2023屆江蘇省常州市教育學(xué)會(huì)高三下學(xué)期期初學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解出集合中的不等式，再進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.【詳解】不等式解得，∴，，得.故選：C.2．命題“”的否定為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)定義，全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，據(jù)此進(jìn)行判斷.【詳解】全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，故，否定為：.故選：A3．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)至復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求出的值，進(jìn)而求出.【詳解】為純虛數(shù)，，，故選：.4．已知兩個(gè)單位向量滿(mǎn)足，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用向量垂直求出的值，進(jìn)而可求與的夾角的余弦值.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，故選：.5．已知正三棱柱與以的外接圓為底面的圓柱的體積相等，則正三棱柱與圓柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，高為，的外接圓半徑為，圓柱的高為，通過(guò)正弦定理和體積相等，求出與、與的關(guān)系，表示出正三棱柱與圓柱的側(cè)面積，再求比值.【詳解】設(shè)的邊長(zhǎng)為，外接圓半徑為，，由正弦定理得，則，，設(shè)圓柱的高為，V圓柱，，正三棱柱的側(cè)面積S棱柱，圓柱的側(cè)面積S圓柱，正三棱柱與圓柱的側(cè)面積的比值為故選：D.6．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用賦值法可得，然后求出，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由等式左右兩邊系數(shù)相等可得，所以，故選：C.7．下表提供了某廠進(jìn)行技術(shù)改造后生產(chǎn)產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量（單位：）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（單位：標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：3456標(biāo)準(zhǔn)煤34已知該廠技術(shù)改造前產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)該廠技術(shù)改造后產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了（

）附：在線性回歸方程中，，其中為樣本平均值.A．標(biāo)準(zhǔn)煤 B．標(biāo)準(zhǔn)煤C．標(biāo)準(zhǔn)煤 D．標(biāo)準(zhǔn)煤【答案】A【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)和回歸方程公式，代入求解得回歸方程，并利用方程對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)即可.【詳解】，，，，所以線性回歸方程為，當(dāng)，，.故選：A.8．已知函數(shù)則解的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】通過(guò)數(shù)形結(jié)合，通過(guò)討論范圍，判斷方程解的個(gè)數(shù).【詳解】時(shí)，，解得時(shí)，，，，無(wú)解.由，則有，時(shí)，，通過(guò)函數(shù)圖像可知，方程有兩個(gè)根，如圖所示，時(shí)，，無(wú)解.故選：.二、多選題9．某次測(cè)試,經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布,函數(shù)的圖象為其正態(tài)密度曲線,則(

)A．這次測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0B．這次測(cè)試的成績(jī)的方差為10C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在80分以下的人數(shù)相同D．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)大致相同【答案】AD【分析】根據(jù)題意得:,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得:,其中,即正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)軸為,所以A正確,C錯(cuò)誤,D正確.因?yàn)?方差為,B錯(cuò)誤,故選:.10．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則（

）A．若直線的斜率為，則B．使得為等腰三角形的點(diǎn)有且僅有四個(gè)C．點(diǎn)到兩條漸近線的距離乘積為D．已知點(diǎn)，則的最小值為5【答案】ABC【分析】對(duì)于A，設(shè)，根據(jù)題意，將直線的斜率為化簡(jiǎn)之二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求出范圍；對(duì)于B，和各有兩個(gè)，可得出結(jié)論；對(duì)于C，利用點(diǎn)到直線距離公式可求點(diǎn)到兩條漸近線的距離，進(jìn)而判斷C的正誤；對(duì)于D，根據(jù)點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可求最小值.【詳解】對(duì)于A，由題意可知，，設(shè)則直線的斜率為，令，，令在單調(diào)遞減，對(duì).對(duì)于B，當(dāng)，則滿(mǎn)足條件的有兩個(gè)；當(dāng)，則滿(mǎn)足條件的有兩個(gè)，易得不存在滿(mǎn)足，滿(mǎn)足為等腰三角形的有4個(gè)，B對(duì).對(duì)于C，漸近線：即，，C對(duì)，對(duì)于D，由題意，點(diǎn)Q在雙曲線外，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)不是周期函數(shù)B．函數(shù)的圖象只有一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為D．曲線只有一條過(guò)點(diǎn)的切線【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，利用反證法判斷出答案；B選項(xiàng)，設(shè)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，得到，列出方程，求出，得到對(duì)稱(chēng)中心不止一個(gè)；C選項(xiàng)，由導(dǎo)函數(shù)結(jié)合定義域求出函數(shù)的單調(diào)性；D選項(xiàng)，設(shè)出切點(diǎn)，得到切線方程，代入，化簡(jiǎn)后得到，換元后得到，，分，與，得到函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值情況，結(jié)合隱零點(diǎn)推出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域是，所以若有周期，則周期為的整數(shù)倍，假設(shè)周期，則即，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，等式可整理為，，該等式矛盾，故假設(shè)不成立；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，等式可整理為，，該等式矛盾，故假設(shè)不成立；綜上，則不是周期函數(shù)，A正確；對(duì)于B，設(shè)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，，∴，即；令，，則，，所以，則，解得：，，關(guān)于，中心對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心不止一個(gè)，B不正確；對(duì)于C，令，得，解得或，；∵的定義域?yàn)?，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，，，，，C不正確；對(duì)于D，設(shè)切點(diǎn)，切線方程為，∵切線過(guò)∴，化簡(jiǎn)得，故，令，，當(dāng)時(shí)，，故，∴在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，由零點(diǎn)存在性定理可得：在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故，故，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，故存在，使得，即，結(jié)合，可得：或，因?yàn)?，所以，，故，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，因?yàn)?，所以，故時(shí)，，所以在上無(wú)零點(diǎn)，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：隱零點(diǎn)的處理思路：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過(guò)合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.12．棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，球面上點(diǎn)與球心分別位于平面的兩側(cè)，且四棱錐是側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐.記正四棱錐的側(cè)棱與直線所成的角為，與底面所成的角為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，從而求出外接球的半徑，即可判斷C，設(shè)外接圓圓心為，由勾股定理求出，即可判斷D，利用余弦定理求出，即可判斷A，延長(zhǎng)交球于點(diǎn)，則，求出，即可判斷D.【詳解】解：正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，所以，即，故C正確.設(shè)外接圓圓心為，所以，則，所以，故D錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，所以，所以，故A錯(cuò)誤，延長(zhǎng)交球于點(diǎn)，則平面，為在平面內(nèi)的投影，，所以，而，所以，得，因?yàn)椋?，故B正確.故選：BC三、填空題13．?dāng)?shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是__________.【答案】【分析】先按照從小到大，排序，計(jì)算第三和第四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為所求.【詳解】先按照從小到大排序：，共12個(gè)數(shù)據(jù)，.第3，4個(gè)數(shù)據(jù)分別為則第25百分位數(shù)為，故答案為：.14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線與到點(diǎn)的距離相等，點(diǎn)在圓上，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】3【分析】先利用拋物線的定義求出P的軌跡方程，再利用P到的圓心的距離的最小值可得的最小值.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)到直線與到點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，即；設(shè)圓的圓心為，則，，僅當(dāng)x=6時(shí)等號(hào)成立，所以，即.故答案為：3.15．已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，判斷其奇偶性，并求導(dǎo)判斷單調(diào)性，代入可求解集.【詳解】為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，，，，，則.故答案為：.四、雙空題16．已知數(shù)列中，.記，則的通項(xiàng)公式__________；的前項(xiàng)和__________.【答案】

