1第三章多元線性回歸模型（2）一、

基本概念回顧二、基本假設(shè)三、檢驗四、自變量關(guān)系

2一，概念：1、偏回歸系數(shù)：1、與雙變量模型一樣分為確定性成分和隨機性成分。2、YXU也分別為被解釋變量、解釋變量隨機擾動項。3不同的是回歸系數(shù)我們稱之為偏回歸系數(shù)3偏回歸系數(shù)討論：經(jīng)濟學(xué)中的比較靜態(tài)分析與偏回歸系數(shù)的含義！問題：我們?nèi)绾卧u價某一解釋變量對被解釋變量的真實影響？如：如何評價X2對Y變化的真實貢獻？控制住X3影響！5步驟三6一般形式：對于有個解釋變量的線性回歸模型模型中參數(shù)是偏回歸系數(shù)，樣本容量為偏回歸系數(shù)：控制其它解釋量不變的條件下，第個解釋變量的單位變動對應(yīng)變量平均值的影響。7指對各個回歸系數(shù)而言是“線性”的，對變量則可是線性的，也可是非線性的例如：生產(chǎn)函數(shù)取自然對數(shù)2、線性9

用矩陣表示10二、多元線性回歸模型的基本假定

假設(shè)1，解釋變量是非隨機的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。

假設(shè)2，隨機誤差項具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性。11

假設(shè)3，解釋變量與隨機項不相關(guān)假設(shè)4，隨機項滿足正態(tài)分布

13假設(shè)4，向量

有一多維正態(tài)分布，即

假設(shè)3，E(X’)=0，即

轉(zhuǎn)置假設(shè)5，回歸模型的設(shè)定是正確的。141、修正的可決系數(shù)可決系數(shù)只涉及變差，沒有考慮自由度。如果用自由度去校正所計算的變差，可糾正解釋變量個數(shù)不同引起的對比困難。。三、多元回歸檢驗152、F檢驗4、T檢驗17四、自變量關(guān)系1、篩選自變量，偏F。與FC1819判定系數(shù)比較的前提條件：被解釋變量相同：不同解釋變量的判定系數(shù)不可比樣本容量相同矯正的判定系數(shù)可作為增減變量的依據(jù)2、判定系數(shù)21但是，如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無約束回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR

與RSSU的差異變小。

可用RSSR

-RSSU的大小來檢驗約束的真實性于是：

討論：如果約束條件無效，RSSR

與RSSU的差異較大，計算的F值也較大。

于是，可用計算的F統(tǒng)計量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條件的真實性進行檢驗。注意，kU-kR恰為約束條件的個數(shù)。

利用約束條件判定對回歸模型增加或減少解釋變量考慮如下兩個回歸模型(*)(**)(*)式可看成是（**）式的受約束回歸：H0：相應(yīng)的Ｆ統(tǒng)計量為：

如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1,…,Xk+q對Ｙ沒有解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計量較小；否則，約束條件為假，意味著額外的變量對Ｙ有較強的解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計量較大。因此，可通過F的計算值與臨界值的比較，來判斷額外變量是否應(yīng)包括在模型中。討論：

Ｆ統(tǒng)計量的另一個等價式因此，檢驗的F統(tǒng)計量為：

記RSS1與RSS2為在兩時間段上分別回歸后所得的殘差平方和，容易驗證，于是參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗步驟：

（1）分別以兩連續(xù)時間序列作為兩個樣本進行回歸，得到相應(yīng)的殘差平方：RSS1與RSS2

（2）將兩序列并為一個大樣本后進行回歸，得到大樣本下的殘差平方和RSSR

（3）計算F統(tǒng)計量的值，與臨界值比較：

若F值大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化，參數(shù)是非穩(wěn)定的。

該檢驗也被稱為鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗（Chowtestforparameterstability）。

2、鄒氏預(yù)測檢驗

上述參數(shù)穩(wěn)定性檢驗要求n2>k。如果出現(xiàn)n2<k

，則往往進行如下的鄒氏預(yù)測檢驗（Chowtestforpredictivefailure）。

鄒氏預(yù)測檢驗的基本思想:

先用前一時間段n1個樣本估計原模型，再用估計出的參數(shù)進行后一時間段n2個樣本的預(yù)測。

如果預(yù)測誤差較大，則說明參數(shù)發(fā)生了變化，否則說明參數(shù)是穩(wěn)定的。分別以、表示第一與第二時間段的參數(shù)，則其中，

