第1頁/共1頁辛集市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1、考試時(shí)間120分鐘，滿分150分，另附加卷面分5分.2、答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)的位置.3、全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（本題共計(jì)8小題，每題5分，共計(jì)40分）1.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即．聯(lián)立，解得．的外心為．則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，．當(dāng)，時(shí)，重合，舍去．頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.2.已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是A. B.C D.【答案】D【解析】【詳解】分析：根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合即可求出直線斜率的取值范圍．詳解：∵點(diǎn)A（﹣3，4），B（3，2），過點(diǎn)P（1，0）的直線L與線段AB有公共點(diǎn)，∴直線l的斜率k≥kPB或k≤kPA，∵PA的斜率為=﹣1，PB的斜率為=1，∴直線l的斜率k≥1或k≤﹣1，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查直線的斜率的求法，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．直線的傾斜角和斜率的變化是緊密相聯(lián)的，tana=k,一般在分析角的變化引起斜率變化的過程時(shí)，是要畫出正切的函數(shù)圖像，再分析.3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A.270 B.150 C.80 D.70【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的性質(zhì)有，成等比數(shù)列，可得答案.【詳解】根據(jù)題意等比數(shù)列的公比.由等比數(shù)列的性質(zhì)有，成等比數(shù)列所以有，則，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.4.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，利用，得，再利用得到關(guān)系式，再用點(diǎn)C、B在雙曲線上，三個(gè)式子聯(lián)立求解得到，化簡(jiǎn)得到，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】由點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，設(shè)，，，，即，利用向量數(shù)量積公式得：，即①又點(diǎn)C、B均在雙曲線上，②，③由①②③可得：兩邊同時(shí)除以可得：兩邊同時(shí)平方得；，即又雙曲線的離心率，則，即故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于的等量關(guān)系．本題中利用得到點(diǎn)C坐標(biāo)，利用點(diǎn)C、B均在雙曲線上，得到關(guān)系式，再利用得到關(guān)系式，三個(gè)式子聯(lián)立得到所要求的等量關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．5.已知圓的方程為，直線：恒過定點(diǎn)A.若一條光線從點(diǎn)A射出，經(jīng)直線上一點(diǎn)M反射后到達(dá)圓C上的一點(diǎn)N，則的最小值為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】先求得定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再去求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再去求點(diǎn)到圓上一點(diǎn)N距離的最小值即為的最小值.【詳解】圓的圓心，半徑直線可化為，令，解得，所以定點(diǎn)A的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由，解得，所以點(diǎn)B坐標(biāo)為.由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)B，M，N，C四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以的最小值為6.故選：A6.已知直線平分圓：，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意知直線過圓的圓心得到，求的最大值可轉(zhuǎn)化為的最小值的倒數(shù)，利用基本不等式的妙用求最值即可.【詳解】圓：，圓心，直線平分圓：，直線過圓心，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，最大值為.故選：B7.設(shè)是正三棱錐，G是的重心，D是PG上的一點(diǎn)，且，若，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】G是等邊的重心，可得，再由，可得，而，從而可以將用表示出，進(jìn)而可求出【詳解】因?yàn)槿忮F是正三棱錐，G是的重心，所以，因?yàn)镈是PG上的一點(diǎn)，且，所以，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以為，故選：B8.正方體棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為，、中點(diǎn)，現(xiàn)有下列4個(gè)命題：①直線與直線垂直；②直線與平面平行；③點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離相等；④平面截正方體所得的截面面積為．其中正確的是（）A.①③ B.②③ C.②④ D.①④【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷①③的正確性；畫出平面截正方體所得的截面,由此判斷②④的正確性.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，所以①錯(cuò)誤.，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，所以到平面的距離為，，所以到平面的距離為，所以③錯(cuò)誤.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，四點(diǎn)共面，，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，平面，所以平面，所以②正確.等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，④正確.