彈性力學數(shù)學基礎2023/3/151第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二章數(shù)學基礎第一節(jié)標量和矢量第二節(jié)笛卡爾張量第三節(jié)二階笛卡爾張量第四節(jié)高斯積分定理2023/3/152第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第一節(jié)標量和矢量一、標量和矢量的定義（definition）標量（scalar）Ascalarisaquantitycharacterizedbymagnitudeonly,forexample:mass.矢量（vector）Avectorisaquantitycharacterizedbybothmagnitudeanddirection,suchasdisplacement,velocity.2023/3/153第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、矢量的表示大小和方向確定分量

AiscompletelydefinedbyitsmagnitudeAandbyitsthreedirectionanglesθ1,θ2andθ3矢量A在三個坐標軸上的投影（分量）Ax1x2x3123o2023/3/154第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日分量（投影）確定矢量已知分量，矢量的大小和方向可由幾何關(guān)系得到Ax1x2x3123o

ThethreecomponentsA1,A2,A3maybewrittensimplyasAi

withtherangeconvention,thatanysubscriptistotakeonthevalues1,2,and3unlessotherwisestated.

2023/3/155第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日三、坐標變換（CoordinateTransformation）

考慮坐標原點重合的直角坐標系x1,x2,x3和x1,x2,x3如圖所示。用aij表示新舊坐標軸xi和xj之間的夾角的余弦x2x1x3x1x2x3TheCosineofTheAnglesBetweenx'iandxj

Axesx1x2x3x'1a11a12a13x'2a21a22a23x'3a31a32a33矢量在某軸上的投影=分量在同一軸投影的代數(shù)和2023/3/156第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日

Usingtheaboverangeconvention,theseequationsmaybewrittenmorecompactlyas所以應有關(guān)系x2x1x3x1x2x3A矢量A向新坐標軸x'1投影（類似于合力投影定理）2023/3/157第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日記坐標變換矩陣則有2023/3/158第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日

Wemayachieveafurthersimplificationbyadoptingthesummationconventionrequiringthattwice-repeatedsubscriptsinanexpressionalwaysimplysummationovertherange1-3.Inthiscase,wehaveItisimportanttonoticethattherepeatedsubscriptjinthisequationisaso-calleddummyindex,whichcanequallywellbereplacedwithanothersubscript,sayk.同理，可得到由新坐標的分量表示舊坐標系的分量2023/3/159第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日四、正交關(guān)系（OrthogonalityRelations）

Weintroducetheso-calledKroneckerdeltasymbolδijdefinedas

AnysetofvectorcomponentsAimaybewrittenas根據(jù)求和約定2023/3/1510第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日Inasimilarway,wemayalsoobtainTheseequationsarereferredtoasorthogonalityrelations.ItthusfollowsthatAboveequationmaybeexpressedintheform2023/3/1511第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日五、矢量運算（VectorOperations）矢量相加TheresultofadditionorsubtractionoftwovectorsAandBisdefinedtobeathirdvectorC矢量與標量相乘

ThemultiplicationofascalarmandavectorAisdefinedtobeasecondvectorC2023/3/1512第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日兩個矢量的標量積（ScalarProductoftwovectors）ThescalarproductoftwovectorsAandBisexpressibleasAB2023/3/1513第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日兩個矢量的矢量積（VectorProductofTwoVectors）

ThevectorproductoftwovectorsAandBistobeathirdvectorCperpendiculartoAandB

whereedenotesunitvectoralongthevectorC,andi1,

i2,

i3areunitvectorsalongx1,x2andx3.ABC2023/3/1514第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日Ifthesymboleijk

isdefinedasfollows:

eijk=+1

fori=1,j=2,k=3oranyevennumberofpermutationsofthisarrangement(e.g.,e312)

eijk=-1

foroddpermutationsofi=1,j=2,k=3(e.g.,e132)

eijk=0

fortwoormoreindicesequal(e.g.,e113)

thecomponentsofvectorCcanbewrittenas利用符號eijk可以方便地表示3階行列式的值2023/3/1515第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日標量三重積（ScalarTripleProduct）Thescalartripleproductorboxproduct[ABC]isascalarproductoftwovectors,inwhichanyvectorisavectorproductofothertwovectors,i.e.2023/3/1516第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二節(jié)笛卡爾張量一、笛卡爾張量的定義一階笛卡爾張量ACartesiantensoroforderoneisdefinedasaquantityhavingthreecomponentsTiwhosetransformationbetweenprimedandunprimedcoordinateaxesisgovernedbyandAfirst-ordertensorisnothingmorethanavector.和2023/3/1517第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日二階笛卡爾張量Similarly,aCartesiantensorofordertwoisdefinedasaquantityhavingninecomponentsTijwhosetransformationbetweenprimedandunprimedcoordinateaxesisgovernedbytheequationsandoror2023/3/1518第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日高階笛卡爾張量Third-andhigher-orderCartesiantensorsaredefinedanalogously.零階笛卡爾張量ACartesiantensorofzerothorderisdefinedtobeanyquantitythatisunchangedundercoordinatetransformation,thatis,ascalar.2023/3/1519第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日IfAij

andBij

denotecomponentsoftwosecond-ordertensors,theadditionorsubtractionofthesetensorsisdefinedtobeathirdtensorofsecondorderhavingcomponentsCij

givenby二、笛卡爾張量的運算（OperationofCartesianTensors）AdditionofCartesianTensorsTheadditionorsubtractionoftwoCartesiantensorsofthesameordertobeathirdCartesiantensorofthesameorder.2023/3/1520第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日MultiplicationofCartesianTensorsThemultiplicationofCartesiantensorscanbeclassifiedintotwocategories,outerproductsandinnerproducts.Theouterproductsoftwotensorsisdefinedtobeathirdtensorhavingcomponentsgivenbytheproductofthecomponentsofthetwo,withnorepeatedsummationindices.AninnerproductoftwoCartesiantensorsisdefinedasanouterproductfollowedbyacontractionofthetwo;thatis,byanequatingofanyindexassociatedwithonetensortoanyindexassociatedwiththeother.2023/3/1521第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日二階張量的商規(guī)則（QuotientRuleforSecond-OrderTensors）

