蒙古國阿林諾爾鉬礦床賦礦花崗巖年代學(xué)及地球化學(xué)特征（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）

３４８地球?qū)W報(bào)第三十一卷表２阿林諾爾賦礦花崗巖主量元素（ｗｔ％）及微量元素（１ＯＩ６）分析結(jié)果Ｔａｂｌｅ２Ｍａｊｏｒｅｌｅｍｅｎｔｓ（ｗｔ％），Ｔｒａｃｅｅｌｅｍｅｎｔｓ（１Ｏ一）ｄａｔａｏｆｏｒｅ．ｂｅａｒｉｎｇｇｒａｎｉｔｅｆｒｏｍｔｈｅＡｒｙｎＨｕｎｔｍｏｌｙｂｄｅｎｕｍｄｅｐｏｓｉｔ均為４０．５６，變化范圍較小，但Ａ．４與其他三件樣品相比相對較低；Ｎｂ／Ｔａ＝１１．４８～１４．４５，平均為１２．３３，礦石中輝鉬礦Ｒｅ。０ｓ同位素等時(shí)線年齡２２７￣３．１Ｍａ（ＭＳＷＤ＝０．０６６）在誤差范圍內(nèi)一致，反映出阿林諾爾變化范圍較小。微量元素原始地幔蛛網(wǎng)圖總體呈右傾形態(tài)（圖６）。鉬礦床與其賦礦的淺成高鉀鈣堿性細(xì)粒黑云母花崗巖有著密切的成因聯(lián)系。礦床及賦礦斑巖體的地質(zhì)特征綜合顯示，該礦床為Ｃｌｉｍａｘ型鉬礦床，與俯沖帶４討論與結(jié)論鋯石的ＳＨＲＩＭＰＵ—Ｐｂ年齡顯示阿林諾爾鉬礦床賦礦花崗巖的侵位年齡為２２９．０土２．２Ｍａ（ＭＳＷＤ上方地殼伸展作用形成的淺成高鉀鈣堿性細(xì)粒黑云母花崗巖有關(guān)。結(jié)合區(qū)域的大地構(gòu)造背景，本區(qū)在中生代期間，受到蒙古一鄂霍次克洋俯沖消減構(gòu)造的影響，沿著蒙古一鄂霍次克縫合帶兩側(cè)分布有多條弧：１．１６），而從鋯石的形態(tài)及其Ｔｈ／Ｕ比值也可以看出，這些鋯石屬于巖漿活動的產(chǎn)物，顯示阿林諾爾鉬礦床賦礦花崗巖侵位于中三疊世，屬印支期。從區(qū)域上看，阿林諾爾賦礦花崗巖位于晚古生代一早三疊世巖漿弧內(nèi)，區(qū)域內(nèi)二疊紀(jì)、三疊紀(jì)一侏羅紀(jì)弧火山巖及花崗巖發(fā)育（Ｂａｄａｒｃｈｅｔａ１．，２００２，Ｔｏｍｕｒｔｏｇｏｏｅｔａ１．２００５）。阿林諾爾斑巖型鉬礦床具有Ｃｌｉｍａｘ型礦床的特點(diǎn)（ＷｅｓｔｒａａｎｄＫｅｉｔｈ．，１９８１），其賦礦花崗巖體具有過鋁質(zhì)高鉀鈣堿性特征，富集Ｒｂ、Ｂａ、Ｔｈ以及Ｋ等大離子親石元素，虧損Ｎｂ、Ｔａ以及Ｔｉ等高場強(qiáng)元素。在Ｎｂ＋Ｙ—Ｒｂ圖解上（圖７）投影于火山弧花崗巖區(qū)域，具有洋殼俯沖過程中釋放的流體及熔體與地幔楔系統(tǒng)相互作用所形成的火山弧巖漿巖的特￣（Ｔａｔｓｕｍｉｅｔａ１．，１９８６；ＭｏｒｉｇｕｔｉａｎｄＮａｋａｍｕｒａ．１９９８；Ｋｅｓｓｅｌｅｔａ１．；２００５），暗示其形成過程與板塊俯沖作用有明顯的聯(lián)系，可能是蒙古一鄂霍次克洋俯沖板塊上方與地殼伸展作用有關(guān)的高鉀堿性巖漿活動的結(jié)果。圖７阿林諾爾賦礦花崗巖構(gòu)造環(huán)境判別圖（Ｐｅａｒｃｅｅｔａ１．，１９８４）Ｆｉｇ．７Ｐｅａｒｃｅ’ｓＲｂ．（Ｙ＋Ｎｂ）（１０—６１ｄｉｓｃｒｉｍｉｎａｔｉｏｎｄｉａｇｒａｍｏｆＡｒｙｎｎｕｕｒｏｒｅ—ｂｅａｒｉｎｇｇｒａｎｉｔｅ（ａｆｔｅｒＰｅａｒｃｅｅｔａ１．