9—1在圖示系統(tǒng)中，均質(zhì)桿。4、45與均質(zhì)輪的質(zhì)量均為加，0A桿的長度為A3桿

的長度為乙，輪的半徑為R，輪沿水平面作純滾動。在圖示瞬時，0A桿的角速度為。，

求整個系統(tǒng)的動量。

-ml.G),方向水平向左

2

題9一1圖題9―2圖

9-2如圖所示，均質(zhì)圓盤半徑為R,質(zhì)量為m,不計(jì)質(zhì)量的細(xì)桿長/,繞軸。轉(zhuǎn)動，角速

度為求下列三種情況下圓盤對固定軸的動量矩：

(a)圓盤固結(jié)于桿；

(b)圓盤繞A軸轉(zhuǎn)動，相對于桿0A的角速度為—0；

(c)圓盤繞4軸轉(zhuǎn)動，相對于桿的角速度為切。

R2

2222

(a)Lo-m(+/)co(b)Lo-mlCD；(c)Lo-m(R+1)co

9一3水平圓盤可繞鉛直軸z轉(zhuǎn)動，如圖所示，其對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量為人。一質(zhì)量為”的質(zhì)

點(diǎn)，在圓盤上作勻速圓周運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)的速度為％,圓的半徑為r,圓心到盤中心的距離為

開始運(yùn)動時，質(zhì)點(diǎn)在位置M。，圓盤角速度為零。求圓盤角速度0與角夕間的關(guān)系，軸承摩

擦不計(jì)。

解以圓板和質(zhì)點(diǎn)河為系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)所受外力(包括亞力和約束力)對軸Z的矩均

為零，故系統(tǒng)對軸二動量矩守恒.在任意時刻點(diǎn)M的速度包含相對速度V。和牽連速度”。

其中

v,=OM,0

設(shè)質(zhì)點(diǎn)Af在皿位置為起始位置，該瞬時系統(tǒng)對軸二的動量矩

L,x=mv0(l+r)(1)

在任意時刻：

L:1=Jco+M.(nivy)=Jco+M:(wr0)+M.(nive)

由圖b中，可得

22

=Jco+tnvQ\lcos。+?]+/n(7+r+Hrcos(p)co(2)

根據(jù)動量矩守恒定律.

⑶

由式(l)x(2)、(3)得

77?/v(l-COS^)

CO=-------0--------;-----:---------

J+m(/*+r*+27rcos^)

9-4如圖所示，質(zhì)量為機(jī)的滑塊A,可以在水平光滑槽中運(yùn)動，具有剛性系數(shù)為k的彈簧

一端與滑塊相連接，另一端固定。桿4B長度為/,質(zhì)量忽略不計(jì)，A端與滑塊A較接，B

端裝有質(zhì)量機(jī)I，在鉛直平面內(nèi)可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)。設(shè)在力偶M作用下轉(zhuǎn)動角速度0為常數(shù)。求

滑塊A的運(yùn)動微分方程。

..ktfi\.2?

x+------X=-----------LCDsm(ot

m+嗎m+mx

解取滑塊/和小球5組成的系統(tǒng)為研究對象，建立向右坐標(biāo)x,原點(diǎn)取在運(yùn)動開始時

滑塊4的質(zhì)心上，則質(zhì)心之x坐標(biāo)為（8=?）

_nix+叫（x+/sin〃）

xc=

m十〃八

x=x+------Tesin0

cm+加］

系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動定理：

（in+7叫）xc=-kx

..叫7，,1k

x--------Ssmd=--------.V

rn+叫m+呵

nrl..k嗎2.

m+m+叫

此即滑塊d的運(yùn)動微分方程。

9-5質(zhì)量為“，半徑為R的均質(zhì)圓盤，置于質(zhì)量為M的平板上，沿平板加一常力尸。設(shè)

平板與地面間摩擦系數(shù)為力平板與圓盤間的接觸是足夠粗糙的，求圓盤中心A點(diǎn)的加速度。

解先取圓柱為研究對象，其受力和運(yùn)動分析如圖b所示，根據(jù)剛體平面運(yùn)動微

分方程有

rn2a0=Fx(1)

