/*Introduction*/

1.數(shù)值分析的任務(wù)、內(nèi)容與特點數(shù)值分析是研究數(shù)學(xué)問題求數(shù)值解的算法及其有關(guān)理論的一門科學(xué)

數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)學(xué)問題計算機近似解由基本運算及規(guī)定的運算順序構(gòu)成的完整的解題步驟稱為算法

/*Algorithm*/

1.Task,Content&Characteristic解：將作Taylor展開例1例2近似計算積分解：由辛浦生公式得到＝0.94614588＝

1.Task,Content&Characteristic算法結(jié)構(gòu)及其描述方式2.分支結(jié)構(gòu)inputa,b，c

例求方程ax2+bx+c=0的根。d＝0d>0outputx1，x2

x1=x2=-b/2a

1.Task,Content&Characteristic算法結(jié)構(gòu)及其描述方式3.循環(huán)結(jié)構(gòu)inputx例outputs

k=3,2,1

s=1－u*s/k

1.Task,Content&Characteristic數(shù)值分析的特點1.1

具有理論和技術(shù)的二重性

數(shù)值分析是相對于數(shù)學(xué)分析的一種數(shù)學(xué)方法，它不同于純數(shù)學(xué)那樣只研究數(shù)學(xué)本身的問題，而是著重研究數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法及其相關(guān)理論，但仍然以一定的數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)進行數(shù)值計算，獲得近似解。1.2

計算過程面向計算機

計算過程是面向計算機還是面向人工計算，對算法要求存在巨大差別。隨著計算機的迅速發(fā)展，數(shù)值計算方法得到了長足發(fā)展和廣泛應(yīng)用。1.3

計算方法可以用數(shù)值實驗驗證

計算方法的優(yōu)劣程度、可行性和有效性等完全可以通過數(shù)值實驗得到證明和驗證。數(shù)值實驗和數(shù)學(xué)理論一樣，都是數(shù)值計算方法的重要研究手段。

1.Task,Content&Characteristic2.誤差/*Error*/2.1來源與分類/*Source&Classification*/從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差/*ModelingError*/通過測量得到模型中參數(shù)的值

——觀測誤差/*MeasurementError*/求近似解——方法誤差(截斷誤差/*TruncationError*/)機器字長有限——計算誤差(舍入誤差

/*RoundoffError*/)2.1Source&Classification解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4

/*Remainder*/取則稱為截斷誤差/*TruncationError*/|

舍入誤差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/計算引起2.2

誤差與有效數(shù)字/*ErrorandSignificantDigits*/絕對誤差/*absoluteerror*/其中x為精確值，x*為x的近似值。Heyisn’titsimple?Ohyeah?ThentellmetheabsoluteerrorofOops!，例如：工程上常記為，稱為絕對誤差限

/*accuracy*/，的上限記為注：e*理論上講是唯一確定的，可能取正，也可能取負。

e*>0不唯一，當(dāng)然e*越小越具有參考價值。Icantellthatthispart’sdiameteris20cm1cm.Icantellthatdistancebetweentwoplanetsis1millionlightyear±1lightyear.Ofcoursemineismoreaccurate!Theaccuracyrelatestonotonlytheabsoluteerror,butalsotothesizeoftheexactvalue.有效數(shù)字/*significantdigits*/用科學(xué)計數(shù)法，記（其中）。若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有n位有效數(shù)字，精確到，或準確到n-m位小數(shù)。例：問：有幾位有效數(shù)字？請證明你的結(jié)論。證明：有位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點后第位。43注：0.2300有4位有效數(shù)字，而00023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！2.2ErrorandSignificantDigits

有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系

有效數(shù)字

相對誤差限已知x*有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限為相對誤差限有效數(shù)字已知x*的相對誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數(shù)字。2.2ErrorandSignificantDigits

例：為使的相對誤差小于0.001%,至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：假設(shè)*取到n

位有效數(shù)字，則其相對誤差上限為要保證其相對誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6log6，即n6，應(yīng)取*=3.14159。2.2ErrorandSignificantDigits

例：計算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!2.3Spread&EstimationforError考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增走勢。可見初始的小擾動公式二：注意此公式與公式一在理論上等價。方法：先估計一個IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇?.3Spread&EstimationforError取

Wejustgotlucky?2.3Spread&EstimationforError0.005051730.005125260.005053220.005232780.0210.005088450.0080.005035030.004096算式例利用下列恒等式計算，結(jié)果見下表

：2.3Spread&EstimationforError問題：對于y=f(x)，若用x*取代x，將對y產(chǎn)生什么影響？分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*xMeanValueTheorem=f’()(x*x)x*與x非常接近時，可認為f’()

f’(x*)，則有：|e*(y)||f’(x*)|·|e*(x)|即：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過f作用后被放大/縮小了|f’(x*)|倍。故稱|f’(x*)|為放大因子

/*amplificationfactor*/或絕對條件數(shù)

/*absoluteconditionnumber*/.2.3Spread&EstimationforError相對誤差條件數(shù)

/*relativeconditionnumber*/

f的條件數(shù)在某一點是小\大，則稱f在該點是好條件的

/*well-conditioned*/\壞條件的

/*ill-conditioned*/。2.3Spread&EstimationforError多元函數(shù)y=f(x1,x2,…,xn)的誤差估計公式中系數(shù)絕對值便是絕對條件數(shù)和相對條件數(shù)。若用近似值x*取代x，則函數(shù)的絕對誤差2.3Spread&EstimationforError相對誤差：2.3Spread&EstimationforError例(P.136.)證明下列命題:(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，f(a)=0

，則在x≈a時計算f(x)的值，按相對誤差是病態(tài)問題。

(2)設(shè)a是方程p(x)=c0xn+c1xn-1+…+cn-1x+cn的根，則當(dāng)接近重根時(即p’(a)≈0時)按照絕對誤差求根a的問題是病態(tài)問題。

證(1)：

因為函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，則y的相對誤差條件數(shù)為由于f(a)=0，當(dāng)x≈a時有故是病態(tài)問題。例考察算式，，，的計算精度。解：設(shè)絕對誤差限最小絕對誤差限最大2.3Spread&EstimationforError2.4幾點注意事項/*Remarks*/2.4.1避免相近二數(shù)相減取Δx=0.1，有：例用中心差商公式求在x=2處的導(dǎo)數(shù)值。（準確值f’(x)x=2=0.353553…）

取Δx=0.0001，有：解:當(dāng)x=2時有：有效位數(shù)損失殆盡對策：

幾種經(jīng)驗性避免方法：當(dāng)|x|<<1時：2.4Remarks2.4.2避免小分母

:分母小會造成浮點溢出/*overflow*/2.4.3避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計算機內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.011010，取單精度時就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010對階運算時大數(shù)吃掉小數(shù)2.4Remarks算法2：先解出再利用對策：改變運算順序或使用公式變換。

例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1+2+3+…+40+109例：在5位十進制機器上計算A=200.82-0.49(準確值A(chǔ)=40320.15)算法1：

A=0.40321×105－0.0000049×105=0.40321×105算法2：A=(200.8+0.7)(200.8-0.7)=(0.2008×103+0.0007×103)(0.2008×103-0.0007×103)=0.2015×103×0.2001×103=0.40320×1052.4Remarks

N=?

N=n!(n-1)例：計算n階行列式的值。

用每秒百億次計算機運算，則需時間:t=0.46×10