，１９８４）作為阿林諾爾鉬礦床的賦礦圍巖，其成巖年齡２２９．０土２．２Ｍａ（ＭＳＷＤ：１．１６）與薛靜等（２０１０）獲得的蒙古國阿林諾爾鉬礦床賦礦花崗巖年代學(xué)及地球化學(xué)特征（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）第三期劉翼飛等：蒙古國阿林諾爾鉬礦床賦礦花崗巖年代學(xué)及地球化學(xué)特征３４９巖漿帶（圖１），從成巖及成礦時(shí)代的一致性可以確定，阿林諾爾鉬礦床成巖成礦作用也是該構(gòu)造背景下的產(chǎn)物。而該區(qū)域內(nèi)也發(fā)育有較多的斑巖型礦床，如額ＭａｔｅｒｉａｌｆｏｒｔｈｅＩｏｎＭｉｃｒｏｐｒｏｂｅＵ—ＰｂＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＺｉｒｃｏｎ［Ｊ］．ＧｅｏｓｔａｎｄａｒｄｓａｎｄＧｅｏａｎａｌｙｔｉｃａｌＲｅｓｅａｒｃｈ，３２（３）：２４７—２６５．ＰＥＡＲＣＥＪＡ．ＨＡＲＲＩＳＮＢＷ，ＴＩＮＤＬＥＡＧ．１９８４．ＴｒａｃｅＥｌｅ—ｍｅｎｔＤｉｓｃｒｉｍｉｎａｔｉｏｎＤｉａｇｒａｍｓｏｒｆｔｈｅＴｅｃｔｏｎｉｃＩｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ爾登特特大型斑巖銅鉬礦床，該礦床成礦年齡為２４１．０＋３．１Ｍａ（Ｒｅ．Ｏｓ等時(shí)線年齡ＭＳＷＤ＝Ｉ．０２），屬于三疊紀(jì)（ＷａｔａｎａｂｅａｎｄＳｔｅｉｎ，２０００；江思宏等，２０１０），顯示該區(qū)具有尋找斑巖型礦床的巨大前景。ｏｆＧｒａｎｉｔｉｃＲｏｃｋｓ［Ｊ】．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｅｔｒｏｌｏｇｙ，２５（４）：９５６—９８３．ＰＩＤＧＥＯＮＲＴ．ＮＥＭＣＨＩＮＡＡ，ＨＩＴＣＨＥＮＧＪ．１９９８，ＩｎｔｅｒｎａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｏｆｚｉｒｃｏｎｓｆｒｏｍＡｒｃｈａｅａｎｇｒａｎｉｔｅｓｆｒｏｍｔｈｅＤａｒｌｉｎｇＲａｎｇｅｂａｔｈｏｌｉｔｈ：ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｒｆｚｉｒｃｏｎｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｔｈｅｉｎ—ｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｏｆｚｉｒｃｏｎＵ－Ｐｂａｇｅｓ［Ｊ］．ＣｏｎｔｒｉｂＭｉｎｅｒａｌＰｅｔｒｏ１．１３２：２８８—２９９．ＲＩＣＨＡＲＤＳＪＰ．２００３．Ｔｅｃｔｏｎｏ—ＭａｇｍａｔｉｃＰｒｅｃｕｒｓｏｒｓｆｏｒＰｏｒｐｈｙｒｙ致謝：中國地質(zhì)科學(xué)院礦產(chǎn)資源研究所盛繼福研究員、豐成友研究員審鬩了本文，并提出了寶貴意見，在此表示感謝。Ｃｕ一（Ｍｏ—Ａｕ）ＤｅｐｏｓｉｔＦｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＥｃｏｎｏｍｉｃＧｅｏｌｏｇｙ，９８：ｌ５１５—１５３３．