0=4一%g(2)

Ja=F}r（3）

以圓柱與平板的接觸點(diǎn)d為基點(diǎn)（其加速度由只滾不滑條件知應(yīng)等卜平板加速度。），

研究點(diǎn)o的加速度，有如卜.關(guān)系

a0=a-ra

代入式（1）有

m2(a-ra)=耳(4)

式（3）、式（4）聯(lián)仁并注意

r孫廠

J=——

解得

耳=~T(5)

再以平板為研究時象，其受力和運(yùn)動分析如圖C所示。由質(zhì)心運(yùn)動定理

泄I。=尸一尸1一尸2(6)

0=尸m-7〃lg-尸N1(7)

尸2=網(wǎng)2⑻

式(5)、式(8)代入式(6)、式(7),解得

叱.一”叫+嗎).

叫+嗎/3

9—6均質(zhì)實(shí)心圓柱體A和薄鐵環(huán)8的質(zhì)量均為〃?，半徑都等于「，兩者用桿AB較接，無滑

動地沿斜面滾下，斜面與水平面的夾角為9，如圖所示。如桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，求桿的

加速度和桿的內(nèi)力。

解分別取圓柱/和薄鐵環(huán)B為研究對象，其受力如圖b.c所示：-4和5

均作平面運(yùn)動，桿作平移，由題意知

aA=aB=a

aA=aB=a

對圓柱a有

ma=nigsind-Fj-Fx(1)

F}r=JAa(2)

對薄鐵環(huán)5有

ma=耳+mgsin0-F-,(3)

F2r=JBa(4)

，m->r->，八

JA--r~.JB=mr~(5)

由只滾不滑條件得

a=ar(6)

式(1),式(2)、式(3)、式(4)、式(5),式(6)聯(lián)立，解得

FT=(壓)

a=—gsinO；

9—7均質(zhì)圓柱體A和B的質(zhì)量均為加，半徑為r,一繩纏在繞固定軸。轉(zhuǎn)動的圓柱A匕

繩的另一端繞在圓柱8上，如圖所示。摩擦不計(jì)。求：(1)圓柱體B下落時質(zhì)心的加速度;

(2)若在圓柱體A上作用一逆時針轉(zhuǎn)向，矩為M的力偶，試問在什么條件下圓柱體B的

質(zhì)心加速度將向上。

解(1)分別取輪/和B研究，其受力如圖b、c所示；輪d定軸轉(zhuǎn)動，輪

B作平面運(yùn)動。

對輪a運(yùn)用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程

，a"=上「⑴

時輪B運(yùn)用剛體平面運(yùn)動微分方程有

mg-F-i=maB(2)

JBaB=Fjr(3)

再以C為基點(diǎn)分析點(diǎn)B加速度，有

=%+aBC+(4)

/▼加，

JB=J.l=—r'

式(1)、式(2),式(3)、式(4)聯(lián)立，解得

4

aB=-g

(2)并在輪4上作用1逆時針轉(zhuǎn)矩則輪a將作逆時針轉(zhuǎn)動，對a運(yùn)用剛體繞

定軸轉(zhuǎn)動微分方程有

JAaA=M-FTr(5)

*."i，

幾=JA=~R

以點(diǎn)C為基點(diǎn)，分析點(diǎn)5的加速度。根據(jù)題意，在臨界狀態(tài)有

aB=a'c+a'BC=-aAr+aBr=0(6)

式(5)、式(6),式(2)、式(3)聯(lián)立，解得

M=Imgr

故當(dāng)轉(zhuǎn)矩M>2mgr時輪B的質(zhì)心將上升。

9—8平面機(jī)構(gòu)由兩勻質(zhì)桿AB,8。組成，兩桿的質(zhì)量均為〃?，長度均為/,在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)