如果

=0，則=，表明參數(shù)在估計期與預(yù)測期相同(*)(*)的矩陣式：可見，用前n1個樣本估計可得前k個參數(shù)的估計，而不外是用后n2個樣本測算的預(yù)測誤差X2(-)(**)如果參數(shù)沒有發(fā)生變化，則=0，矩陣式簡化為(***)（***）式與（**）式這里：KU-KR=n2RSSU=RSS1分別可看成受約束與無約束回歸模型，于是有如下F檢驗：

第一步，在兩時間段的合成大樣本下做OLS回歸，得受約束模型的殘差平方和RSSR

；

第二步，對前一時間段的n1個子樣做OLS回歸，得殘差平方和RSS1

；

第三步，計算檢驗的F統(tǒng)計量，做出判斷：

鄒氏預(yù)測檢驗步驟：

給定顯著性水平，查F分布表，得臨界值F(n2,n1-k-1)

如果F>F(n2,n1-k-1)

，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為預(yù)測期發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。

例3.6.2

中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求的鄒氏檢驗。

1、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗1981~1994：RSS1=0.003240

1995~2001：

(9.96)(7.14)(-5.13)(1.81)1981~2001:

(14.83)(27.26)(-3.24)(-11.17)

給定=5%，查表得臨界值F0.05(4,13)=3.18

判斷：F值>臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表明中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求在1994年前后發(fā)生了顯著變化。

2、鄒氏預(yù)測檢驗給定=5%，查表得臨界值F0.05(7,10)=3.18判斷：F值>臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)*四、非線性約束

也可對模型參數(shù)施加非線性約束,如對模型施加非線性約束12=1,得到受約束回歸模型:

該模型必需采用非線性最小二乘法（nonlinearleastsquares）進行估計。

非線性約束檢驗是建立在最大似然原理基礎(chǔ)上的,有最大似然比檢驗、沃爾德檢驗與拉格朗日乘數(shù)檢驗.1、最大似然比檢驗

(likelihoodratiotest,LR)

估計:無約束回歸模型與受約束回歸模型，

方法:最大似然法，

檢驗:兩個似然函數(shù)的值的差異是否“足夠”大。

記L(,2)為一似然函數(shù):無約束回歸

:Max:受約束回歸

:Max:或求極值：

g():以各約束條件為元素的列向量,’：以相應(yīng)拉格朗日乘數(shù)為元素的行向量

約束：g()=0

受約束的函數(shù)值不會超過無約束的函數(shù)值，但如果約束條件為真，則兩個函數(shù)值就非?！敖咏薄?/p>

由此，定義似然比（likelihoodratio）:

如果比值很小，說明兩似然函數(shù)值差距較大，則應(yīng)拒絕約束條件為真的假設(shè)；

如果比值接近于１，說明兩似然函數(shù)值很接近，應(yīng)接受約束條件為真的假設(shè)。

具體檢驗時，由于大樣本下：

h是約束條件的個數(shù)。因此：

通過LR統(tǒng)計量的2分布特性來進行判斷。

在中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費需求例中，對零階齊次性的檢驗：LR=-2(38.57-38.73)=0.32

給出=5%、查得臨界值20.05(1)＝3.84，

判斷：LR<20.05(1),不拒絕原約束的假設(shè)，

表明:中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求函數(shù)滿足零階齊次性條件。

２、沃爾德檢驗（Waldtest,W）

沃爾德檢驗中，只須估計無約束模型。如對

在所有古典假設(shè)都成立的條件下，容易證明

因此，在1+2=1的約束條件下

記

可建立沃爾德統(tǒng)計量:

如果有h個約束條件，可得到h個統(tǒng)計量z1,z2,…,zh

約束條件為真時，可建立大樣本下的服從自由度為h的漸近2

分布統(tǒng)計量

其中，Z為以zi為元素的列向量，C是Z的方差-協(xié)方差矩陣。因此，W從總體上測量了無約束回歸不滿足約束條件的程度。對非線性約束，沃爾德統(tǒng)計量W的算法描述要復(fù)雜得多。

3、拉格朗日乘數(shù)檢驗

拉格朗日乘數(shù)檢驗則只需估計受約束模型.

