地球物理計算方法

地球物理與信息技術學院復習問題（插值問題）數(shù)值方法（埃爾米特/分段/樣條插值）誤差分析（余項定理）上節(jié)課講了些什么？埃爾米特插值問題已知:函數(shù)y=f(x)在n+1個點的值x0,x1,x2,…xn,上的函數(shù)值y0,y1,….,yn,及其導數(shù)值y’0,y’1,….,y’n。求:當x=x’時，y=f(x’)的值。復習4解決方法：構造一個2n+1次代數(shù)多項式函數(shù)p2n+1(x)

，使得p2n+1(x)的構造方法：1、基于承襲性（類比牛頓插值）2、基于基函數(shù)方法（類比拉格朗日插值）復習5插值余項：兩節(jié)點三次Hermite插值余項為:復習6什么是龍格現(xiàn)象？復習隨著節(jié)點的增加，采用高次多項式插值，可以在某些區(qū)域較好的逼近原來的函數(shù)（如在[-2,2]區(qū)間）；但在高次多項式的兩端出現(xiàn)了激烈震蕩的現(xiàn)象，這就是所謂的龍格現(xiàn)象。高次多項式插值的病態(tài)性復習8如何克服龍格現(xiàn)象？復習9分段線性插值：，

復習分段三次Hermite插值：分段線性插值（圖）以直代曲復習12對于區(qū)間[a,b]上n+1個節(jié)點樣本點數(shù)據(jù)構造一個插值函數(shù)S(x)滿足:,

(1)(2)在每個小區(qū)間[xi,xi+1]上，都是一個三次多項式：(3)在[a,b]上連續(xù)；S(x)是一個光滑的分段函數(shù)，這樣的函數(shù)稱為三次樣條（Spline）插值函數(shù)。復習13為使方程組有解，在區(qū)間[a,b]的兩個端點上各加一個條件，即稱之為邊界條件。常用的邊界條件有以下三種：邊界條件：（1）給定兩端點處的導數(shù)值,（3）如果f(x)是以b-a為周期的周期函數(shù)，則S(x)也應是具有同樣的周期的周期函數(shù)，在端點處需要滿足:（2）給定兩端處的二階導數(shù)值,固定邊界條件自然邊界條件周期邊界條件復習構造方法：用一階導數(shù)表示的三次樣條用二階導數(shù)表示的三次樣條根據(jù)樣條函數(shù)特性（光滑性）采用導數(shù)或二階導數(shù)待定的方法三轉角插值三彎矩插值復習15三轉角方程（固定邊界條件）：復習16或者寫成下式，通過解方程求出mi，最后帶入樣條函數(shù)即可。三對角型系數(shù)矩陣復習對于自然邊界條件與周期邊界條件均可得到類似的三對角型系數(shù)矩陣。對于用二階導數(shù)表示的三次樣條函數(shù)（三彎矩插值）同樣可得類似的三對角型系數(shù)矩陣（三彎矩方程）。線性方程組的數(shù)值解法有估計式：余項定理（了解）設函數(shù)記則對任意滿足固定/自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)其中表明：不僅S(x)一致收斂于f(x)，而且S’(x)一致收斂于f’(x)，S”(x)一致收斂于f”(x)。3高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象Taylor/Lagrange/Newton插值Hermite插值分段線性插值分段線性插值在節(jié)點處光滑性差分段Hermite插值導數(shù)值不容易確定三次樣條插值（先由函數(shù)值確定導數(shù)值，再由分段Hermite插值解決問題）小結20下列說法中錯誤的是：插值多項式次數(shù)越高插值精度越高三次樣條插值能夠克服龍格現(xiàn)象泰勒插值是牛頓插值在特殊情況下的特例分段插值若某一區(qū)間新增一節(jié)點，則所有區(qū)間上的插值函數(shù)都需要重新計算ABCD提交多選題2分實際觀測的數(shù)據(jù)通常含有誤差，此時往往只需要求出一個能夠符合大部分數(shù)據(jù)分布趨勢的近似函數(shù)即可，并不要求近似函數(shù)在所有的觀測點上與實際觀測值嚴格相等，通過插值方法來解決此類問題并不合適。函數(shù)逼近問題1.9曲線擬合的最小二乘法第1章插值方法23問題引入

