2.2分層隨機(jī)抽樣學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解分層隨機(jī)抽樣的基本思想和適用情形．(重點(diǎn))2．掌握分層隨機(jī)抽樣的實(shí)施步驟．(重點(diǎn))3．了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣方法的區(qū)別和聯(lián)系．(易混點(diǎn))1．通過(guò)對(duì)分層隨機(jī)抽樣概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助分層隨機(jī)抽樣過(guò)程的實(shí)施，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．分層隨機(jī)抽樣的概念定義將總體按其屬性特征分成若干類型(有時(shí)稱作層)，然后在每個(gè)類型中按照所占比例隨機(jī)抽取一定的個(gè)體，這種抽樣方法通常叫作分層隨機(jī)抽樣適用條件總體是由差異明顯的幾類個(gè)體構(gòu)成，并且知道某一類個(gè)體在總體中所占的百分比優(yōu)點(diǎn)能很好地反映總體的規(guī)律，也會(huì)提高對(duì)總體推斷的準(zhǔn)確性思考：1.某市為調(diào)查中小學(xué)生的近視情況，在全市范圍內(nèi)分別對(duì)小學(xué)生、初中生、高中生三個(gè)群體抽樣，進(jìn)而了解中小學(xué)生的總體情況和三個(gè)群體近視情況的差異大?。诔槿颖緯r(shí)可以用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣嗎？為什么？提示：在此總體中，小學(xué)生、初中生、高中生三個(gè)群體在年齡、體質(zhì)、近視情況等方面存在著明顯的差異．若采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，抽取的樣本可能集中于某一個(gè)群體，不具有代表性．2．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣有什么區(qū)別和聯(lián)系？提示：區(qū)別：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)抽取樣本；分層隨機(jī)抽樣則首先將總體分成幾層，在各層中按同一抽樣比抽取樣本．聯(lián)系：(1)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等；(2)每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣．1．某學(xué)校為了了解三年級(jí)、六年級(jí)、九年級(jí)這三個(gè)年級(jí)之間的學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)是否存在顯著差異，擬從這三個(gè)年級(jí)中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是()A.抽簽法 B．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣C.分層隨機(jī)抽樣 D．隨機(jī)數(shù)法C[根據(jù)年級(jí)不同產(chǎn)生差異及按人數(shù)比例抽取，易知應(yīng)為分層隨機(jī)抽樣法．]2．某林場(chǎng)有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)查樹苗的生長(zhǎng)情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為()A.30B．25C[樣本中松樹苗為4000×eq\f(150,30000)＝4000×eq\f(1,200)＝20(棵).]3．某工廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層隨機(jī)抽樣方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n＝________．13[依題意得eq\f(3,60)＝eq\f(n,120＋80＋60)，故n＝13.]對(duì)分層隨機(jī)抽樣概念的理解【例1】(1)下列問(wèn)題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是()A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B.某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125個(gè)，中等收入的家庭280個(gè)，低收入的家庭95個(gè)，為了了解生活購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本C.從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時(shí)間D.從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量(2)分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個(gè)體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能抽樣，必須進(jìn)行()A.每層等可能抽樣B.每層可以不等可能抽樣C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣D.所有層抽取的個(gè)體數(shù)量相同(1)B(2)C[(1)A中總體個(gè)體無(wú)明顯差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；C中，D中總體個(gè)體無(wú)明顯差異且個(gè)數(shù)較多，適合用系統(tǒng)抽樣；B中總體個(gè)體差異明顯，適合用分層隨機(jī)抽樣．(2)保證每個(gè)個(gè)體等可能的被抽取是分層隨機(jī)抽樣的基本特征，為了保證這一點(diǎn)，分層隨機(jī)抽樣時(shí)必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取．]1．使用分層隨機(jī)抽樣的前提分層隨機(jī)抽樣的適用前提條件是總體可以分層、層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小．2．使用分層隨機(jī)抽樣應(yīng)遵循的原則(1)將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；(2)分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．下列問(wèn)題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是()A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B.某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本C.從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時(shí)間D.從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量B[A中總體所含個(gè)體無(wú)差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；C和D中總體所含個(gè)體無(wú)差異且個(gè)數(shù)較多，不適合用分層隨機(jī)抽樣；B中總體所含個(gè)體差異明顯，適合用分層隨機(jī)抽樣．]分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用【例2】某學(xué)校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112人，后勤人員有32人．教育部門為了了解在職人員對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，請(qǐng)利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取，寫出抽樣過(guò)程．[解]抽樣過(guò)程如下：第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為eq\f(20,160)＝eq\f(1,8).第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取16×eq\f(1,8)＝2(人)；從教師中抽取112×eq\f(1,8)＝14(人)；從后勤人員中抽取32×eq\f(1,8)＝4(人).