3/14/2023主講人：

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Probabilisticmodel

現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機因素可以忽略，或者隨機因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮，就應建立隨機模型。本章討論如何用隨機變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立隨機模型——概率模型。概率模型確定性因素和隨機性因素隨機因素可以忽略隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計回歸模型馬氏鏈模型隨機模型確定性模型隨機性模型一、概率論基礎知識1、古典概型例：現(xiàn)有100個零件，其中95個長度合格，94個直徑和格，92個兩個尺寸都合格。任取一個，發(fā)現(xiàn)長度合格，問直徑合格的概率。設A=‘長度合格’，B=‘直徑合格’條件概率：在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率全概率公式和貝葉斯公式

設B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個劃分，且有P(Bi)>0，i=1,2,…,n,則對E的任一事件A，有:貝葉斯公式全概率公式例：某電子設備制造廠所用的某種晶體管是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供份額甲廠0.020.15乙廠0.010.80丙廠0.030.05設這三家的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的,且無區(qū)別的標志。現(xiàn)在倉庫中隨機地抽取一只晶體管,(1)求它是次品的概率；(2)若已知取到的是次品,問此次品是哪個廠生產(chǎn)的可能性更大？設A=“取到的是一只次品”,Bi=“所取產(chǎn)品由第i廠提供”,易知B1,B2,B3是樣本空間的一個劃分。解(1)由全概率公式:=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.0125(2)由貝葉斯公式:同理P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12.以上結(jié)果表明，這只次品來自乙廠的可能性最大。

背景:指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命，

動物的壽命，電話問題中的通話時間，服務時間等.指數(shù)分布如：同齡人的身高、體重、考試分數(shù)、某地區(qū)年降水量等。背景:如果決定試驗結(jié)果X的是大量隨機因素的總和，假設各個因素之間近似獨立，并且每個因素的單獨作用相對均勻地小，那么X的分布近似正態(tài)分布。正態(tài)分布描述了隨機變量的概率取值中心—均值數(shù)學期望3、數(shù)學期望的概念和計算4、MATLAB中相關(guān)的的概率命令在MATLAB中輸入以下命令：x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)1．密度函數(shù)：p=normpdf(x,mu,sigma)

(當mu=0,sigma=1時可缺省)如對均值為mu、標準差為sigma的正態(tài)分布，舉例如下：3．逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma).

即求出x，使得P{X<x}=P，此命令可用來求分位數(shù).2．概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)例3有10臺機床,每臺發(fā)生故障的概率為0.08,而10臺機床工作獨立,每臺故障只需一個維修工人排除.問至少要配備幾個維修工人,才能保證有故障而不能及時排除的概率不大于5%。解：隨機變量X示發(fā)生故障的機床的臺數(shù),則4．均值與方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)例5求正態(tài)分布N(3,52)的均值與方差.命令為：[m,v]=normstat(3,5)結(jié)果為：m=3,v=255．隨機數(shù)生成：normrnd(mu,sigma,m,n).產(chǎn)生m×n階的正態(tài)分布隨機數(shù)矩陣.例6命令：M=normrnd(0,3,100,1)傳送帶掛鉤產(chǎn)品工作臺工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運走，若工作臺數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運走的產(chǎn)品越多。背景在生產(chǎn)進入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標，研究提高傳送帶效率的途徑9.1傳送系統(tǒng)的效率模型分析進入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運轉(zhuǎn)，應假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺，使他可將產(chǎn)品掛上運走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。

可以用一個周期內(nèi)傳送帶運走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標。工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻不會一致，可以認為是隨機的，并且在一個周期內(nèi)任一時刻的可能性相同。模型假設1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產(chǎn)相互獨立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；2）生產(chǎn)進入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能的；3）一周期內(nèi)m個均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方，到達第一個工作臺的掛鉤都是空的；4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品掛上運走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運送系統(tǒng)。模型解釋若(一周期運行的)掛鉤數(shù)m遠大于工作臺數(shù)n,則傳送帶效率(一周期內(nèi)運走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）定義E=1-D(一周期內(nèi)未運走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）提高效率的途徑：

增加m當n遠大于1時,E

n/2m~E與n成正比，與m成反比若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)9.2報童的訣竅問題報童售報：a(零售價)

