等差數(shù)列前n項和公式--上課第一頁，共49頁。等差數(shù)列的前n項和（第1課時）第二頁，共49頁。復(fù)習(xí)回顧1、等差數(shù)列的定義：2、等差數(shù)列的通項公式：是等差數(shù)列

3、等差數(shù)列的重要性質(zhì)：第三頁，共49頁。我國數(shù)列求和的概念起源很早，在南北朝時，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法.他在《張丘建算經(jīng)》中給出等差數(shù)列求和問題.例如：今有女子不善織布，每天所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，等差數(shù)列求和的歷史末日織一尺，共織三十日，問共織幾何？原書的解法是：“并初、末日織布數(shù)，半之再乘以織日數(shù)，即得.”有什么依據(jù)呢?第四頁，共49頁。

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？探究發(fā)現(xiàn)5第五頁，共49頁。問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

這是求和的問題，你能不能快速的求出呢？第六頁，共49頁。

問題1:圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

第七頁，共49頁。212120191獲得算法：123第八頁，共49頁。高斯(1777年-1855年)德國著名數(shù)學(xué)家第九頁，共49頁。高斯的算法計算：1＋

2＋

3＋…＋

99＋100

高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組：第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組；第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組；第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，……

每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了。高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.首尾配對相加法中間的一組數(shù)是什么呢？第十頁，共49頁。所以S100=(1+100)×100？？首項尾項？總和？項數(shù)這就是等差數(shù)列前n項和的公式！=5050第十一頁，共49頁。合作探究已知等差數(shù)列｛an

｝的首項為a1，項數(shù)是n，第n項為an，求前n項和Sn.如何才能將等式的右邊化簡？①②倒序相加法第十二頁，共49頁。公式變形思考：比較這兩個公式，如何記憶？第十三頁，共49頁。等差數(shù)列的前n項和的公式：含a1和d求和公式含a1和an公式記憶第十四頁，共49頁。例1.根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的第十五頁，共49頁。第十六頁，共49頁。第十七頁，共49頁。第十八頁，共49頁。第十九頁，共49頁。(1)解:由已知得：整體思想認(rèn)識公式第二十頁，共49頁。(2)解:第二十一頁，共49頁。課堂小結(jié)等差數(shù)列前n項和公式在兩個求和公式中,各有五個元素,只要知道其中三個元素,結(jié)合通項公式就可求出另兩個元素.公式的推證用的是倒序相加法第二十二頁，共49頁。等差數(shù)列的前n項和（第2課時）第二十三頁，共49頁。前n和公式：共5個量，由三個公式聯(lián)系，知三可求二.

通項公式：等差數(shù)列{an}倒序相加法第二十四頁，共49頁。例1、已知數(shù)列的前n項和為，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：根據(jù)與可知，當(dāng)時，當(dāng)時，，也滿足上式，所以，數(shù)列的通項公式是.所以第二十五頁，共49頁。

，是一個不含常數(shù)項的二次函數(shù)式.

，是一個常數(shù)列，

第二十六頁，共49頁。反之:分析：第二十七頁，共49頁。思考：一般地，若數(shù)列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列。若Sn＝An2＋Bn＋C呢？（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列Sn＝An2＋Bn（2）數(shù)列{an}的前n項和是Sn＝An2＋Bn＋C，則：①若C＝0，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②若C≠0，則數(shù)列{an}從第2項起是等差數(shù)列。第二十八頁，共49頁。結(jié)論等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)一：第二十九頁，共49頁。思考：若{an}為等差數(shù)列，那么是什么數(shù)列？數(shù)列{an}是等差數(shù)列為等差數(shù)列

即等差數(shù)列{an}的前n項的平均值組成的數(shù)列仍然是等差數(shù)列。第三十頁，共49頁。等差數(shù)列{an}的判定方法：第三十一頁，共49頁。則Sn最大。則Sn最小。等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)二：思考：既然等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的一元二次，那么它的最值怎么求呢？不等式法求的最值：你能理解么？也可以用二次函數(shù)的圖像求的最值，但要注意。第三十二頁，共49頁。解：例2.由題意知即第三十三頁，共49頁。例2解2：由題意知第三十四頁，共49頁。兩種求等差數(shù)列前n項和最值的方法確定確定第三十五頁，共49頁。練習(xí):已知數(shù)列{an}的通項為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項和最大,則n的值為()A.12B.13C.12或13D.14C第三十六頁，共49頁。例3.第三十七頁，共49頁。解法2：由已知得：例3.第三十八頁，共49頁。第三十九頁，共49頁。性質(zhì)4：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么數(shù)列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k,…仍然成等差數(shù)列例4.等差數(shù)列{an}的前m項的和為30，前2m項的和為100，則它的前3m項的和為(

)A.130B.170C.210D.260C第四十頁，共49頁。

例5:已知數(shù)列前n項和記數(shù)列的前項和為求的表達(dá)式s第四十一頁，共49頁。

例5:已知數(shù)列前n項和記數(shù)列的前項和為求的表達(dá)式第四十二頁，共49頁。『變式探究』1．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項；(2)設(shè)Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2an＋1＝an＋an＋2，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，d＝＝－2，∴an＝－2n＋10，n∈N*