所以正確的為②④.故選：C二、多選題（本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分）9.已知圓：和圓：相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上方，則（）A.B.過作圓切線，切線長(zhǎng)為C.過點(diǎn)A且與圓相切的直線方程為D.圓的弦AC交圓于點(diǎn)D，D為AC的中點(diǎn)，則AC的斜率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再結(jié)合圓的性質(zhì)逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，由解得，則，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，A正確；過作圓的切線，切線長(zhǎng)為，B不正確；直線的斜率為，過點(diǎn)A且與圓相切的直線斜率為，該切線方程為，即，C正確；因D為圓的弦AC的中點(diǎn)，則，于是得點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上，而點(diǎn)D在圓上，則由得直線的方程，其斜率為，D正確.故選：ACD10.已知數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的有（）A.是遞增數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】【分析】將遞推公式兩邊同時(shí)取指數(shù)，變形得到，構(gòu)造等比數(shù)列可證為等比數(shù)列，求解出通項(xiàng)公式則可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)判斷B選項(xiàng)；根據(jù)的通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算的正負(fù)并判斷C選項(xiàng)；將的通項(xiàng)公式放縮得到，由此進(jìn)行求和并判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，從而，，所以，所以，又，是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，即，又因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以是遞增數(shù)列，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，所以不是等比?shù)列，故B錯(cuò)誤.因?yàn)?，而，從而，于是，，故C正確.因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列單調(diào)性的一般判斷步驟：（1）先計(jì)算的結(jié)果，然后與比較大小（也可以計(jì)算的值，然后與比較大小，但要注意項(xiàng)的符號(hào)）；（2）下結(jié)論：若，則為遞增數(shù)列；若，則為遞減數(shù)列；若，則為常數(shù)列.11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，G為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)G，使平面平面C.當(dāng)時(shí)，直線EG與所成角的余弦值為D.三棱錐的外接球體積的最大值為【答案】AD【解析】【分析】選項(xiàng)A求三棱錐體積判斷；選項(xiàng)B用反證法判斷；選項(xiàng)C建立空間坐標(biāo)系，用向量法求直線與直線所成角的余弦值來斷；選項(xiàng)D求外接球心，用方程求解判斷．【詳解】解：對(duì)于A，，所以A正確；對(duì)于B，若存在線段，使平面平面線段，因?yàn)槠矫娼黄矫媾c平面分別為與，于是，應(yīng)在的延長(zhǎng)線上，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，以在為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，則，則，2，，，0，，2，，，2，，所以，2，，，0，，所以，，所以直線與所成角的余弦值為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，三棱錐外接球半徑最大，連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)槿切螢橹苯侨切危酝饨忧虻那蛐脑谶^點(diǎn)且垂直于面的直線上，與交于，設(shè)球心為，如平面展開圖，設(shè)半徑，因?yàn)?，，所以，所以，，由，可得，解得，故體積的最大值為，所以D正確，故選：AD．12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上異于的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最大值為9B.若以為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，則C.若，則有或13D.設(shè)，的斜率分別為、，則的最小值為【答案】BD【解析】【分析】求得的最大值判斷選項(xiàng)A；求得判斷選項(xiàng)B；求得的值判斷選項(xiàng)C；求得的最小值判斷選項(xiàng)D.【詳解】雙曲線中、，焦距，實(shí)軸長(zhǎng)不妨設(shè)，選項(xiàng)A：則，又，則由，可知，即，則的最大值為16.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：以為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，則有則，解之得，則，則則.判斷正確；選項(xiàng)C：若，由，可得或（因?yàn)?，舍去?判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由，可得即，則故，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）即的最小值為.判斷正確.故選：BD卷Ⅱ（非選擇題）三、填空題（本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分）13.已知空間向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)___________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)向量共面，可設(shè)，先求解出的值，則的值可求.【詳解】因?yàn)?，，共面且，不共線，所以可設(shè)，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.14.過拋物線上的點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程為_________.【答案】或【解析】【分析】分別討論直線斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為與拋物線方程聯(lián)立，滿足，即可求解.