>b(購進價)

>c(退回價)售出一份賺a-b；退回一份賠b-c每天購進多少份可使收入最大？分析購進太多賣不完退回賠錢購進太少不夠銷售賺錢少應根據(jù)需求確定購進量每天需求量是隨機的優(yōu)化問題的目標函數(shù)應是長期的日平均收入每天收入是隨機的存在一個合適的購進量等于每天收入的期望建模

設每天購進n份，日平均收入為G(n)調(diào)查需求量的隨機規(guī)律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準備求n使G(n)最大已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c結(jié)果解釋nP1P2取n使

a-b~售出一份賺的錢b-c~退回一份賠的錢0rp9.3隨機存貯策略問題以周為時間單位；一周的商品銷售量為隨機；周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。（s,S)存貯策略制訂下界s,上界S，當周末庫存小于s時訂貨，使下周初的庫存達到S;否則，不訂貨。考慮訂貨費、存貯費、缺貨費、購進費，制訂（s,S)存貯策略,使(平均意義下)總費用最小建模與求解1）設x<s,求u使J(u)最小，確定S建模與求解SP1P20rp2）對庫存x，確定訂貨點s若訂貨u,u+x=S,總費用為

若不訂貨,u=0,總費用為

訂貨點s是的最小正根建模與求解不訂貨最小正根的圖解法J(u)在u+x=S處達到最小xI(x)

0SI(S)sI(S)+c0I(x)在x=S處達到最小值I(S)I(x)圖形建模與求解J(u)與I(x)相似I(S)的最小正根s9.4軋鋼中的浪費軋制鋼材兩道工序

粗軋(熱軋)~形成鋼材的雛形

精軋(冷軋)~得到鋼材規(guī)定的長度粗軋鋼材長度正態(tài)分布均值可以由軋機調(diào)整方差由設備精度確定粗軋鋼材長度大于規(guī)定切掉多余部分粗軋鋼材長度小于規(guī)定整根報廢隨機因素影響精軋問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費最小背景分析設已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為l，粗軋后鋼材長度的均方差為記粗軋時可以調(diào)整的均值為m，則粗軋得到的鋼材長度x為正態(tài)隨機變量，記作x~N(m,2)切掉多余部分的概率整根報廢的概率存在最佳的m使總的浪費最小lP0p(概率密度)mxP′mPP′建模選擇合適的目標函數(shù)切掉多余部分的浪費整根報廢的浪費總浪費=+粗軋一根鋼材平均浪費長度粗軋N根成品材PN根成品材長度lPN總長度mN共浪費長度mN-lPN選擇合適的目標函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費長度得到一根成品材平均浪費長度更合適的目標函數(shù)優(yōu)化模型：求m使J(m)最?。ㄒ阎猯,）建模粗軋N根得成品材PN根實際上，J（m）恰好是平均每得到一根成品材所需鋼材的長度求解求z使J(z)最?。ㄒ阎┣蠼狻⒎址ㄇ髽O值例設l=2(米),=20(厘米)，求m使浪費最小。=l/=10z*=-1.78*=-z*=11.78m*=*=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z算出再代入即得到的最優(yōu)值9.5隨機人口模型背景

一個人的出生和死亡是隨機事件一個國家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個家族或村落出生概率死亡概率隨機性模型對象X(t)~時刻t的人口,隨機變量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差若X(t)=n,對t到t+t的出生和死亡概率作以下假設1)出生一人的概率與t成正比，記bnt;出生二人及二人以上的概率為o(t).2)死亡一人的概率與t成正比，記dnt;死亡二人及二人以上的概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件。bn與n成正比，記bn=n,~出生概率；dn與n成正比，記dn=n，~死亡概率。進一步假設模型假設建模為得到Pn(t)=P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n的分解X(t)=n-1,t內(nèi)出生一人X(t)=n+1,t內(nèi)死亡一人X(t)=n,t內(nèi)沒有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+t)Pn-1(t)bn-1t

Pn+1(t)dn+1t

Pn(t)[1-bnt-dnt]

o(t)~一組遞推微分方程——求解的困難和不必要(t=0時已知人口為n0)轉(zhuǎn)而考察X(t)的