ＳＥＥＤＯＦＦＥ．ＤＩＬＬＥＳＪＨ，ＰＲＯＦＦＥＴＪＭ，Ｅ１ＮＡＵＤｌＭＴ，ＺＵＲＣＨＥＲＬ，ＳＴＡＶＡＳＴＷＪＡ，Ｊ０ＨＮＳＯＮＤＡ，ＢＡＲＲＴＯＮ參考文獻(xiàn)：江思宏，聶鳳軍，蘇永江，白大明，劉翼飛．２０１０．蒙古國額爾登特特大斑巖型銅一鉬礦床年代學(xué)與成因研究．地球?qū)W報(bào)，３１（３）：２８９—３０６．ＭＤ．２００５．Ｐｏｐｈｙｒｒｙｄｅｐｏｓｉｔｓ：ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｎｄｏｒｉｇｉｎｏｆｈｙｐｏｇｅｎｅｆｅａｔｕｒｅｓ［Ｊ］．ＥｃｏｎｏｍｉｃＧｅｏｌｏｇｙ，Ｏｎｅｈｕｎｄｒｅｄｔｈａｎ—ｎｉｖｅｒｓａｒｙｖｏｌｕｍｅ．２５１－２９８．ＳＩＮＧＥＲＤＡ．１９９５．Ｗ０ｒ１ｄｃｌａｓｓｂａｓｅａｎｄｐｒｅｃｉｏｕｓｍｅｔａｌｄｅｐｏｓｉｔｓ—Ａｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．ＥｃｏｎｏｍｉｃＧｅｏｌｏｇｙ，９０：８８—１０４．宋彪，張玉海，萬渝生，簡平．２００２．鋯石ＳＨＲＩＭＰ樣品靶制作，年齡測定及有關(guān)現(xiàn)象討論【Ｊ］．地質(zhì)論評，４８（增刊）：２６—３０．薛靜，聶鳳軍，戴塔根，彭恩生，劉翼飛．２０１０．蒙古國蘇赫艾巴托爾省阿林諾爾鉬礦床輝鉬礦Ｒｅ—Ｏｓ同位素年齡及其地質(zhì)意義Ⅲ．地球?qū)W報(bào)，３１（３）：３５０—３５６．ＳＯＮＧＢｉａｏ，ＺＨＡＮＧＹｕ—ｈａｌ，ＷＡＮＹｕ—ｓｈｅｎｇ，ＪＩＡＮＧＰｉｎｇ．２００２．ＭｏｕｎｔｍａｋｉｎｇａｎｄｐｒｏｃｅｄｕｒｅｏｆｔｈｅＳＨＲＩＭＰｄａｔｉｎｇ［Ｊ］．Ｇｅｏ—ｌｏｇｉｃａｌＲｅｖｉｅｗ．４８（Ｓｕｐｐ）：２６—３０．ＳＵＮＳＳａｎｄＭＣＤ０Ｎ０ＵＧＨＷＦ．１９８９．Ｃｈｅｍｉｃａｌａｎｄｉｓｏｔｏｐｉｃｓｙｓｔｅｍａｔｉｃｓｏｆｏｃｅａｎｉｃｂａｓａｌｔｓ：ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｒｆｍａｎｔｌｅｃｏｍ—肖偉，王義天，江思宏，侯萬榮．２０１０．南蒙古及鄰區(qū)地質(zhì)礦產(chǎn)簡圖及地形地貌特點(diǎn)［Ｊ］地球?qū)W報(bào)，３ｌ（３）：４７３—４８４．Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ：ＢＡＤＡＲＣＨＧ．ＣＵＮＮＩＮＧＨＡＭＷＤ．ＷＩＮＤＬＥＹＢＦ．２００２．ＡｎｅｗｔｅｒｒａｎｅｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎｆｏｒＭｏｎｇｏｌｉａ：ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄｐｒｏｃｅｓｓｅｓ［Ｊ］．ＧｅｏｌｏｇｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，Ｌｏｎｄｏｎ，Ｓｐｅｃｉａｌｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎｓ，４２：３１３—３４５．