動。在桿4B上作用一不變的力偶矩M,從圖示位置由靜止開始運(yùn)動。不計(jì)摩擦，試求當(dāng)A

即將碰到較支座。時A端的速度。

解桿05作定軸轉(zhuǎn)動，桿.面作平面運(yùn)動。由圖b中桿.必瞬心尸和點(diǎn)5速度，

得

co=coOB=co(轉(zhuǎn)向如圖b)(1)

vB=lc(),vA=21cos0-co(2)

當(dāng).4即將碰。時，8=0J.4〃〃(圖c),由式(2)得

vA=2vs=21co,(圖c)(3)

外力做功

WX1=MO-2?-(1-cos0)

動能

n=o

T、=T旬+TOB=+JQ0~H—JQCD~

=—m(—Zo)2+-x.-ml1a>1+—x—m/2-coi1=—ml2a)2=-mv\

222122333

動能定理：

豈一看=一2

得-jmv\=MO-nigl(1-cos。)

v.=.-[M0-rngl(1-cos^)]

'\ni

9-9長為/、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿。4以球鉉鏈0固定，并以等角速度。繞鉛直線轉(zhuǎn)動，如

圖所示。如桿與鉛直線的夾角為。，求桿的動能。

o

os

0

解由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能，得桿的動能

1

T=—JM

2‘

其中（圖1b）

rf「/加s-sin-%nil-.2c

J.=r'dm=-------------ds=-----sm-0

2」J0I3

代入上式得

T=-co2l2sill26

6

題9-9圖題9—10圖

9-10物質(zhì)量為m},沿楔狀物D的斜面下降，同時借繞過滑車C的繩使質(zhì)量為〃4的物體B

上升，如圖所示。斜面與水平成，角，滑輪和繩的質(zhì)量和一切摩擦均略去不計(jì)。求楔狀物。

作用于地板凸出部分E的水平壓力。

廠m.sinO.

!

Fx=---------邑m}gcos8

m,+機(jī)2

9一11鼓輪I重W=500N,對輪心。點(diǎn)的回轉(zhuǎn)半徑為2=0.2m,物塊A重。=300N,

均質(zhì)圓輪II半徑為R,重為尸=400N,在傾角為a的斜面上只滾動不滑動，其中

r=0.1m,R=0.2m,彈簧剛度系數(shù)為人,繩索不可伸長，定滑輪。質(zhì)量不計(jì)。在系統(tǒng)

處于靜止平衡時，給輪心8以初速度”。，求輪沿斜面向上滾過距離s時，輪心的速度為。

解：輪。、B作平面運(yùn)動，物塊A作平動

T1+V,=T2+V2①

V2

T尸;QAO/g+；卬七；/g+J卬22例）2/g+Jpv^/g+1JB①B（；

乙乙乙乙乙

①BO=VBO/R，1=?。/（R+“。0=以。/依+廠）

1,

JB=^PR7g

2222

3=vfi0（3P+2[yv（r+p）+”]/（/?+r）}/（4g）

代入已知數(shù)據(jù)得：7；=41OO/o2/（9g）

同理A=4100vJ/（9g）

取平衡位置為各物體重力勢能的零位置，有：匕=1攵。，

V2-+si+$Psina—（Q+W）s,r/（R+r）

為確定瓦,，考慮靜平衡時，。、4及輪8,由工河￡=0,

得：

I]=（W+Q>/（R+r）

由￡MH=o,有：1\—Psincc—FQ=0,F。=k8st

3st=（W+Q）r/（Rk+rk）-Psma/k

代入①，有

22

41OOVBO/（95）+|^,=4100vJ/（9g）+；M/+S）2

+sPsina-（Q+W）sz7（R+r）

222

解得：=（vso-9g^/82OO）'

題9—11圖

9-12均質(zhì)棒48的質(zhì)量為機(jī)=4kg,其兩端懸掛在兩條平行繩上，棒處在水平位置，如圖

所示。設(shè)其中一繩突然斷了，試用剛體平面運(yùn)動方程求此瞬時另一繩的張力歹。

解設(shè)繩。5突然折斷，因水平無外力，初始靜止,故水平方向不會有加速度，即在繩

斷瞬時棒WB質(zhì)心加速度沿鉛垂方向。棒的受力與運(yùn)動分析如圖b所示。

nig-F=ntac(1)

