正方形教案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．探索并掌握正方形的概念及特征，并學(xué)會(huì)識(shí)別正方形．2．能正確理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的區(qū)別與聯(lián)系．【基礎(chǔ)知識(shí)概述】1．正方形定義：(1)有一組鄰邊相等并且有—個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．(2)正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有—個(gè)角是直角的菱形．(3)既是矩形又是菱形的四邊形是正方形．2．正方形的特征：正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切特征．(1)邊——四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行．(2)角——四角都是直角．(3)對(duì)角線——①相等；②互相垂直平分；③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．(4)是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸．3．正方形的識(shí)別方法：(1)一組鄰邊相等的矩形是正方形．(2)—個(gè)角是直角的菱形是正方形．4．正方形與矩形、菱形、平行四邊形的關(guān)系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關(guān)系如圖12-2-13．5．正方形的面積：正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方或者等于兩條對(duì)角線乘積的一半．【例題精講】例1如圖12-2-14，已知過(guò)正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F．試說(shuō)明AP＝EF．分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四邊形PECF為矩形，故有EF＝PC，這時(shí)只需證AP＝CP，由正方形對(duì)角線互相垂直平分知AP＝CP．解：連結(jié)AC、PC，∵四邊形ABCD為正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF．注意：①在正方形中，常利用對(duì)角線互相垂直平分證明線段相等．②無(wú)論是正方形還是矩形經(jīng)常通過(guò)連結(jié)對(duì)角線證題，這樣可以使分散條件集中．思考：由上述條件是否可以得到AP⊥EF．提示：可以，延長(zhǎng)AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，則AP⊥EF．例2如圖12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，試說(shuō)明四邊形BEDF是正方形．解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB，同理，DF∥BC，∴BEDF是平行四邊形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF．又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四邊形，∴四邊形BEDF是正方形．思考：還有沒(méi)有其他方法？提示：(有一種方法可以證四邊形DFBE為矩形，然后證BE＝DE，可得．另一種方法，可證四邊形DFBE為菱形，后證一個(gè)角為90°可得)注意：靈活選擇正方形的識(shí)別方法．例3如圖12-2-16所示，四邊形ABCD是正方形，△ADE是等邊三角形，求∠BEC的大?。治觯旱冗吶切魏驼叫味寄芴峁┐罅康木€段相等和角相等，常能產(chǎn)生一些等腰三角形，十分便于計(jì)算．在本題中，必須注意等邊三角形與正方形不同的位置關(guān)系．在(1)圖中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，頂角都是150°，可得底角∠AEB與∠DEC都是15°，則∠BEC為30°．而在(2)圖中，等邊三角形在正方形內(nèi)部，△ABE和△DCE是等腰三角形，頂角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC為75°，再利用周角可求得∠BEC＝150°．解：(1)當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時(shí)，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，則∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．(2)當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，則∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．【中考考點(diǎn)】會(huì)用正方形的性質(zhì)來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題，并能用正方形的定義來(lái)判斷四邊形是否為正方形．【命題方向】本節(jié)出題比較靈活，填空題、選擇題、證明題均可出現(xiàn)．正方形是特殊的平行四邊形，考查正方形的內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上是對(duì)平行四邊形知識(shí)的綜合，涉及正方形知識(shí)的題型較多，多以證明題形式出現(xiàn)．【常見(jiàn)錯(cuò)誤分析】已知如圖12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分別以AC和BC為邊向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM⊥BA的延長(zhǎng)線于M，DK⊥AB的延長(zhǎng)線于K．試說(shuō)明AB＝DK＋HM．錯(cuò)解：延長(zhǎng)DK到S，使KS＝HM，連結(jié)SB．∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°．在△ABC和△SDB中，∵∠ACB＝∠SBD＝90°，BC＝BD，∠2＝90°－∠4＝∠5∴△ABC與△SDB重合，∴AB＝SD＝SK＋DK，即AB＝HM＋DK．分析指導(dǎo)：由于S、B、C三點(diǎn)共線未經(jīng)證明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思維不嚴(yán)密的錯(cuò)誤．正解：如圖12-2-18，延長(zhǎng)DK交CB延長(zhǎng)線于S，下面證KS＝MH．在△ACB和△SBD中，∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，又∠2＝∠3＝∠5，∴△ACB與△SBD重合，∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．在△BKS和△AMH中，∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，∴△BKS與△AMH重合，∴KS＝HM，∴AB＝DK＋HM．【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】正方形是最特殊的平行四邊形，它既是一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角為直角的菱形，所以它的性質(zhì)最多，易混淆．故最好把平行四邊形、矩形、菱形、正方形列表寫(xiě)出它們的定義、性質(zhì)、判定，這樣更容易記憶和區(qū)分．【同步達(dá)綱練習(xí)】一、填空題1．正方形既是________相等的矩形，又是有一個(gè)角是________的菱形．2．正方形ABCD中，對(duì)角線AC＝24，P是AB邊上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到對(duì)角線AC、BD的距離和為_(kāi)_______．3．已知對(duì)角線AC、BD相交于O，(1)若AB＝BC，則是________；(2)若AC＝BD，則是________；(3)若∠BCD＝90°，是________；(4)若OA＝OB，則是________；(5)若AB＝BC，且AC＝BD，則是________．4．在邊長(zhǎng)為2的正方形中有一點(diǎn)P，那么這個(gè)點(diǎn)P到四邊的距離之和是________．5．如圖12-2-19，正方形ABCD的面積等于，正方形DEFG的面積等于，則陰影部分的面積S＝________．6．如圖12-2-20，下面由火柴棒拼出的一系列圖形中，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成，通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：(1)第4個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是________；(2)第n個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是________．7．已知E、F為正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，AE、AF分別與對(duì)角線BD相交于M、N，若∠EAF＝50°，則∠CME＋∠CNF＝________．二、解答題8．如圖12-2-21所示，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝AC，連結(jié)AE，交CD于F，求∠AFC的度數(shù)．9．如圖12-2-22，已知正方形ABCD中，BE∥AC，AE＝AC，試說(shuō)明CE＝CF．10．如圖12-2-23，正方形ABCD中，AC與BD相交于O，E、F分別是DB、BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE＝DF，試說(shuō)明∠E＝∠F．11．如圖12-2-24所示，點(diǎn)G是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD邊上的一點(diǎn)，矩形DEFG的邊EF過(guò)點(diǎn)A，已知DG＝5，求FC的值．參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】1．鄰邊，直角2．123．(1)菱形(2)矩形(3)矩形(4)矩形(5)正方形4．45．6．(1)13(2)3n＋17．100°8．在正方形ABCD中，∠ACB＝45°(正方形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角)．已知AC＝CE，所以∠CAE＝∠E，所以∠CAE＋∠E＝45°，所以∠E＝°．因?yàn)椤螪CE＝90°，∠AFC＝∠DCE＋∠E＝90°＋°＝°．9．過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于G，連結(jié)BD，∵EG⊥AC，BD⊥AC，∴EG∥BD．又AC∥BE，∴四邊形EGOB是矩形，∴EG＝BO．∵BD＝AC，∴，∴∠EAG＝30°．∵△ACE是等腰三角形，∴．∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