極點(diǎn)極線配極原則第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)科學(xué)對(duì)于經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)是必不可少的，數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵性的、普遍的、可實(shí)行的技術(shù)。

——引自：數(shù)學(xué)科學(xué).技術(shù)與經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力

第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日§5.3極點(diǎn)、極線，配極原則一、引入在二次曲線理論中十分重要,二次曲線的大部分重要性質(zhì)均與配極有關(guān).只討論二階曲線,總假定：非退化.設(shè)定義1

兩點(diǎn)P,Q關(guān)于Γ共軛.(如圖)

定理1

點(diǎn)P關(guān)于Γ的共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線Sp=0.

證明設(shè)P(pi),Q(qi).則PQ與Γ:S=0的交點(diǎn)M(pi+λqi)滿足設(shè)其兩根為λ1,

λ2.則交點(diǎn)為Mj(pi+λjqi),(j=1,2).于是(PQ,M1M2)=–1λ1/λ2=–1λ1+λ2=0將qi改為流動(dòng)坐標(biāo)xi,得P關(guān)于Γ的共軛點(diǎn)的軌跡為直線Sp=0.第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日§5.3極點(diǎn)、極線，配極原則二、極點(diǎn)與極線定理1

點(diǎn)P關(guān)于Γ的共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線Sp=0.推論1兩點(diǎn)P,Q關(guān)于Γ共軛Spq=0.即注2.P在Γ上,則Spp=0,由推論1,Γ上的點(diǎn)關(guān)于Γ自共軛.注1.驗(yàn)證兩點(diǎn)P,Q關(guān)于Γ共軛,只要驗(yàn)證上式.2.極點(diǎn)與極線定義2對(duì)于點(diǎn)P,若則稱P關(guān)于Γ的共軛點(diǎn)軌跡p切線p為P關(guān)于Γ的極線,方程為Sp=0.反之,稱P為直線p關(guān)于Γ的極點(diǎn).注.由定義2及推論1,有定義2':相互在對(duì)方極線上的兩點(diǎn)稱為關(guān)于Γ的共軛點(diǎn).1.問題提出第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日§5.3極點(diǎn)、極線，配極原則一、極點(diǎn)與極線

推論2平面上任一點(diǎn)P關(guān)于Γ的極線存在唯一,方程為Sp=0.反之,平面上任一直線p關(guān)于Γ的極點(diǎn)存在唯一.

證明只要證后半.設(shè)直線u:u1x1+u2x2+u3x3=0,求u關(guān)于Γ的極點(diǎn).設(shè)P(pi)為其一個(gè)極點(diǎn),由于P(pi)的極線唯一存在為Sp=0,從而u與Sp=0為同一直線,由此可以推知因?yàn)閨aij|≠0,故(4.17)對(duì)于(p1,p2,p3)有唯一解,即u的極點(diǎn)P唯一存在.(*)表示直線u與它的極點(diǎn)P之間的關(guān)系,稱為極點(diǎn)方程組.3.主要結(jié)論第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日§5.3極點(diǎn)、極線，配極原則二、極點(diǎn)與極線4.極點(diǎn)與極線的計(jì)算(1).已知P(pi),求極線,直接求Sp=0.

(2).已知u[ui],求極點(diǎn),將[ui]代入(*),解出(pi).(注：在實(shí)際計(jì)算時(shí),可取ρ=1,見教材)

注：(*)是一個(gè)非奇異線性變換,是由Γ:S=0通過關(guān)于它的極點(diǎn)極線關(guān)系規(guī)定的同底點(diǎn)場(chǎng)與線場(chǎng)之間的一個(gè)雙射.定義3

相互通過對(duì)方極點(diǎn)的直線稱為關(guān)于Γ的共軛直線.注.利用Maclaurin定理及對(duì)偶原則,有:兩直線p[pi],q[qi]關(guān)于Γ:S=0共軛Tpq=0根據(jù)推論2,可以對(duì)偶地給出下列定義第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日§5.3極點(diǎn)、極線，配極原則二、極點(diǎn)與極線對(duì)于點(diǎn)P(pi)關(guān)于Γ的極線(P關(guān)于Γ的共軛點(diǎn)的軌跡)方程：Sp=0.點(diǎn)P(pi),Q(qi)關(guān)于Γ共軛直線u[ui]關(guān)于Γ的極點(diǎn)：下列極點(diǎn)方程組的解第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日例1求點(diǎn)(1,-1,0)關(guān)于二階曲線的極線?第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日例2求直線關(guān)于的極點(diǎn).(3,-1,-1)第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日§5.3極點(diǎn)、極線，配極原則三、配極變換1.配極變換定義4

稱由決定的同底點(diǎn)場(chǎng)與線場(chǎng)之間的變換為關(guān)于非退化二階曲線Γ:S=0的配極變換.注1.任一非退化二階曲線Γ都決定了平面上的一個(gè)配極變換.注2.配極變換是異素變換,是一個(gè)雙射.

注.本定理給出了配極變換的最基本的幾何性質(zhì).