由相府質(zhì)心動最矩定理：

廠/ml2

F■—=------a(2)

212

且

I

ac=~a(3)

式（1）,⑵、（3）聯(lián)立,解得

F=—=9.8N

4

F=9.8N

9—13圖示機(jī)構(gòu)中，物塊A、8的質(zhì)量均為加，兩均質(zhì)圓輪C、。的質(zhì)量均為2"?,半徑均

為R。C輪較接于無重懸臂梁CK上，。為動滑輪，梁的長度為3R,繩與輪間無滑動。系

統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動，求：（1）4物塊上升的加速度；（2）“E段繩的拉力；（3）固定端K處

的約束反力。

14

“A=/g；F=-mg；=0,F=4.5機(jī)g,M%=\3.5mgR

63kx

A

題9-14圖

解（1）圖b中，

1

yB=^yA（各自正向如圖綜-13b所示）

1

%=;%

八（Of=」---

R

重力功

w

i2=0〃D+mB）gyB-mAgyA=（2m+ni）g-g-mgyA=

動能

T2=TA+TC+TB+TD

=~mVA++:〃八%+—2wv^+；(；2，〃R

3,

=；哂

7]=o.r2—7]=

3,1

即；小%=不〃區(qū)也

上式兩邊對時間r求導(dǎo)得

3加',%=4?^

1

a

A=~6?

"，.g

%a一元一獲

(AT/<gV

榔p

F=￡J5￡c“

HM，他焉

□

Hmgftwg

(a)(b)(c)

由E

卜w;

FjTJW“IbJ

(d)(e)⑴

(2)圖c中，由系統(tǒng)動量矩定理

d

F?R-nigR=—-2mR\t)+nivR

E2c{

2

(廣團(tuán)-mg)R==niRac+mRai

尸m-mg=JnR■—+m—

6R6

4

FEH=-wg

，

(3)圖d中，H=Mg+qD=g

o

l9

圖e中，F(xiàn)

(4)ZFV=O,Cy=3，〃g

(5)圖f中，

ZF》=0,FR=0

9

n,

ZFy=0.%=%=~g

———977

ZM尺=0.MK=F3?KC=-nig?3R=

9一14勻質(zhì)細(xì)桿A8,長為/,放在鉛直面內(nèi)與水平面成死角，桿的A端靠在光滑的鉛直墻

上，8端放在光滑的水平面上，桿山靜止?fàn)顟B(tài)在重力作用下倒下。求：（1）桿在任意位置夕

時的角速度和角加速度；（2）當(dāng)桿的A端脫離墻時，桿與水平面所成的角巴多大？

解（1）桿在任意位置？時的速度瞬心在點(diǎn)R如圖;b所示，故

桿的動能

由動能定理得

兩邊對r求導(dǎo)，注意到。=—。得

a=^-cos<p(逆)

(2)由圖b知質(zhì)心C的運(yùn)動方程為

xc=—cos(p

/

yc=；sin夕

兩邊對時間，求2次導(dǎo)數(shù)，注意到0=-。，0=-a,得

..I.I2

xc=—asm(p--c^cos(p

??//.

y=——acos夕——dr2sinp

c—2.

把&及。代入上式得

x=-gcos(p(3sin(p-2)

c4

y=--g(l+2sin^>-3sm2(pi)

c4

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理

底C=44

加%=%一加g

解得FKi=；nigcos0(3sill(p-2)

當(dāng)a=。時

(p、=arcsin(_sin°o)

9一15鼓輪重1200N,置于水平面上，外半徑R=90cm,輪軸半徑尸=60cm,對質(zhì)心軸

C的回轉(zhuǎn)半徑P=60cm。纏繞在輪軸上的軟繩水平地連于固定點(diǎn)4,纏在外輪上的軟繩

水平地跨過質(zhì)量不計(jì)的定滑輪，吊一重物8,8重P=400N。鼓輪與水平面之間的動摩

擦系數(shù)為0.4,求輪心。的加速度。

解：分別取輪和重物為研究對象，輪作平面運(yùn)動，設(shè)其角加速度為￡，輪心C加速度a,，

山題知&=廠￡，物8加速度%=仍+廠)￡

對輪列平面運(yùn)動微分方程：

(W/g)ac=T2-Tt+F(1)

