匠心文檔，專屬精選。2．4漸開線與擺線?預習梳理1．以基圓圓心O為原點，直線OA為x軸，成立平面直角坐標系，可得圓的漸開線的參數(shù)方程為：________________________________________________________________________(此中r為基圓的半徑)．2．在研究平擺線的參數(shù)方程中，取定直線為x軸，定點轉動時落在直線上的一個位M置為原點，成立直角坐標系，設圓的半徑為r，可得擺線的參數(shù)方程為：______________________________________________________．?預習思慮x＝8cosφ＋8φsinφ，半徑為8的圓的漸開線參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，擺線參y＝8sinφ－8φcosφ數(shù)方程為______________．,預習梳理x＝r（cosφ＋φsinφ），1.(φ為參數(shù))y＝r（sinφ－φcosφ）x＝r（φ－sinφ），(φ為參數(shù))2.φ）y＝r（1－cos預習思慮x＝8φ－8sinφ，(φ為參數(shù))y＝8－8cosφ一層練習1．對于漸開線和擺線的表達，正確的選項是( )A．只有圓才有漸開線B．漸開線和擺線的定義是同樣的，不過畫圖的方法不同樣，因此才能獲得不同的圖形C．正方形也能夠有漸開線D．對于同一個圓，假如成立的直角坐標系的地點不同，畫出的漸開線形狀就不同1．C匠心教育文檔系列1匠心文檔，專屬精選。2．半徑為1的圓的漸開線的參數(shù)方程為( )x＝θ－sinθ，A.(θ為參數(shù))y＝1－cosθx＝1－sinθ，B.(θ為參數(shù))y＝θ－cosθx＝cosθ＋θsinθ，C.(θ為參數(shù))y＝sinθ－θcosθx＝cosθ－θsinθ，D.y＝sinθ＋θcosθ2.C3．給出以下說法：①圓的漸開線的參數(shù)方程不可以轉變?yōu)橐话惴匠?；②圓的漸開線也可以轉變?yōu)橐话惴匠?，可是轉變后的一般方程比較麻煩，且不簡單看出坐標之間的關系，因此常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題；③在求圓的擺線和漸開線方程時，假如成立的坐標系原點和坐標軸選用不同，可能會獲得不同的參數(shù)方程；④圓的漸開線和x軸必定有交點并且是獨一的交點．此中正確的說法有( )A．①③B．②④C．②③D．①③④3.C4．基圓半徑為2的漸開線的參數(shù)方程是__________．x＝2（cosφ＋φsinφ），y＝2（sinφ－φcosφ）(φ為參數(shù))二層練習5．以以下圖所示，ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH叫作“正方形的漸開線”，此中AE，EF，F(xiàn)G，GH，的圓心挨次按B，C，D，A循環(huán)，它們挨次相連結，則曲線AEFGH的長是()匠心教育文檔系列2匠心文檔，專屬精選。A．3πB．4πC．5πD．6π5．C6．已知擺線的生成圓的直徑為80mm，則擺線的參數(shù)方程為____________________________________，其一拱的寬為________，拱高為________．x＝40（φ－sinφ），6.(φ為參數(shù))80πmmy＝40（1－cosφ）80mmx＝2cosα，7．已知參數(shù)方程為(α為參數(shù))，則該圓的漸開線參數(shù)方程為y＝2sinα__________________________，擺線參數(shù)方程為____________________________．x＝2（cosφ＋φsinφ），(φ為參數(shù))7.φ－φcosφ）y＝2（sinx＝2（φ－sinφ），y＝2（1－cos(φ為參數(shù))φ）x＝6（cosφ＋φsinφ），8．漸開線(φ為參數(shù))的基圓的圓心在原點，把基圓的y＝6（sinφ－φcosφ）橫坐標伸長為本來的2倍(縱坐標不變)獲得的曲線的焦點坐標為________________．8．(63，0)和(－63，0)πx＝cosφ＋φsinφ，(φ為參數(shù))上的對應點A，9．當φ＝2，π時，求出漸開線y＝sinφ－φcosφB，并求出A，B間的距離．匠心教育文檔系列3匠心文檔，專屬精選。x＝cosφ＋φsinφ，9．分析：將φ＝2代入y＝sinφ－φcosφ.ππ得x＝cos2＋2sin2＝1，ππππy＝sin2－2cos2＝1.∴A2，1.x＝cosφ＋φsinφ，將φ＝π代入y＝sinφ－φcosφ，得x＝cosπ＋πsinπ＝－1，y＝sinπ－πcosπ＝π.B(－1，π)．故A，B間的距離為（1－π）2＋π24π2－π＋2.||＝＋1＝AB25三層練習10．已知圓的直徑為2，其漸開線的參數(shù)方程對應的曲線上兩點A，B對應的參數(shù)分別ππ為3和2，求點A、B的直角坐標．