立體幾何與空間向量測(cè)試題一、選擇題：本大題共道小題，每小題分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求1．（原創(chuàng)）給出下列四個(gè)命題：=1\*GB3①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.=2\*GB3②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行.=3\*GB3③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.=4\*GB3④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個(gè)數(shù)是A．1B．2C．3D．42．（原創(chuàng)）對(duì)于任意的直線l與平面，在平面內(nèi)必有直線m,使m與lA．平行B．相交C．垂直D．互為異面直線3．（原創(chuàng)）一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，則原平面圖形的面積為（）A．B．C．D．4．（原創(chuàng)）下圖是一幾何體的三視圖根據(jù)圖中尺寸，得該幾何體的體積為（）A．B．C．D．5．為外一點(diǎn)，若面、面、面與面所成的二面角相等，則自作平面的垂線，垂足為，則點(diǎn)（）A．必為外心B．必為內(nèi)心C．必為垂心D．以上答案均有誤6．（原創(chuàng)）已知異線直線成角，為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)且與所成角的角都是的直線有且僅有（）A．1條B．2條C．3條D．4條7．二面角的平面角是銳角，是面內(nèi)的一點(diǎn)（不在棱上），點(diǎn)是點(diǎn)在面上的射影，點(diǎn)是上滿足為銳角的任一點(diǎn)，那么（）A．B．C．D．與的大小關(guān)系不確定8．（原創(chuàng)）如圖，在正三角形中，分別是各邊的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，將沿折成三棱錐以后，與所成角的度數(shù)為（）個(gè)A．B．C．D．9、（原創(chuàng)）已知平面平面，，，，直線，直線，且到的距離為2，到的距離為5，，則、間的距離為（）A．B．C．D．或10、（改編題）棱長(zhǎng)為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖1,則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是()A．B．C．D．11．（原創(chuàng)）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為，高為，在圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積為時(shí)，圓柱的母線長(zhǎng)為（）A．B．C．D．12．（原創(chuàng)）在空間四邊形中，側(cè)面面，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，是直角三角形，且,，則二面角的余弦值為（）。A．B．C．D．二、填空題：本大題共小題，每小題分，共分，把答案填在題中的橫線上13．（原創(chuàng)）兩三角形和對(duì)應(yīng)項(xiàng)點(diǎn)連線交于，且在平面與平面之間，且，則．14．（原創(chuàng)）把底面半徑為的圓錐，放倒在平面內(nèi)，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回到原來(lái)位置時(shí)，圓錐本身滾動(dòng)了周，則此圓錐的表面積為．15．（改編題）如圖所示，正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上且，則。16．（改編題）是所在平面外一點(diǎn)，且，，則與面所成的角的余弦值為；三、解答題：本大題共小題，共分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17、（本小題滿分分）（改編題）設(shè)空間四邊形在平面內(nèi)的射影是一條直線，在平面內(nèi)的射影是一個(gè)平行四邊形，求證：四邊形為平行四邊形18．（本小題滿分分）（改編題）如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D為AC的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：AB119．（本小題滿分分）（改編題）如圖，P—ABCD是正四棱錐，是正方體，其中（1）求證：；（2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值；（3）求到平面PAD的距離20．（本小題滿分分）（改編題）正視圖側(cè)視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖圖是腰長(zhǎng)為6的兩個(gè)全等的等腰直角三角形.（Ⅰ）請(qǐng)畫(huà)出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；（Ⅱ）用多少個(gè)這樣的幾何體可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD—A1B1C1D1（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D的棱CC1的中點(diǎn)為E,求平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值.21．