ＴＡＴＳＵＭＩＹ，ＨＡＭＩＬＴＯＮＤ，ＮＥＳＢＩＴＴＲＷ．１９８６．ｃｈｅｍｉｃａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｌｕｆｉｄｐｈａｓｅｒｅｌｅａｓｅｄｆｒｏｍａｓｕｂｄｕｃｔｅｄｌｉｔｈｏ—ｓｐｈｅｒｅａｎｄｏｒｉｇｉｎｏｆａｒｃｍａｇｍａｓ：ｅｖｉｄｅｎｃｅｆｒｏｍｈｉｇｈ—ｐｒｅｓｓｕｒｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓａｎｄｎａｕｒｔａｌｒｏｃｋｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆｖｏｌｃａｎｏｌｏｇｙａｎｄｇｅｏｔｈｅｒｍａｌｒｅｓｅａｒｃｈ，２９：２９３—３０９．ＰｈａｎｅｒｏｚｏｉｃｃｒｕｓｔａｌｇｒｏｗｔｈｏｆＣｅｎｔｒａｌＡｓｉａ［Ｊ］．ＪｏｎｒｎａｌｏｆＡｓｉａｎＥａｒｔｈＳｃｉｅｎｃｅｓ．２１：８７—１ｌＯ．ＣＡＮＤＥＬＡＰＡ．ＰＩＣＯＬＩＰＭ．２００５．ＭａｇｍａｔｉｃＰｒｏｃｅｓｓｅｓｉｎｔｈｅＴ０ＭＵＲＴ０Ｇ０ｏｏ，ＷＩＮＤＬＥＹＢＦ，ＫＲＯＮＥＲＡ，ＢＡＤＡＲＣＨＧ，ＬｉｕＹＤ．２００５．ＺｉｒｃｏｎａｇｅａｎｄｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｏｆｔｈｅＡｄａａｔｓａｇｏｐｈｉｏｌｉｔｅａｎｄＭｕｒｏｎｓｈｅａｒｚｏｎｅ，ｃｅｎｔｒａｌＭｏｎｇｏｌｉａ：ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓｏｎｔｈｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅＭｏｎｇｏｌ－Ｏｋｈｏｔｓｋｏｃｅａｎ，ｓｕｔｕｒｅａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｐｏｒｐｈｙｒｙ—ｔｙｐｅｏｒｅｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＥｃｏｎｏｍｉｃＧｅ—ｏｌｏｇｙ．Ｏｎｅｈｕｎｄｒｅｄｔｈａｎｎｉｖｅｒｓａｒｙｖｏｌｕｍｅ．２５—３８．ＢＡＤＡＲＣＨＧ．ＣＵＮＮＩＮＧＨＡＭＷＤ．ＷＩＮＤＬＥＹＢＦ．２００２．Ａｎｅｗｔｅｒ—ｏｒｏｇｅｎ［Ｊ］．ＪｏｕｎａｒｌｏｆｔｈｅＧｅｏｌｏｇｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ．１６２：１２５－Ｉ３４．ＷＡＴＡＮＡＢＥＹ，ＳＴＥＩＮＨＪ．２０００．Ｒｅ—ＯｓａｇｅｓｏｒｆｔｈｅｅｒｄｅｎｅｔａｎｄＴｓａｇａａｎＳｕｖａｒｇａｐｏｒｐｈｙｒｙＣｕ—Ｍｏｄｅｐｏｓｉｔｓ，Ｍｏｎｇｏｌｉａ，ａｎｄｒａｎｅｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎｏｒｆＭｏｎｇｏｌｉａ：ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅＰｈａｎｅｒｏ—ｚｏｉｃｃｒｕｓｔａｌｇｒｏｗｔｈｏｆＣｅｎｔｒａｌＡｓｉａ『Ｊ１．