2011年高考天津市數(shù)學試卷-理科(含詳細答案)LtDPAGEPAGE42011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試天津卷（理科）第Ⅰ卷本卷共8小題，每小題5分，共40分一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)()．A．B．C．D．【解】．故選Ｂ．2．設(shè)，則“且”是“”的()．A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解】因為且，則且，因而，所以“且”是“”的充分條件，取，則滿足，但不滿足且，所以“且”不是“”的必要條件．因此“且”是“”的充分而在中，由正弦定理得，即，所以．故選Ｄ．解法2．設(shè)，由題設(shè)，．在中，由余弦定理得，所以．在中，由正弦定理得，即，所以．故選Ｄ．7．，，，則()．A．B．C．D．【解】解法1．，下面比較，和的大?。驗?，，，則最?。?，因為，，所以，因此．所以，因而．由于函數(shù)是上的增函數(shù)，所以．故選Ｃ．解法2．，下面比較，和的大?。驗?，，，則最?。驗?，所以，因而．由于函數(shù)是上的增函數(shù)，所以．故選Ｃ．解法3．由解法2，,畫出函數(shù)和的圖象,比較的縱坐標，可得，于是．因而．由于函數(shù)是上的增函數(shù)，所以．故選Ｃ．8．對實數(shù)和，定義運算“”：設(shè)函數(shù)，．若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是()．A．B．C．D．【解】由題設(shè)畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象的四個端點（如圖）為，，，，從圖象中可以看出，直線穿過點，點之間時，直線與圖象有且只有兩個公共點，同時，直線穿過點及其下方時，直線與圖象有且只有兩個公共點，所以實數(shù)的取值范圍是．故選Ｂ．第Ⅱ卷二、填空題：本答題共6小題，每小題5分,共30分．9．一支田徑隊有男運動員人，女運動員人．若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為．【解】．抽取男運動員的人數(shù)為（人）．10．一個幾何體的三視圖如右圖所示（單位：），則該幾何體的體積為．【解】．幾何體是由一個長方體與一個圓錐組合的．體積為．11．已知拋物線的參數(shù)方程為(為參數(shù)）．若斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與圓相切，則．【解】．拋物線的普通方程為，其焦點為．直線方程為．因為直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即．12．如圖，已知圓中兩條弦與相交于點，是延長線上一點，且，，若與圓相切，則線段的長為．【解】．因為，所以設(shè)，，．由相交弦定理，，所以，，．因為與圓相切，由切割線定理，．所以．13．已知集合，，則集合．【解】．解集合．當時，不等式化為，解得．所以解為；當時，不等式化為，即．所以解為；當時，不等式化為，解得，所以解為．綜合以上，．解集合．因為，所以，所以，因而．14．已知直角梯形中，，，，，是腰上的動點，則的最小值為．【解】．解法1．以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的直角坐標系．由題設(shè)，，設(shè)，，則．，．．，當且僅當時，等號成立，于是，當時，有最小值．解法2．以相互垂直的向量，為基底表示，得．又是腰上的動點，即與共線，于是可設(shè)，有．所以即．由于是腰上的動點，顯然當，即時，所以有最小值．解法3．如圖，，設(shè)為的中點，為的中點，則，，①因為，．則．②（實際上，就是定理：“平行四邊形的對角線的平方和等于各邊的平方和”）設(shè)為的中點，則為梯形的中位線，．設(shè)為的中點，且設(shè)，則，，，代入式②得，于是，于是，當且僅當時，等號成立．由式①，，所以有最小值．三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．(本小題滿分13分)已知函數(shù)，(Ⅰ)求函數(shù)的定義域與最小正周期；(Ⅱ)設(shè)，若，求的大?。窘狻?Ⅰ)函數(shù)的定義域滿足，，解得，．所以函數(shù)的定義域為．最小正周期為．(Ⅱ)解法１．因為，所以，所以，于是，因為，所以，所以，因而，，因為，所以，所以，．解法2．因為，所以，，，所以，因為，所以，于是，整理得，所以，因為，所以，因此．解法3．，，因為，所以．得．故．于是．所以．16．