（本小題滿分分）（改編題）如圖，在三棱拄中，側(cè)面，已知 （1）求證：；（2）試在棱(不包含端點(diǎn)上確定一點(diǎn)的位置,使得；（3）在（2）的條件下,求二面角的平面角的正切值.22．（本小題滿分分）（改編題）如圖所示：正四棱錐中，側(cè)棱與底面所成角的正切值為。（1）求側(cè)面與底面所成二面角的大??；（2）若E是PB中點(diǎn)，求異面直線PD與AE所成角的正切值；（3）在側(cè)面上尋找一點(diǎn)F，使得EF側(cè)面PBC。試確定點(diǎn)F的位置，并加以證明。立體幾何與空間向量檢測(cè)題答案一、選擇題1、（B）；想一想正方體中的各棱，很快便知道命題=1\*GB3①是錯(cuò)的；命題=2\*GB3②是線面垂直的性質(zhì)，當(dāng)然是正確的；命題=3\*GB3③可以想一下圓錐的母線與圓錐的底面，易知不正確；命題=4\*GB3④是正確的，可以借助于反證法，假若不是異面直線，則相交的四個(gè)交點(diǎn)一定共面，那么再結(jié)合公理1很快可得也共面；2、（C）；如果任意直線與平面相交，在平面內(nèi)就不存在與平行的直線，據(jù)此可否定（A）；當(dāng)直線與平面平行時(shí)，在內(nèi)不存在與相交的直線，因此，可否定（B）；當(dāng)直線在平面內(nèi)時(shí)，不存在與互為異面的直線，因此，又可否定（D）；3、（D）；由斜二測(cè)畫(huà)法可知，原圖形是一個(gè)平行四邊形，且平行四邊形的一組對(duì)邊長(zhǎng)為，在斜二測(cè)圖形中且，那么在原圖形中，且因此，原平面圖形的面積為，故正確答案為（D）；4、（A）；由三視圖可知，該幾何體是由兩個(gè)幾何體組合而成；其一是，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為的長(zhǎng)方體；其二是，底面半徑為，高也為的圓柱；因此，體積為；5、（D）；注意垂足不一定在的內(nèi)部。6、（D）；過(guò)一點(diǎn)分別作的平行線；設(shè)與在同一平面且為的夾角平分線，由成角知與所成的角均為，此時(shí)，讓繞點(diǎn)向上（或向下）旋轉(zhuǎn)，可以看出：與所成的角在逐漸增大，由增至，在這個(gè)過(guò)程中一定有一個(gè)時(shí)刻為，因此，這樣會(huì)有兩條符合條件的直線。從另一個(gè)角出發(fā)又有兩條；7、（B）；結(jié)合圖形進(jìn)行分析容易產(chǎn)生結(jié)論。8、（B）；折成三棱錐以后如右圖，顯然，與所成角就是直線與成角，即為，因此，為。9、（D）；分兩種情況=1\*GB3①若、在的同側(cè)時(shí)，、間的距離為5；=2\*GB3②若、在的異側(cè)時(shí)，、間的距離為；10、（B）；這個(gè)三角形有點(diǎn)“怪”，如何求其面積呢？我們思考這個(gè)截面是如何產(chǎn)生的？看看圖2，你能想起什么？其實(shí)圖1中的三角形，在圖2中就是，有思路了嗎？由圖可知，又，那么的面積為；11、（D）；設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為，由，得那么側(cè)面積由故所求圓柱的母線長(zhǎng)為。12、（A）；作于，于，則所成角的大小即為二面角的大小，設(shè)此角為；由及面面，，，，，在中，由得：二、填空題13、；由已知可得相似于，且相似比為，于是。14、6、；圓錐滾動(dòng)的過(guò)程相當(dāng)于以母線為半徑作圓的過(guò)程，設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，則，得，而。15、由于又得：因此，點(diǎn)滿足；16、作，此時(shí)不定在上取點(diǎn)，使，變換使易知此時(shí)圖形即為符合本題要求的圖形；作與，連，則與面所成的角即為；由而三、解答題17、如圖，由于在平面內(nèi)的射影是一條直線，所以為平面四邊形；設(shè)在面內(nèi)的射影分別為，面，又面因此，面面，面面面面，同理得：故四邊形為平行四邊形；技巧點(diǎn)撥：本題是線線平行線面平行面面平行的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，雖然，此題難度不大，但平行關(guān)系利用的非常好，也非常巧妙。18、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，則（1），，所以，從而得；（2）設(shè)是平面的法向量，則由，及，得可以?。@然，為平面的法向量．設(shè)二面角的平面角為，則此二面角的余弦值．奪分寶典：本題圖形特殊，能建立在圖形的基礎(chǔ)上合理、適當(dāng)?shù)慕⒖臻g直角坐標(biāo)系，本題就一定會(huì)得分，再往下去，能順利的寫(xiě)出幾個(gè)向量的結(jié)果，基本上就可以處理了第一問(wèn)。在第二問(wèn)中，取法向量，要注意越特殊越好、越方便計(jì)算越好。