【分析】利用構(gòu)造等比數(shù)列的方法求出通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】記，由知是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，即.∵，∴；，①，②①②得，.故答案為：；五、解答題17．設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球(1)記從甲袋中取出的2個(gè)球中恰有個(gè)白球，求隨機(jī)變量的概率分布和期望；(2)求從乙袋中取出的2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率.【答案】(1)概率分布見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）根據(jù)題意知X的取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；（2）根據(jù)題意，根據(jù)甲袋取球情況分類(lèi)討論，利用概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）的所有可能取值為，，的分布列如下：012的數(shù)學(xué)期望.（2）若從甲袋中取出2紅，則乙袋中取出2球恰有1個(gè)紅球概率，若從甲袋中取出2白，則乙袋中取出2球恰有1個(gè)紅球概率，若從甲袋中取出1紅1白，則乙袋中取出2球恰有1個(gè)紅球概率，乙袋中取出2球恰有1紅的概率.18．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組，求出公差和公比，得到通項(xiàng)公式；（2）先求出，利用裂項(xiàng)相消法求出.【詳解】（1）設(shè)公差為公比為，則，解得；.（2）∵，∴..19．已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為邊上的高為1，且.(1)求證：；(2)求的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理將化簡(jiǎn)，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可證明等式成立；（2）由題意可知，，利用余弦定理和基本不等式求出的最小值，進(jìn)而可求的最小值.【詳解】（1）證明：，.（2）由題意知，由，可知，且，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，.20．如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形中，平行于的直線分別交線段于點(diǎn).將沿著折起至，使得二面角是直二面角.(1)若平面平面，求證：；(2)若三棱錐的體積為1，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線線平行證明線面平行，再利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行.（2）由已知求證得分別為中點(diǎn)，利用二面角的定義，作輔助線，利用幾何法求二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：，平面，平面，平面，又平面，平面平面（2）設(shè)，過(guò)作于點(diǎn)，如圖所示，二面角為直二面角，平面，，解得，分別為中點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，因?yàn)?，，平面平面，過(guò)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以平面，所以即為二面角的平面角的補(bǔ)角，且，，，.二面角的正弦值為.21．已知點(diǎn)在橢圓上，的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，直線與交于兩點(diǎn)，直線的斜率之積為.(1)求證：為定值；(2)若直線與軸交于點(diǎn)，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)根據(jù)題意求出橢圓方程為，將橢圓，及相關(guān)直線、點(diǎn)進(jìn)行平移，將看作方程的兩不等實(shí)根，進(jìn)而可得，代入直線方程化簡(jiǎn)即可；(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，化簡(jiǎn)，代入韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）由題意知橢圓方程為.將橢圓平移至即，此時(shí)點(diǎn)平移至分別平移至，設(shè)直線方程為代入橢圓，整理得，兩邊同除以，令，則可看作關(guān)于的一元二次方程，的兩不等實(shí)根，，即，直線方程為，的斜率為定值，即的定值.（2）設(shè)，，即，故，，22．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線恒在函數(shù)圖象的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的求解單調(diào)區(qū)間；（2）先求出過(guò)點(diǎn)的直線，利用圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)