1.1.7柱、錐、臺(tái)和球體的體積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解祖暅原理及等體積變換的意義．2．掌握柱、錐、臺(tái)、球的體積公式并會(huì)求它們的體積．復(fù)習(xí)回顧1.正方體的體積公式V正方體=a3(這里a為棱長(zhǎng))2.長(zhǎng)方體的體積公式V長(zhǎng)方體=abc(這里a,b,c分別為長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高)或V長(zhǎng)方體=sh(s,h分別表示長(zhǎng)方體的底面積和高)等底等高的三角形面積相等等面積法：

取一摞作業(yè)本放在桌面上(如圖所示)

，并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？從以上事實(shí)中你得到什么啟發(fā)？一.祖暅原理祖暅原理：冪勢(shì)既同，則積不容異.

也就是說，夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.

祖暅原理是推導(dǎo)柱、錐、臺(tái)和球體積公式的基礎(chǔ)和紐帶，原理中含有三個(gè)條件，條件一是兩個(gè)幾何體夾在兩個(gè)平行平面之間；條件二是用平行于兩個(gè)平行平面的任何一平面可截得兩個(gè)平面；條件三是兩個(gè)截面的面積總相等，這三個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論不成立.祖沖之（公元429年─公元500年）是我國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家，科學(xué)家。南北朝時(shí)期人，漢族人，字文遠(yuǎn)。生于宋文帝元嘉六年，卒于齊昏侯永元二年。其主要貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)、天文歷法和機(jī)械三方面。祖暅，祖沖之之子，圓滿解決了球面積的計(jì)算問題，得到正確的體積公式。祖暅總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢(shì)既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的“祖暅原理”（或劉祖原理）。祖暅應(yīng)用這個(gè)原理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的兒子祖皓，續(xù)傳家學(xué)，后來也成了數(shù)學(xué)家。

等底面積、等高的兩個(gè)柱體是否體積相等？體積相等等高、等截面面積（不受截面形狀影響）二.棱柱和圓柱的體積柱體（棱柱和圓柱）的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的積.即V柱體=S·h.hh底面半徑是R，高為的圓柱體的體積的計(jì)算公式是V圓柱=πR2h.

將一個(gè)三棱柱按如圖所示分解成三個(gè)三棱錐，那么這三個(gè)三棱錐的體積有什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系？

123123三.棱錐和圓錐的體積1.如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面積是S，高是h，那么它的體積是V錐體=Sh.2.如果圓錐的底面半徑是R，高是h，則它的體積是V圓錐=πR2h.四.棱臺(tái)和圓臺(tái)的體積1.V臺(tái)體=；其中S、S’分別為臺(tái)體上、下底面面積，h為臺(tái)體的高.2．V圓臺(tái)=π(r2+Rr+R2)h,其中r、R分別為圓臺(tái)的上、下底面的半徑，高為h.臺(tái)體V柱體=shS=S/S/=0SS’SS數(shù)形五.球的體積V球=，其中R為球的半徑.實(shí)驗(yàn):給出如下幾何模型RR球的體積證明：步驟１．拿出圓錐和圓柱２．將圓錐倒立放入圓柱結(jié)論:截面面積相等

R則兩個(gè)幾何體的體積相等３．取出半球和新的幾何體做它們的截面RRR＝５．球的體積計(jì)算公式：RS1探究球的表面積：例1.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A’B’C’D’中，用截面截下一個(gè)棱錐C－A’DD’，求棱錐C－A’DD’的體積與剩余部分的體積之比。ADCBC/D/B/A/CA/D/DSh例1.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A’B’C’D’中，用截面截下一個(gè)棱錐C－A’DD’，求棱錐C－A’DD’的體積與剩余部分的體積之比。解：已知長(zhǎng)方體可以看作是直四棱柱ADD’A’－BCC’B’。設(shè)底面ADD’A’的面積是S，高為h，則它的體積為V=Sh.因?yàn)槔忮FC－A’DD’的底面面積是S，高是h，所以棱錐C－A’DD’的體積是

VC－A’DD’=

所以棱錐C－A’DD’的體積與剩余部分的體積之比是1：5.例2．有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg，已知螺帽底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為12mm,內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)（取3.14，可用計(jì)算器）？解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，

因此約有

5.8×103÷(7.8×2.956)≈252(個(gè))答：螺帽的個(gè)數(shù)約為252個(gè).練習(xí)題：1．設(shè)六正棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，那么它的體積為（

）（A）6（B）（C）2（D）2B2．正棱錐的高和底面邊長(zhǎng)都縮小原來的，則它的體積是原來的（）（A）（B）（C）（D）B3．直三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，已知點(diǎn)P、Q分別為AA1、CC1上的點(diǎn)，而且滿足AP=C1Q，則四棱錐B－APQC

的體積是（

）（A）（B）（C）（D）B4．把一個(gè)大金屬球表面涂漆，需油漆2.4kg，若把這個(gè)金屬球熔化，制成64個(gè)半徑相等的小金屬球（設(shè)損耗為零），將這些小金屬球表面涂漆，需用油漆

kg.9.65．已知圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面周長(zhǎng)為6π，則它的體積是

.6．一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)都在球面上，若這個(gè)球的體積是V，則這個(gè)正方體的體積是

.7.若球的大圓面積擴(kuò)大為原來的3倍，則它的體積擴(kuò)大為原來的（

）（A）3倍（B）9倍（C）27倍（D）3倍D8.圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1：4：4，母線長(zhǎng)10，則圓臺(tái)的體積為（

）（A