19、解法一：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系（1）設(shè)E是BD的中點(diǎn)，P—ABCD是正四棱錐，∴又，∴∴∴∴即（2）設(shè)平面PAD的法向量是，∴取得，又平面的法向量是∴故平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值為（3）∴到平面PAD的距離解法二：（1）設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連AO，PO；∵P—ABCD是正四棱錐，∴PO⊥面ABCD，∴AO為PA在平面ABCD上的射影，又ABCD為正方形，∴AO⊥BD，由三垂線定理知PA⊥BD，而B(niǎo)D∥B1D1；∴；（2）由題意知平面PAD與平面所成的銳二面角為二面角A-PD-B；∵AO⊥面PBD，過(guò)O作OE垂直P(pán)D于E，連AE，則由三垂線定理知∠AEO為二面角A-PD-B的平面角；可以計(jì)算得，（3）設(shè)B1C1與BC的中點(diǎn)分別為M、N；則到平面PAD的距離為M到平面PAD的距離；由VM-PAD=VP-ADM求得；或者d為M點(diǎn)到直線PK的距離（K為D的中點(diǎn)）；方法總結(jié)：本題是傳統(tǒng)方法與空間向量的方法都可以進(jìn)行求解，且難度相當(dāng)，應(yīng)該說(shuō)是理科比較好的試題了，由于這兩種方法的差異很大，不同的同學(xué)可能會(huì)有不同的愛(ài)好，根據(jù)自己的愛(ài)好選擇理想的方法是求解方法選擇中的上策。20、（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，高為CC1=6，故所求體積是ABCDABCDD1A1B1C1圖2故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體，其拼法如圖2所示證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D正方形，于是故所拼圖形成立ABCDD1A1ABCDD1A1B1C1EHxyzG圖3連結(jié)GA，在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG，垂足為H，連結(jié)HB1，則B1H⊥AG，故∠B1HB為平面AB1E與平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角在Rt△ABG中，，則，，，故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為方法二：以C為原點(diǎn)，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系（如圖3），∵正方體棱長(zhǎng)為6，則E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.設(shè)向量n=（x，y，z），滿足n⊥，n⊥，于是，解得.取z=2，得n=（2，-1，2）.又（0，0，6），故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.思維提升：本題結(jié)合三視圖給出幾何體，顯然，能從三視圖中準(zhǔn)確的產(chǎn)生幾何體的直觀圖相當(dāng)重要，這是求解的基礎(chǔ)，也是求解的起點(diǎn)，因此必須引起我們的高度關(guān)注。當(dāng)產(chǎn)生幾何體后，問(wèn)題很快轉(zhuǎn)化為一般的立幾計(jì)算問(wèn)題，只要認(rèn)真、細(xì)致，就能有好的結(jié)局。21、（Ⅰ）因?yàn)閭?cè)面，故在中，由余弦定理有故有而且平面（Ⅱ）法一：由從而且故不妨設(shè)，則，則又則在中有從而（舍負(fù)）故為的中點(diǎn)時(shí)，法二：以為原點(diǎn)為軸，設(shè)，則由得即化簡(jiǎn)整理得或當(dāng)時(shí)與重合不滿足題意當(dāng)時(shí)為的中點(diǎn)故為的中點(diǎn)使（Ⅲ）法一：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連則，連則，連則，連則，且為矩形，，又故為所求二面角的平面角在中，法二：由已知，所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角，因?yàn)楣蕼剀疤崾荆罕绢}的圖形在放置上與常規(guī)不太一致，也許會(huì)對(duì)我們的思維起到一定干擾作用。本題共三問(wèn)，第一問(wèn)證明線面垂直；第二問(wèn)探究線線垂直，其實(shí)，肯定要用線面垂直。第三問(wèn)求二面角，傳統(tǒng)方法求解時(shí)，作二面角的平面角是關(guān)鍵。向量方法求解時(shí)，建立系與用向量夾角表示二面角是關(guān)鍵。22、（1）連交于點(diǎn)，連PO，則PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是與底面所成的角，∴tan∠PAO=。設(shè)AB=1，則PO=AO?tan∠PAO=。設(shè)F為AD中點(diǎn)，連FO、PO，則OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，就是側(cè)面與底面所成二面角的平面角。在Rt中，，∴。即面與底面所成二面角的大小為（2）由（1）的作法可知：O為BD中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PD中點(diǎn)，所以，?！嗑褪钱惷嬷本€PD與AE所成的角。在Rt中，?！?。由，可知：面。所以，。在Rt中，?！喈惷嬷本€PD與AE所成角的正切值為。（3）對(duì)于這一類探索性的問(wèn)題，作為一種探索，我們首先可以將條件放寬一些，即先找到面的一條垂線，然后再平移到點(diǎn)E即可。為了達(dá)到上述目的，我們可以從考慮面面垂直入手，不難發(fā)現(xiàn)：。延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接。設(shè)為中點(diǎn)，連接?！咚睦忮F為正四棱錐且為中點(diǎn)，所以，為中點(diǎn)，∴，?！??！嗝妗汀！?，，∴為正三角形?！?，∴。取AF中點(diǎn)為K，連EK，則由及得四邊形為