Supposeweknowthefollowingequationtoapply

whereAi

denotescomponentsofanarbitraryvector,Bj

componentsofavector.Then,thequotientrulestatesthecomponentsTij

areindeedthecomponentsofasecond-orderCartesiantensor.書上有證明下一章要利用這個法則2023/3/1522第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日一、對稱張量和反對稱張量的定義定義（Definition）第三節(jié)二階笛卡爾張量

IfTij

=Tji

,thenthetensorissaidtobesymmetric.Ontheotherhand,ifTij

=-Tji

,thenthetensorissaidtobeantisymmetric.二階張量的九個分量可以用33矩陣表示：2023/3/1523第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日例題2.1試證明任意二階張量可以表示為對稱張量和反對稱張量之和證：設Tij是任意二階張量的分量，則有其中二階對稱張量二階反對稱張量2023/3/1524第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日證：例題2.2設Aij是二階對稱張量的分量，Bij是二階反對稱張量的分量，試證明關(guān)系AijBij=0。因為所以所有指標都是啞指標2023/3/1525第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日反對稱張量的分量（Anti-symmetricTensorComponents）Aspecialcharacteristicofananti-symmetirctensoristhatitsoperationonavectorisequivalenttoanappropriatelydefinedvector-productoperation.IfAidenotescomponentsofavectorandifTij

denotescomponentsofasecond-orderanti-symmetrictensor,thenwhereWjdenotesvectorcomponentsdefinedas2023/3/1526第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、對稱張量的特征值和特征矢量（EigenvaluesandEigenvectorsofSymmetricTensors）

Considertheequation

whereTij

denotescomponentsofasymmetrictensor,nidenotescomponentsofaunitvector,anddenotesascalar.Anynonzerovectornsatisfyingthisequationisknownasunit

eigenvectorofthetensorandisknownaseigenvalue

.2023/3/1527第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日ExpandtheequationandrearrangingtogetTheconditionforanontrivialsolutionofthesehomogeneousalgebraicequationsisthat2023/3/1528第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日Equationyieldsthecubicequation

arecalledfirst,second,andthirdinvariantofthetensorT,respectively.where2023/3/1529第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日WhenthecomponentsTijarethoseofasymmetrictensor,itcaneasilybeshownthatcubicequationwillhavethreerealroots.Wedenotetheserootsby(1),

(2),and

(3).Takingfirst=(1)intheequation,anytwoofthesethreeequationsandn(1)in(1)i=1canbesolvedforn(1)1,n(1)2andn(1)3,wheren(1)1,n(1)2,n(1)3denotethedirectioncosinesoftheeigenvectorassociatedwiththeeigen-value(1).

Inasimilarway,wemayalsofindtwoadditionaluniteigenvectorsassociatedwiththeeigen-values(2)and(3).2023/3/1530第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日Theabovethreeuniteigenvectorsaremutuallyperpendicularwhen(1),

(2),and

(3)arealldistinct.Considertwouniteigenvectorsn(1)

andn(2)

.Thesesatisfyequation

Multiplyingthefirstoftheseequationsbyn(2)iandthesecondbyn(1)iandsubtracting,wehave2023/3/1531第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日ThatisOninterchangingthedummyindicesiandjinthefirsttermontheleft-handsideofthisequation2023/3/1532第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日UsingTij=Tji,wefindthat

Hence,if(1)

(2),thenn(1)i

n(2)i=0sothatn(1)

andn(2)arethereforeperpendicular.Asimilarargumentshowsalsothatn(1)

andn(3)andthatn(2)

andn(3)arealsoperpendicularprovided(1)

(3)and(2)

(3),respectively.2023/3/1533第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日三、對稱張量的主軸和主值（PrincipalAxesandPrincipalValuesofaSymmetricTensor）ChooseanewsetofCartesianaxesxihavingunitvectorsalongtheseaxescoincidentwiththeuniteigenvecotrs.Forthissystemofaxes,wehavex1x2x3x1x2x3n(1)=i1n(2)=i2n(3)=i32023/3/1534第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日i≠j：i=j：非對角線元素為零非零元素在對角線上，就是特征值2023/3/1535第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日Inthissystemofso-calledprincipalaxesdefinedbytheuniteigenvectorsn(1)

,n(2),n(3)

,thetensorcomponentsarethereforeexpressibleas

ThediagonalcomponentsareknownasprincipalvaluesofsymmetrictensorT2023/3/1536第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日Considerthecasewhereonlytwoeigenvalues,say(1)and(2),areequal.Wehave

providedonlythattheunitvectorsi1,

i2,i3bechosensuchthati3liesalongn(3)

andi1and

i2lieinanytwomutuallyperpendiculardirections.

2023/3/1537第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日Considerfinallythecasewherealleigen-valuesareequal,say,to(1).Wehave