0=N—W,N=W,尸=/仰=0.4W(2)

J,￡=T2(R+r)-F(R-r)

即：(W/gX"+r2)￡=T2(R+r)-P(R-r)(3)

對重物：(P/g)/=P—T2’，

即：(P/g)(R+r)￡=P—T2(4)

(2)代入(3)式，有：

22

(W/g)(p+r)s=T2(R+r)-OAW(R-r)(5)

(4)x(/?+r)：(P/g)(R+r)2￡=P(R+r)—%(/?+r)(6)

(5)+(6)：(W/g)(p2+r2)s+(P/g)(R+r)2￡=P(R+r)-0.4W(R-r)

P(R+r)-QAW(R-r)

(W/gXp2+r2)+(P/gXR+r)2

________400(1.5)-0.4x1200x0.3

=2.53rad/s2

1200/(9.8)(0.62+0.62)+(400/9.8)(0.9+0.6)2

9-16三根勻質(zhì)細(xì)桿AB,BC,C4的長均為/,質(zhì)量均為根，較接成一等邊三角形，在鉛

垂平面內(nèi)懸掛在固定較接支座A上。在圖示瞬時C處的較鏈銷釘突然脫落，系統(tǒng)由靜止進(jìn)

入運(yùn)動，試求銷釘脫落的瞬時，（1）桿AC的角加速度〃c；（2）桿6C、A8的角加速度

￡B0SAB0

解：（1）取AC為研究對象，桿長為/,質(zhì)量為相，夕=30。

依剛體轉(zhuǎn)動微分方程：

,1,.1,

JA-sAC=mg—Ism（p=—mgl

A=!初2ml/J2

?*-sAc=^8A=^mgl/-ml=3g/4l（順時針）

A3

(2)分別取AB,8C為研究對象：

AB：J-s=^mgl+X--y/3l+Y-^l

AABBBY；

(1)X；

BC：m(l￡ABcos300+0)=-XB(2)

sin30°+一/(3)

JD'SBC=Qi"B(4)

由(2)得：Xg=—tn—I?->/?>￡(5)

由(4)得：

YH-(1/6)ml￡HC

將（5）,（6）式代入（1）式，化簡后得:

2

l3mlsAB=3mgl+ml~eBC(7)

將（6）式代入（3）式，化簡得:

(8)

3mItAH-6mg-4ml￡BC

解（7）與（8）式得:

sAB=18^/55/(逆時針)

將￡AB值代入。）解得:

￡BC=69g/55l(順時針)

9-17圖示勻質(zhì)細(xì)長桿AB,質(zhì)量為m,長度為1.在鉛垂位置由靜止釋放，借A端的水滑

輪沿傾斜角為夕的軌道滑下。不計(jì)摩擦和小滑輪的質(zhì)量，試求剛釋方

4sin6

a=----------g

l+3sin2^

解：圖（a）,初瞬時以3=0,以4為基點(diǎn)，則

習(xí)題9-17圖

即aCx=aA-4&cos0=aA--acosO

aCy=a%sin9=Jasin9

由平面運(yùn)動微分方程：

maCx=mgsin0

(a)

"gsin?(3)

maCv=nigcos0-F^(4)

Jca=FN?—sin^

2

即—mla=FN.'sin。(5)

12N2

(2)(4)(5)a=

解、、聯(lián)立，得3gsm2,(6)

/(l+3sin20)

由(1)、(3),得aA--cos<7a=gsin6>

4sin。

(6)代入，得%=

l+3sin261

題9-17圖題9-18圖

9—18勻質(zhì)細(xì)長桿AB,質(zhì)量為m,長為1,CD=d,與鉛垂墻間的夾角為a,D棱是光滑的。

在圖示位