在工程實踐和科學實驗中，我們經(jīng)常需要對實際問題建立函數(shù)關系，即y=f(x)。但是不知道f(x)的真實表達式，只得到一系列離散的觀測數(shù)據(jù)（有誤差）：

xi

x1

x2…

xnf(xi)f(x1)f(x2)…f(xn)插值帶來較大誤差；用一個經(jīng)驗函數(shù)（規(guī)律性）y=s(x)對真實函數(shù)y=f(x)作近似，從而得到在其它離散點處的函數(shù)值。24

y=s(x)oxy●●●●●(x0,y0)

x1

x2

xn(x1,y1)

x0(xn,yn)(x2,y2)擬合的基本思想求一個經(jīng)驗函數(shù)，曲線擬合問題也屬于函數(shù)逼近問題。25火山巖儲層聲波速度與孔隙度的關系；一般根據(jù)巖石測量參數(shù)建立巖石物理模型，鉆孔提供孔隙度數(shù)據(jù)可以與巖石儲層聲波速度建立關系，如下圖所示，其關系為實際擬合問題中，已知點個數(shù)通常遠大于擬合多項式的次數(shù)。巖石物理應用26oy●●●●●

ynx

y0

x1

x2

xn

y1

y2

x0pn(x)s(x)擬合與插值的區(qū)別●27擬合問題與插值問題的比較相同點：兩類問題都是用簡單函數(shù)近似未知函數(shù)；不同點：插值問題要求近似函數(shù)與未知函數(shù)在已知節(jié)點函數(shù)值相等；擬合/逼近問題只要求近似函數(shù)能夠符合大部分已知數(shù)據(jù)的分布趨勢即可。根據(jù)近似函數(shù)的形式不同，可分為：代數(shù)插值——代數(shù)逼近（代數(shù)多項式）三角插值——三角逼近（三角函數(shù)）有理插值——有理逼近（有理函數(shù)）28觀測點的分布接近一條直線，這是一個直線方程，無論怎么選擇a,b，直線都不可能同時過全部數(shù)據(jù)點。怎樣選取a,b,才能使直線“最好”地反映數(shù)據(jù)點的基本趨勢？首先要建立好壞標準。最優(yōu)化問題1、直線擬合29殘差（誤差）衡量：如果某個直線能很好逼近數(shù)據(jù)規(guī)律，即a,b確定，所以根據(jù)方程可以計算理論值（真實值）y*i與實測值（近似值）yi之差稱為殘差。殘差的大小可作為衡量近似函數(shù)好壞的標準。30準則（判斷標準）：（2）使殘差的絕對值之和最小，即（1）使殘差的最大絕對值最小，即（3）使殘差的平方和最小，即函數(shù)的最佳一致逼近/最小一乘擬合函數(shù)的最佳平方逼近/最小二乘擬合31數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法問題根據(jù)給定的數(shù)據(jù)組（xi,yi)(i=1,2,…N),選取近似函數(shù)形式，即給定函數(shù)類H,求函數(shù)，使該函數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的最小二乘函數(shù)。通常H取為一些比較簡單函數(shù)的集合，一般為低次多項式，如1次多項式（a,b待定）：32據(jù)函數(shù)極值方法，下式成立將Q代入可以得到線性方程組33例:給定一組實驗數(shù)據(jù)如下i1234xi2468yi1.12.84.97.2求y=a+bx的一次擬合曲線解：N=4,帶入公式得到：34幾何含義演示：

352、多項式擬合根據(jù)給定的數(shù)據(jù)組（xi,yi)(i=1,2,…N),求一個m次多項式（m<N)使所有采樣點的誤差滿足：Q是一個多元函數(shù)，所以轉化為求這個多元函數(shù)的極值問題。36由多元函數(shù)取極值的必要條件，得方程組求導移項得37寫成方程組：這是最小二乘擬合多項式的系數(shù)aj所滿足的方程組，稱為正則方程組或法方程組。38正則方程組解的存在性(P39)()()()()39正則方程組解的存在性1、反證法（P39).2、證明系數(shù)行列式不為零（數(shù)學歸納法）.3、由函數(shù)組{1,x,x2…xm}的的線性無關性也可以證明方程組存在唯一解。40是否滿足極小值條件(P39)()()()()()[()]()()41

有時根據(jù)給定數(shù)據(jù)圖形，其擬合函數(shù)y=f(x)表面上不是線性或多項式的形式，但通過變換仍可化為線性模型。例如，，若兩邊取對數(shù)得這樣就變成了形如的線性模型.此時，若令則非線性擬合模型非線性