21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)

的關(guān)系第一頁，共16頁。第一頁，共16頁。方程x1x2x1+

x2x1

x2x2-2x=0x2-3x-4=0x2-5x+6=0填表問題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②

x2+px+q=0的兩根x1,,x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

第二頁，共16頁。第二頁，共16頁。根與系數(shù)關(guān)系如果關(guān)于x的方程的兩根是,,則:如果方程二次項系數(shù)不為1呢?第三頁，共16頁。第三頁，共16頁。?思考第四頁，共16頁。第四頁，共16頁。一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的證明：x1+

x2

=+==-x1x2=●===第五頁，共16頁。第五頁，共16頁。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1,x2,那么x1+

x2

=x1x2=-（韋達(dá)定理）注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0兩根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項于二次項系數(shù)的比。第六頁，共16頁。第六頁，共16頁。例題例4、根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的x1

，x2的和與積

(1)x2-6x-15=0(2)3x2+7x-9=0(3)5x-1=4x2第七頁，共16頁。第七頁，共16頁。課本16頁練習(xí)四道第八頁，共16頁。第八頁，共16頁。典型題講解：例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1,x2。

求：(1)(2)x12+x22解：由題意可知x1+x2=-,x1·x2=-3(1)===(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22

＋2x1x2∴x12+x22

＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2-2×(-3)＝6第九頁，共16頁。第九頁，共16頁。變式練習(xí)：

設(shè)x1，x2是方程2x2+4x-3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值。（2）

（1）（３）（x1-x2）2第十頁，共16頁。第十頁，共16頁。典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解：設(shè)方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由根與系數(shù)關(guān)系，得x1●2＝3k

即2x1

＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一個根是－3,k的值是－2。第十一頁，共16頁。第十一頁，共16頁。典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解二：設(shè)方程的另一個根為x1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1

＋2=k+1x1

●2=3k解這方程組，得x1=－3k=－2答：方程的另一個根是－3,k的值是－2。第十二頁，共16頁。第十二頁，共16頁。試一試1、已知方程3x2－19x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值。2、設(shè)x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：設(shè)方程的另一個根為x1,則x1+1=,∴

x1=,又x1●1=,∴

m=3x1=16解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=第十三頁，共16頁。第十三頁，共16頁。拓廣探索1、當(dāng)k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。解：設(shè)方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3當(dāng)k=9或-3時，由于△≥0，∴k的值為9或-3。第十四頁，共16頁。第十四頁，共16頁。2、設(shè)x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值。拓廣探索解：由方程有兩個實數(shù)根，得即-8k+4≥0由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由x12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4經(jīng)檢驗，k2=4不合題意，舍去?！鄈=0第十五頁