波利亞例18:已知,為銳角,試證:證法1:將條件變形為兩邊同乘,再移項(xiàng)得(1)而,則結(jié)合(1)式得,則證法2:由已知得即(1)