10．分析：依據(jù)題設條件可知圓的半徑為1，因此對應的漸開線的參數(shù)方程為x＝cosφ＋φsinφ，y＝sinφ－φcosφ(φ為參數(shù))．π將φ＝3代入得x＝cosπ＋πsinπ＝1＋3π，33326πππ3πy＝sin－cos＝－.33326∴A點的坐標為3＋3π，33－π.66當φ＝π時，同理可求得B點的坐標為π，1.22x＝2（φ－sinφ），11．求擺線(φ為參數(shù)且0≤φ≤2π)與直線y＝2的交點的直y＝2（1－cosφ）角坐標．11．分析：當y＝2時，有2(1－cosφ)＝2，匠心教育文檔系列4匠心文檔，專屬精選。cosφ＝0.又0≤φ≤2π，3πφ＝2或φ＝2.當φ＝π時，x＝π－2；23π當φ＝時，x＝3π＋2.2∴擺線與直線y＝2的交點為(π－2，2)，(3π＋2，2)．12．設圓的半徑為4，沿x軸正向轉動，開始時圓與x軸相切于原點O，記圓上動點為M，它隨圓的轉動而改變地點，寫出圓轉動一周時M點的軌跡方程，畫出相應曲線，求此曲線上縱坐標y的最大值．x＝4（φ－sinφ），12．分析：依題意可知，軌跡是擺線，其參數(shù)方程為(φ為參y＝4（1－cosφ）數(shù))．且0≤φ≤2π.其曲線是擺線的第一拱(0≤φ≤2π)，以以下圖所示：易知，當x＝4π時，y有最大值8.x＝4φ－4sinφ，13．已知一個圓的擺線方程是(φ為參數(shù))，求該圓的面積和對應y＝4－4cosφ的圓的漸開線的參數(shù)方程．13．剖析：第一依據(jù)所給出的擺線方程判斷出圓的半徑為4，易得圓的面積，再代入漸開線的參數(shù)方程的標準形式，即可得圓的漸開線的參數(shù)方程．分析：第一依據(jù)擺線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4，因此面積是16π，該圓對應的漸開匠心教育文檔系列5匠心文檔，專屬精選。x＝4cosφ＋4φsinφ，線參數(shù)方程是(φ為參數(shù))．y＝4sinφ－4φcosφ14．已知一個圓的擺線過必定點(2，0)，請寫出該圓的半徑最大時該擺線的參數(shù)方程以及對應的圓的漸開線的參數(shù)方程．x＝r（φ－sinφ），14．剖析：依據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程(φ為參數(shù))，只要把點(2，y＝r（1－cosφ）代入?yún)?shù)方程求出r的表達式，依據(jù)表達式求出r的最大值，再確立對應的擺線和漸開線的參數(shù)方程即可．分析：令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，因為r＞0，即得cosφ＝1，因此φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因為x＝2，因此r(2kπ－sin2k1π)＝2，即得r＝kπ.1*1又由實質可知r＞0，因此r＝kπ(k∈N)．易知，當k＝1時，r取最大值為π.代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為1x＝π（φ－sinφ），(φ為參數(shù))；1y＝π（1－cosφ）圓的漸開線的參數(shù)方程為1x＝π（cosφ＋φsinφ），(φ為參數(shù))．1y＝π（sinφ－φcosφ）1．漸開線的實質是直線在圓上轉動時直線上定點的軌跡．圓的擺線的實質是一個圓沿著一條定直線無滑動地轉動時圓周上一個定點的軌跡．2．漸開線上任一點M的坐標由圓心角φ(以弧度為單位)獨一確立，而在圓的擺線中，圓周上定點的地點也能夠由圓心角φ獨一確立．M3．圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程均不宜化為一般方程，既繁瑣又沒有實質意義．4．相關已知擺線過定點求擺線及漸開線的參數(shù)方程等問題，可進行以下思路解題：代匠心教育文檔系列6匠心文檔，專屬精選。x＝r（φ－sinφ），r，這樣入擺線的參數(shù)方程(φ為參數(shù))，可求出φ，進一步求的y＝r（1－cosφ）就能夠寫出該圓的擺線和漸開線的參數(shù)方程．【習題2.4】1．分析：因為基圓的直徑是225mm，因此基圓的半徑是112.5mm，齒廓線AB所在的x＝112.5（cosφ＋φsinφ），漸開線的參數(shù)方程為φ－φcosφ）(φ是參數(shù))．y＝112.5（sinπ3πx＝cosφ＋φsinφ，2．分析：將φ＝2，2分別代入y＝sinφ－φcosφ，獲得A，B兩點的坐標分別為π，1，－3π，－1，由兩點間的距離公式得π＋2||＝3π＋（1＋1）2＝22AB222π2＋1.3．分析：設輪子的圓心為B，以BM的延伸線與直線軌道垂直時的一個垂足O為原點，直線軌道為x軸，成立以下圖的直角坐標系．設圓轉動使點M繞圓心B轉過φ角后點M的坐標為(x，y)，則x＝OD＝OA－DA＝OA－MC＝a