受約束回歸是求最大似然法的極值問題:

’是拉格朗日乘數(shù)行向量，衡量各約束條件對最大似然函數(shù)值的影響程度。

如果某一約束為真，則該約束條件對最大似然函數(shù)值的影響很小，于是，相應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)的值應(yīng)接近于零。因此，拉格朗日乘數(shù)檢驗就是檢驗?zāi)承├窭嗜粘藬?shù)的值是否“足夠大”，如果“足夠大”，則拒絕約束條件為真的假設(shè)。

拉格朗日統(tǒng)計量LM本身是一個關(guān)于拉格朗日乘數(shù)的復(fù)雜的函數(shù)，在各約束條件為真的情況下，服從一自由度恰為約束條件個數(shù)的漸近2分布。

n為樣本容量，R2為如下被稱為輔助回歸（auxiliaryregression）的可決系數(shù):

如果約束是非線性的，輔助回歸方程的估計比較復(fù)雜，但仍可按（*）式計算LM統(tǒng)計量的值。

最后，一般地有:LMLRW

同樣地，如果為線性約束，LM服從一精確的2分布：(*)453、受約束的OLS一般的多元模型都是非受限（約束）模型。因此我們用OLS估計時，稱為非受限最小二乘。經(jīng)濟理論有時會提出某一回歸模型中的系數(shù)滿足一些線性等式約束條件。當(dāng)具備這個約束條件后，方程是否有效，要進行檢驗例如，考慮柯布一道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)中的規(guī)模報酬不變每一同比例的投入變化有同比例的產(chǎn)出變化即檢驗中，有兩種方法（t檢驗和F檢驗）46對模型施加約束得或(*)(**)如果對（**）式回歸得出則由約束條件可得：47

但是，如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無約束回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR

與RSSU的差異變小。如果約束條件無效，RSSR

與RSSU的差異較大，計算的F值也較大于是，可用計算的F統(tǒng)計量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條件的真實性進行檢驗。48t檢驗49七、參數(shù)的置信區(qū)間

參數(shù)的置信區(qū)間用來考察：在一次抽樣中所估計的參數(shù)值離參數(shù)的真實值有多“近”。在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：50容易推出：在(1-)的置信水平下j的置信區(qū)間是

其中，t/2為顯著性水平為、自由度為n-k-1的臨界值。

51如何才能縮小置信區(qū)間？

增大樣本容量n，因為在同樣的樣本容量下，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差減??；提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小，置信區(qū)間的就越窄。在實際應(yīng)用中，我們希望置信度越高越好，置信區(qū)間越小越好。52第五節(jié)案例分析案例：中國稅收增長的分析提出問題改革開放以來，隨著經(jīng)濟體制改革的深化和經(jīng)濟的快速增長，中國的財政收支狀況發(fā)生很大變化，為了研究影響中國稅收收入增長的主要原因，分析中央和地方稅收收入的增長規(guī)律，預(yù)測中國稅收未來的增長趨勢，需要建立計量經(jīng)濟模型。53理論分析影響中國稅收收入增長的主要因素可能有：（1）從宏觀經(jīng)濟看，經(jīng)濟整體增長是稅收增長的基本源泉。（2）社會經(jīng)濟的發(fā)展和社會保障等都對公共財政提出要求，公共財政的需求對當(dāng)年的稅收收入可能會有一定的影響。（3）物價水平。中國的稅制結(jié)構(gòu)以流轉(zhuǎn)稅為主，以現(xiàn)行價格計算的GDP和經(jīng)營者的收入水平都與物價水平有關(guān)。（4）稅收政策因素。54

以各項稅收收入Y作為被解釋變量以GDP表示經(jīng)濟整體增長水平以財政支出表示公共財政的需求以商品零售價格指數(shù)表示物價水平稅收政策因素較難用數(shù)量表示,暫時不予考慮建立模型55模型設(shè)定為:其中：

—

各項稅收收入（億元）

—

國內(nèi)生產(chǎn)總值（億元）

—

財政支出（億元）

—

商品零售價格指數(shù)（%）56數(shù)據(jù)來源：《中國統(tǒng)計年鑒》其中:

——各項稅收收入（億元）

——國內(nèi)生產(chǎn)總值（億元）

——財政支出（億元）

——商品零售價格指數(shù)（%）數(shù)據(jù)收集57假定模型中隨機項滿足基本假定，可用OLS法估計其參數(shù)。具體操作：用EViews軟件，估計結(jié)果為：參數(shù)估計58t檢驗：給定，查t分布表，在自由度為時臨界值為，因為的參數(shù)對應(yīng)的t統(tǒng)計量均大于2.080,這說明在5%的顯著性水平下，斜率系數(shù)均顯著不為零，表明國內(nèi)生產(chǎn)總值、財政支出、商品零售價格指數(shù)對財政收入分別都有顯著影響。59本模型中所估計的參數(shù)的符號與經(jīng)濟理論分析一致，說明在其他因素不變的情況下，國內(nèi)