第三步，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師14人，后勤人員4人．第四步，把抽取的個(gè)體組合在一起構(gòu)成所需樣本．分層隨機(jī)抽樣的步驟eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．一個(gè)地區(qū)共有5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬(wàn)人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3，從3萬(wàn)人中抽取一個(gè)300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問(wèn)應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過(guò)程．[解]因?yàn)榧膊∨c地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層隨機(jī)抽樣的方法．具體過(guò)程如下：第一步，將3萬(wàn)人分為5層，其中一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層．第二步，按照樣本容量的比例求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為60人，40人，100人，40人，60人．第三步，按照各層抽取的人數(shù)隨機(jī)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本．第四步，將300人合到一起，即得到一個(gè)樣本．分層隨機(jī)抽樣中的計(jì)算問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．在分層隨機(jī)抽樣中，N為總體容量，n為樣本容量，如何確定各層的個(gè)體數(shù)？提示：每層抽取的個(gè)體的個(gè)數(shù)為ni＝Ni×eq\f(n,N)，其中Ni為第i(i＝1，2，…，k)層的個(gè)體數(shù)，eq\f(n,N)為抽樣比．2．在分層隨機(jī)抽樣中，總體容量、樣本容量、各層的個(gè)體數(shù)、各層抽取的樣本數(shù)這四者之間有何關(guān)系？提示：設(shè)總體容量為N，樣本容量為n，第i(i＝1，2，…，k)層的個(gè)體數(shù)為Ni，各層抽取的樣本數(shù)為ni，則eq\f(ni,Ni)＝eq\f(n,N)，這四者中，已知其中三個(gè)可以求出另外一個(gè)．【例3】(1)交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡(jiǎn)稱駕駛員)對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層隨機(jī)抽樣調(diào)查，假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12，21，25，43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為()A.101 B．808C.1212 D．2012(2)將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2.若用分層隨機(jī)抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取________個(gè)個(gè)體．(1)B(2)20[(1)因?yàn)榧咨鐓^(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛員的人數(shù)為12人，所以四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的比例為eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以駕駛員的總?cè)藬?shù)為(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人).(2)∵A，B，C三層個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2，又總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，∴分層隨機(jī)抽樣應(yīng)從C中抽取100×eq\f(2,10)＝20(個(gè))個(gè)體．]1．在本例(1)中，把條件“其中甲社區(qū)有駕駛員96人，若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12，21，25，43”換為“甲社區(qū)的駕駛員人數(shù)占四個(gè)社區(qū)駕駛員總?cè)藬?shù)的eq\f(1,6)，若從甲社區(qū)抽取的駕駛員人數(shù)為16”，則抽取的樣本容量是多少？[解]設(shè)抽取的樣本容量為n，由題意可知eq\f(16,n)＝eq\f(1,6)，解得n＝96，即所抽取的樣本容量為96.2．在本例(2)中，把條件“其個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2”換為“已知A層的個(gè)體數(shù)為200，且從中抽取的樣本數(shù)為10”，其余不變[解]設(shè)總體容量為N，由題意可知，eq\f(100,N)＝eq\f(10,200)，解得N＝2000.進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常用到的2個(gè)關(guān)系(1)eq\f(樣本容量n,總體的個(gè)數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個(gè)體數(shù),該層的個(gè)體數(shù))；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．1．對(duì)于分層隨機(jī)抽樣中的比值問(wèn)題，常利用以下關(guān)系式：(1)eq\f(樣本容量n,總體容量N)＝eq\f(各層抽取的樣本數(shù),該層的容量)；(2)總體中各層容量之比＝對(duì)應(yīng)層抽取的樣本數(shù)之比．2．選擇抽樣方法的規(guī)律(1)當(dāng)總體容量較小，樣本容量也較小時(shí)，制簽簡(jiǎn)單，號(hào)簽容易攪勻，可采用抽簽法．(2)當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時(shí)，可采用隨機(jī)數(shù)法．(3)當(dāng)總體是由差異明顯的幾部分構(gòu)成時(shí)，可采用分層隨機(jī)抽樣法．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中選擇哪種抽樣方法關(guān)鍵是看總體容量的大小．()(2)分層隨機(jī)抽樣中，個(gè)體數(shù)量較少的層抽取的樣本數(shù)量較少，這是不公平的．()(3)從全班50名同學(xué)中抽取5人調(diào)查作業(yè)完成情況適合用分層隨機(jī)抽樣()[提示](1)錯(cuò)誤．在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中選擇哪種抽樣方法除看總體和樣本容量大小外，還要依據(jù)總體的構(gòu)成情況．(2)錯(cuò)誤.根據(jù)抽樣的意義，對(duì)每個(gè)個(gè)體都是公平的．(3)錯(cuò)誤．適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．[答案](1)×(2)×(3)×2．某校高三年級(jí)有男生500人，女生400人，為了解該年級(jí)學(xué)生的健康狀況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查．這種抽樣方法是()A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．抽簽法C.隨機(jī)數(shù)表法 D．分層隨機(jī)抽樣D[從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分層隨機(jī)抽樣．]3．某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取________名學(xué)生．60[根據(jù)題意，應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取的人數(shù)為eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.]4．一批產(chǎn)品中有一級(jí)品100個(gè)，二級(jí)品60個(gè)，三級(jí)品40個(gè)，用分