(本小題滿分13分)學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有個白球，個黑球，乙箱子里裝有個白球，個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出個球，若摸出的白球不少于個．則獲獎．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）(Ⅰ)求在次游戲中，(ⅰ)摸出個白球的概率；(ⅱ)獲獎的概率；(Ⅱ)求在次游戲中，獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學期望．【解】(Ⅰ)(ⅰ)設(shè)“在次游戲中摸出個白球”為事件，則．(ⅱ)設(shè)“在次游戲中獲獎”為事件，則，，因為和互斥，所以．(Ⅱ)的所有可能值為，，，所以的分布列是數(shù)學期望．17．(本小題滿分13分)如圖，在三棱柱中中，是正方形的中心，，，且．(Ⅰ)求異面直線與所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角的正弦值；(Ⅲ)設(shè)為棱的中點，點在平面內(nèi)，且，求線段的長．【解】解法１．如圖所示，建立空間直角坐標系，其中點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸．由題意，，，，，，．(Ⅰ),.所以.(Ⅱ),，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．．于是，所以．所以二面角的正弦值為．(Ⅲ)由為棱的中點，得，設(shè)點，則．因為，則即解得故．向量，所以線段的長．解法2．(Ⅰ)由于,故是異面直線與所成的角．因為，是正方形的中心，，，所以，，因此．(Ⅱ)連接，因為及是的中點．則，又，，所以．過點作于，連，于是，所以為二面角的平面角．在中，，連，在中，，，，從而．所以二面角的正弦值為．(Ⅲ)因為，所以，取的中點，連接．由于為棱的中點，所以，且．又，故，因為，所以，連接并延長交于點，則．故．由，得．延長交于，可得，連接．在中，，由直角三角形的射影定理，，所以，．連接，在中，．18．(本小題滿分13分)在平面直角坐標系中，點為動點，，分別為橢圓的左右焦點，已知為等腰三角形．(Ⅰ)求橢圓的離心率；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程．【解】(Ⅰ)設(shè)，．因為為等腰三角形，若，則點在軸上，與矛盾，若，則，，由，有，即，或，不合題意，所以，則，，由，有，即，（舍去）或．所以橢圓的離心率為．(Ⅱ)解法1．因為，所以，．所以橢圓方程為．直線的斜率，則直線的方程為．兩點的坐標滿足方程組消去并整理得．則，．于是不妨設(shè)，．設(shè)點的坐標為．則，，由得．則，．由，得，化簡得．將代入得，所以．因此點的軌跡方程為，．解法2．因為，所以，．橢圓方程為．直線的斜率，則直線的方程為．兩點的坐標滿足方程組消去并整理得．則，．于是不妨設(shè)，．因而點為橢圓短軸的下頂點．如圖，因為，所以點在線段的內(nèi)部，設(shè)點的坐標為．則．過和作軸的垂線．垂足分別為．因為，，則，于是，．因為，是直線上的點，則，所以．即，，．由得．則，．，于是，．因此點的軌跡方程為，．解法3．因為，所以，．所以橢圓方程為．直線的斜率，則直線的方程為．兩點的坐標滿足方程組消去并整理得．設(shè)，．則①，．則②因為，所以，，③將①，②代入式③得，④將代入④并整理得．將代入得，所以．因此點的軌跡方程為，．19．(本小題滿分14分)已知，函數(shù)，．（的圖象連續(xù)不斷）(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)當時，證明：存在，使．(Ⅲ)若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明：．【解】(Ⅰ)，．令，則．當變化時，，的變化情況如下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．(Ⅱ)當時，，由(Ⅰ)知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．令．由于在單調(diào)遞增，則，因而．取，則，所以存在，使，即存在，使．(Ⅲ)由及的單調(diào)性知．從而在區(qū)間上的最小值為．又由，，則．所以即所以．20．(本小題滿分14分)已知數(shù)列與滿足，，，且，．(Ⅰ)求，，的值；(Ⅱ)設(shè)，，證明是等比數(shù)列．(Ⅲ)設(shè)，，證明．【解】(Ⅰ)因為，，所以又，當時，，由，得；當時，，由，得；當時，，由，得．(Ⅱ)對任意,有，①，②．③②－③得．④④代入①得，即，⑤又，由⑤式，對所有，．因此，所以是等比數(shù)列．(Ⅲ)解法1．由