【詳解】由題，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，聯(lián)立，可得，因?yàn)橹本€與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，所以，則直線為，即；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，故答案為：或15.已知數(shù)列滿足，，則______．【答案】63【解析】【分析】由題設(shè)可得，應(yīng)用累加法，結(jié)合已知即可求.【詳解】由題設(shè)，，所以，又，所以.故答案為：.16.北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）______塊．【答案】【解析】【分析】設(shè)每層環(huán)數(shù)為，結(jié)合已知有求n，進(jìn)而應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求三層共有扇面形石板數(shù).【詳解】設(shè)每層環(huán)數(shù)為，則上層最后一環(huán)有塊，中層第一環(huán)有塊，最后一環(huán)有塊，下層第一環(huán)有塊，最后一環(huán)有塊，所以下層比中層多，可得，則三層共有扇面形石板塊.故答案為：四、解答題（本題共計(jì)6小題，17題10分，18-22題每題12分，共計(jì)70分）17.在等差數(shù)列{an}中，a10＝23，a25＝－22.（1）數(shù)列{an}前多少項(xiàng)和最大？（2）求{|an|}的前n項(xiàng)和Sn.【答案】（1）前17項(xiàng)；（2）Sn＝.【解析】【分析】（1）利用通項(xiàng)公式表示已知條件，得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求解后得到通項(xiàng)公式，探究項(xiàng)的正負(fù)，進(jìn)而得到答案；（2）根據(jù)（1）中的正負(fù)項(xiàng)的研究結(jié)論，對(duì)于前面的正項(xiàng)取絕對(duì)值后不變，直接用原等差數(shù)列的求和公式計(jì)算；對(duì)于后面有負(fù)數(shù)項(xiàng)的情況，利用湊配法轉(zhuǎn)化為原等差數(shù)列的和的組合的問題進(jìn)行運(yùn)算可得結(jié)論.【詳解】（1）由得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.令an>0，得n<，∴當(dāng)n≤17，n∈N*時(shí)，an>0；當(dāng)n≥18，n∈N*時(shí)，an<0，∴{an}的前17項(xiàng)和最大.（2）當(dāng)n≤17，n∈N*時(shí)，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n.當(dāng)n≥18，n∈N*時(shí)，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)＝2＝n2－n＋884.∴Sn＝【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，考查等差數(shù)列的絕對(duì)值數(shù)列的求和問題，屬中檔題，關(guān)鍵是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，分類討論，并適當(dāng)配湊轉(zhuǎn)化為可利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算的形式.18.已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)M為中點(diǎn)，．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角大小；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，則有，在證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)M為中點(diǎn)，，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；【小?詳解】以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，因?yàn)槠矫?，所以即為平面PCD的一條法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，所以，即直線與平面所成角的大小為.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用遞推式，等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出答案.（2）,可得，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出.【小問1詳解】解：由已知，得，，∴．【小問2詳解】證明．.20.已知圓.（1）過點(diǎn)作圓C的切線l，求切線l的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線m與圓C交于AB兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B分圓周得兩段弧長(zhǎng)之比為1：2，求直線m得方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解，注意分斜率存在與不存在兩種情況；（2）利用條件可分析出弦所對(duì)圓心角，據(jù)此求出圓心到直線的距離，即可求解.【小問1詳解】由可得，即圓心為，半徑，顯然當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，是圓的切線，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，即，由圓心到直線的距離，解得，故切線為或.【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A、B分圓周得兩段弧長(zhǎng)之比為1：2，故,所以，故圓心到直線的距離，直線斜率不存在時(shí)，由知，不符合題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則圓心到直線的距離，解得，故直線方程為或.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是PF的中點(diǎn)，且Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為．（1）求拋物線C的方程；（2）已知圓，圓M的一條切線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：OA，OB的斜率之差的絕對(duì)值為定值．【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意即可列出等式，即可求出答案；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程為即