第四章不定積分習(xí)題課

一、不定積分的基本概念與性質(zhì)1．原函數(shù)與不定積分的概念(1)原函數(shù)的定義：

(2)不定積分的定義：設(shè)為一個(gè)原函數(shù)，則

在區(qū)間上，若則稱(chēng)是在上原函數(shù)。

2．不定積分的性質(zhì)(1)線性性質(zhì)：

(2)微分與積分運(yùn)算：3．第二類(lèi)換元法（變量置換法）：第二類(lèi)換元法：三角代換倒代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)代換注意：式中回代。必須單調(diào)可導(dǎo)，對(duì)t作完積分后,要用反函數(shù)5．有理函數(shù)的積分法：積分法要點(diǎn)：若是假分式，先作多項(xiàng)式除法，使4．分部積分法：

或變?yōu)橐淮畏质胶投畏质降拇鷶?shù)和。之變?yōu)椋骸岸囗?xiàng)式+真分式”。對(duì)真分式進(jìn)行分項(xiàng)，使之6．萬(wàn)能公式法：

如果被積函數(shù)是三角函數(shù)有理式則可采用萬(wàn)能公式。令則從而☆在具體計(jì)算不定積分的過(guò)程中，不是一種方法就可以解決，要熟練掌握幾種積分法并融會(huì)貫通，綜合應(yīng)用?！纠?】求不定積分解：利用不定積分的性質(zhì)，可知【例3】求不定積分解：分析：由于被積函數(shù)不能直接利用基本公式和湊微然后可利用基本公式。分法求解，所以應(yīng)該首先對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行代數(shù)恒等變形，【例4】求不定積分解：【例5】求不定積分然后利用湊微分法。分析：一般情況下首先分母要進(jìn)行有理化，解：【例7】求不定積分解：【例8】求不定積分分析：由于被積函數(shù)

，不能直接利用基本公式和湊微分法求解，所以應(yīng)該先對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行代數(shù)恒等變形為：或，再想到湊微分：或，然后進(jìn)行計(jì)算。中含有另外，由于，不能直接計(jì)算，可以考慮換元或，然后再進(jìn)行計(jì)算。解法1：因?yàn)樗浴纠?】求不定積分解法1：(倒代換）設(shè)則則【例10】求不定積分解法2：(三角代換)設(shè)則解：【例11】求不定積分分析：若取

積分法計(jì)算出結(jié)果，但如果注意到被積函數(shù)的特點(diǎn)，顯然可以利用分部先將被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形，則會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算。解：原式

注意運(yùn)算中綜合使用不同方法往往更有效.]。

解法1：令，則所以應(yīng)用分部積分法所以解法2：因?yàn)樗詰?yīng)用分部積分法【例13】求不定積分解：，于是解法2：因?yàn)樗?，則解法1：令注：在本題的計(jì)算中同樣可以選擇其計(jì)算的復(fù)雜程度與選擇相同?！纠?5】求不定積分分析：本題中隱含著不能積分的積分項(xiàng)，但在積分的過(guò)程中正、負(fù)項(xiàng)抵消.解：【例18】求不定積分分析：由于被積函數(shù)為有理函數(shù)且為真分式，分母是二次

是一次式，而分母的導(dǎo)數(shù)也是一次式，因此將分質(zhì)因式，即不能分解成一次因式的乘積，注意到分子子變成分母的導(dǎo)數(shù)

形式，所以把分子拆成和8兩部分，而分子可以湊微成，進(jìn)而可以計(jì)算。解：【例19】求不定積分分析：(1)由于被積函數(shù)為三角函數(shù)有理式，所以首先想到用萬(wàn)能公式計(jì)算；(2)對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形為：進(jìn)行計(jì)算；就可以用換元：

再利用

(3)把被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形為：的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.解法1：令，則，于是解法2：由于被積函數(shù)可化為的函數(shù)，可設(shè)則，于是解法3：由于所以注：(1)通過(guò)上面三種解法可看出，用萬(wàn)能代換計(jì)算三角函數(shù)有理式的積分一定能解出，但計(jì)算復(fù)雜，所以不是最優(yōu)的。其余的二種解法，很明顯解法3最簡(jiǎn)單快捷，因?yàn)樗紫葘?duì)被積函數(shù)進(jìn)行了恒等變形，進(jìn)而轉(zhuǎn)