定理2(配極原則)點(diǎn)P關(guān)于Γ的極線p通過點(diǎn)Q點(diǎn)Q關(guān)于Γ的極線q通過點(diǎn)P.

定理2'(配極原則)直線p關(guān)于Γ的極點(diǎn)P在直線q上直線q關(guān)于Γ的極點(diǎn)Q在直線p上.第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日§4.3配極變換二、配極變換1.配極變換

推論1兩點(diǎn)連線的極點(diǎn)為此二點(diǎn)極線的交點(diǎn)；兩直線交點(diǎn)的極線為此二直線極點(diǎn)的連線.

推論2共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn)；共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線.

推論3關(guān)于非退化二階曲線Γ的配極變換使得點(diǎn)列對(duì)應(yīng)于線束,線束對(duì)應(yīng)于點(diǎn)列；圖形對(duì)應(yīng)于其對(duì)偶圖形.

推論4關(guān)于非退化二階曲線Γ的配極變換使得共線四點(diǎn)的交比等于其對(duì)應(yīng)共點(diǎn)四直線的交比.

因此,配極變換規(guī)定了一個(gè)點(diǎn)列與其對(duì)應(yīng)線束之間的一個(gè)射影對(duì)應(yīng).綜上：非退化二階曲線Γ配極變換二維異素射影變換二維異素射影變換對(duì)偶變換從而配極原則特殊的對(duì)偶原則第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日探索3一個(gè)完全四點(diǎn)形的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)二階曲線上，則這個(gè)完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形的頂點(diǎn)與對(duì)邊何關(guān)系？結(jié)論：一個(gè)完全四點(diǎn)形的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)二階曲線上，則這個(gè)完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形的頂點(diǎn)是其對(duì)邊的極點(diǎn)第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日§5.3配極變換二、配極變換2.自極三點(diǎn)形(應(yīng)用性極強(qiáng)的重要概念)

定義5若一個(gè)三點(diǎn)形關(guān)于Γ每個(gè)頂點(diǎn)是其對(duì)邊的極點(diǎn)(即每邊是其對(duì)頂?shù)臉O線),則稱此三點(diǎn)形為關(guān)于Γ的一個(gè)自極三點(diǎn)形.

定理2

內(nèi)接于非退化二階曲線Γ的完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形是關(guān)于Γ的一個(gè)自極三點(diǎn)形.

注1.自極三點(diǎn)形的任一頂點(diǎn)不在Γ上.

注2.自極三點(diǎn)形恰有一個(gè)頂點(diǎn)在Γ的“內(nèi)部”.

注3.自極三點(diǎn)形任意兩頂點(diǎn)相互共軛;任意兩邊相互共軛.

例3.給定不在Γ上的一點(diǎn)P(pi),任求Γ的一個(gè)自極三點(diǎn)形PQR.

解.(i)求P(pi)的極線p：Sp=0.

(ii)在p上任取不屬于Γ的一點(diǎn)Q(qi),求Q的極線q：Sq=0.

(iii)求p與q的交點(diǎn)R(ri),則PQR必為Γ的一個(gè)自極三點(diǎn)形.第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日§5.3配極變換3.配極變換的基本應(yīng)用(1).幾何證明題靈活運(yùn)用配極原則以及自極三點(diǎn)形等概念(2).極點(diǎn)極線作圖

例4.已知非退化二階曲線Γ及不在Γ上一點(diǎn)P,求作P關(guān)于Γ的極線p.

例5.已知非退化二階曲線Γ以及一直線p,求作p關(guān)于Γ的極點(diǎn)P.

作法.在p上任取不在Γ上兩相異點(diǎn)Q,R,利用上例,作Q,R關(guān)于Γ的極線q,r.則q×r=P.

例6.已知非退化二階曲線Γ及Γ外一點(diǎn)P,過P求作Γ的兩切線.

作法一.利用例4,設(shè)p交于E,F,連PE,PF即可.

作法二.如圖.過P任作三割線,可得切線.一、極點(diǎn)與極線二、配極變換1.配極變換2.自極三點(diǎn)形第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日課堂小結(jié)關(guān)鍵詞：極線；極點(diǎn)；配極原則熟練用配極原則解決幾何問題；熟悉配極原則和對(duì)偶原則的關(guān)系，并感受和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美。第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日作業(yè)布置作業(yè)冊(cè)P115：3、4、5、6.課題拓展與應(yīng)用：**利用配極原則設(shè)計(jì)初等幾何命題；

第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日文獻(xiàn)推介白景華，配方法與配極變換法的聯(lián)系，開封大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，2；馮天祥，配極原則及其應(yīng)用，重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，4..王永興，二次曲線極與極線理論的兩個(gè)結(jié)果，渭南師專學(xué)報(bào)，1999，5.第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日問題1:如何判定二點(diǎn)成共軛?探究1:兩點(diǎn)關(guān)于某曲線成共軛,有何結(jié)論?問題2:一定點(diǎn)關(guān)于二階曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)是什么?