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｓｉａｎＥａｒｔｈＳｃｉｅｎｃｅｓ．２ｌ：８７—１ｌ０．Ｃ０ＯＫＥＤ．ＨＯＬＬＩＮＧＳＰ．ＷＡＬＳＨＥＪＬ．２００５．ＧｉａｎｔＰｏｒｐｈｙｒｙＤｅｐｏｓｉｔｓ：Ｃｈａｒａｃｔｅｒｊｓｔｉｃｓ．Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．ａｎｄＴｅｃｔｏｎｉｃＣｏｎ—ｔｅｃｔｏｎｉｃｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＥｃｏｎｏｍｉｃＧｅｏｌｏｇｙ．９５：ｌ５３７１５４２．ＷＥＳＴＲＡＧ，ＫＥＩＴＨＳＢ．１９８１．Ｃｌａｓｓｉｉｃｆａｔｉｏｎａｎｄｇｅｎｅｓｉｓｏｆｓｔｏｃｋｗｏｒｋｍｏｌｙｂｄｅｎｕｍｄｅｐｏｓｉｔｓ［Ｊ］．ＥｃｏｎｏｍｉｃＧｅｏｌｏｇｙ，７６：８４４．８７３．ｔｒｏｌｓ［Ｊ］．ＥｃｏｎｏｍｉｃＧｅｏｌｏｇｙ，ｌ００：８Ｏ１—８ｌ８．ＧＥＲＥＬＯ．１９９８．Ｐｈａｎｅｒｏｚｏｉｃｆｅｌｓｉｃｍａｇｍａｔｉｓｍａｎｄｒｅｌａｔｅｄｍｉｎｅｒ—ＷＩＮＤＬＥＹＢＦ，ＡＬＥＸＥＩＥＶＤ，ＸＩＡＯＷｅｎ－ｊｉａｏ，ＫＲＯＮＥＲＡ，ＢＡＤＡＲＣＨ．Ｇ．２００７．ＴｅｃｔｏｎｉｃｍｏｄｅｌｓｆｏｒａｃｃｒｅｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｌｉｚａｔｉｏｎｉｎＭｏｎｇｏｌｉａ【Ｊ】．ＢｕｌｌｅｔｉｎｏｆｔｈｅＧｅｏｌｏｇｉｃａｌＳｕｒｖｅｙｏｆＪａｐａｎ，４９（６）：２３９—２４８．ＣｅｎｔｒａｌＡｓｉａｎＯｒｏｇｅｎｉｃＢｅｌｔ［Ｊ］．ＪｏｕｎａｒｌｏｆｔｈｅＧｅｏｌｏｇｉｃａｌＳｏ—ｃｉｅｔｙ．１６４：３ｌ一４７．ＪＩＡＮＧＳｉ?ｈｏｎｇ，ＮＩＥＦｅｎｇ￣ｕｎ，ＳＵＹｏｎｇ－ｊｉａｎｇ，ＢＡｉＤａ—ｍｉｎｇ，ＬＩＵＹｉ—ｆｅｉ．２Ｏｌ０．ＧｅＯｃｈｒ０ｎ０ｌＯｇｙａｎｄｏｒｉｇｉｎｏｆｔｈｅＥｒｄｅｎｅｔｓｕＸＩＡＯＷｅｉ，ＷＡＮＧＹｉ—ｔｉａｎ，ＪＩＡＮＧＳｉ—ｈｏｎｇ，ＨＯＵＷａｎ—ｒｏｎｇ．２０ｌＯ．ＥｘｐｌａｎａｔｏｒｙＮｏｔｅｓｆｏｒｔｈｅＳｉｍｐｌｉｉｅｆｄＧｅｏｌｏｇｙａｎｄＭｉｎｅｒａｌＲｅｓｏｕｒｃｅＭａｐａｎｄＴｙｐｉｃａｌＧｅｏｇｒａｐｈｉｃａｌａｎｄＴｏｐｏｇｒａｐｈｉｃｐｅｒ—ｌａｒｇｅｓｃａｌｅｐｏｒｐｈｙｙｒＣｕ—ＭｏｄｅｐｏｓｉｔｉｎＭｏｎｇｏｌｉａ［Ｊ］＿ＡｃｔａＧｅｏｓｃｉｅｎｔｉｃａＳｉｎｉｃａ，３１（３）：２８９—３０６．ＫＥＳＳＥＬＲ．ＳＣＨＭＩＤＴＭＷ．ＵＬＭＥＲＰ．ＰＥＴＴＫＥＴ．２００５．ＴｒａｃｅＦｅａｔｕｒｅｓｏｆＳｏｕｔｈｅｎｒＭｏｎｇｏｌｉａｎａｎｄｌｔｓＮｅｉｇｈｂｏｒｉｎｇＡｒｅａｓ［Ｊ］．ＡｃｔａＧｅｏｓｃｉｅｎｔｉｃａＳｉｎｉｃａ，３ｌ（３）：４７３—４８４（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅｗｉｔｈＥｎｇｌｉｓｈｃａｐｔｉｏｎ）．ＸＩＡＯＷｅｎ—Ｊｉａｏ，ＷＩＮＤＬＥＹＢＦ，ＨＡＯＪｉｅａｎｄＺＨＡＩＭｉｎｇ—ｇｕｏ２００３．ＡｃｃｒｅｔｉｏｎｌｅａｄｉｎｇｔｏｃｏｌｌｉｓｉｏｎａｎｄｔｈｅＰｅｒｍｉａｎＳｏｌｏｎｋｅｒｓｕｔｕｒｅ，ＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａ，Ｃｈｉｎａ：Ｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｅｌｅｍｅｎｔｓｉｇｎａｔｕｒｅｏｆｓｕｂｄｕｃｔｉｏｎ—ｚｏｎｅｌｕｆｉｄｓ，ｍｅｌｔｓａｎｄｓｕｐｅｒ—ｃｒｉｔｉｃａｌｌｉｑｕｉｄｓａｔ１２０－１８０ｋｍｄｅｐｔｈ『Ｊ１．Ｎａｕｒｔｅ，４３７：７２４—７２７．Ｍ０ＲＩＧＵＴＩＴ．ＮＡＫＡＭＵＲＡＥ．１９９８．Ａｃｒｏｓｓ—ａｒｃｖａｒｉａｔｉｏｎｏｆＬｉｉｓｏｔｏｐｅｓｉｎ１ａｖａｓａｎｄｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｒｆｃｒｕｓｔ／ｍａｎｔｌｅｒｅｃｙｃｌｉｎｇａｔｓｕｂｄｕｃｔｉｏｎｚｏｎｅｓ［Ｊ］．Ｅａｒｔｈａｎｄｐｌａｎｅｔａｒｙｓｃｉｅｎｃｅｌｅｔｔｅｒｓ．１６３：１６７—１７４．Ａｓｉａｎｏｒｏｇｅｎｉｃｂｅｌｔ［Ｊ］ｌＴｅｃｔｏｎｉｃｓ，２２（６）：８（１）－８（２０）．ＸＵＥＪｉｎｇ，ＮＩＥＦｅｎｇ－ｊｕｎ，ＤＡＩｔａ—ｇｅｎ，ＰＥＮＧＥｎ—ｓｈｅｎｇ，ＬＩＵＹｉ－ｆｅｉ．２０１０．Ｒｅ—ＯｓＩｓｏｔｏｐｉｃＤａｔｉｎｇｏｎＭｏｌｙｂｄｅｎｉｔｅＳｅｐａｒａｔｅｓｒｏｍｆＮＡＳＤＡＬＡＬ．Ｈ０ＦＭＥＩＳＴＥＲＷ，ＮＯＲＢＥＲＧＮ，ＭＡＴＴＩＮＳＯＮＪＭ，ＣＯＲＦＵＦ，ＤＯＲＲＷ，ＫＡＭＯＳＬ，．ＫＥＮＮＥＤＹＡＫ。ＫＲ０ＮＺＡ，ＲＥＩＮＥＲＳＰＷ，ＦＲＥＩＤ，ＫＯＳＬＥＲＪ．ＷＡＮＹｕ—ｓｈｅｎｇ，ＧＯＴＺＥＪ，ＨＡＧＥＲＴ，ＫＲＯＮＥＲＡ，ＶＡＬＬＥＹＪＷ．２００８．ＺｉｒｃｏｎＭ２５７一ａＨｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＮａｔｕｒａｌＲｅｆｅｒｅｎｃｅｔｈｅＡｒｒｉｎｎｕｕｒＭｏＤｅｐｏｓｉｔ，Ｓｉｉｈｂａａｔａｒｐｒｏｖｉｎｃｅ，Ｍｏｎｇｏｌｉａ，ａｎｄｉｔｓｇｅｏｌｏｇｉｃａｌｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＡｃｔａＧｅｏｓｃｉｅｎｔｉｃａＳｉｎｉｃａ，３１（３）：３５Ｏ一３５６第五章矩陣的特征值和特征向量1．教學(xué)目的和要求：(1)理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會求矩陣的特征值和特征向量.(2)了解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對角化的充分必要條件，會將矩陣化為相似對角矩陣.(3)了解實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).2．教學(xué)重點(diǎn)：(1)會求矩陣的特征值與特征向量.(2)會將矩陣化為相似對角矩陣.3．教學(xué)難點(diǎn)：將矩陣化為相似對角矩陣.4．教學(xué)內(nèi)容：

本章將介紹矩陣的特征值、特征向量及相似矩陣等概念，在此基礎(chǔ)上討論矩陣的對角化問題.

§1矩陣的特征值和特征向量

定義1

設(shè)是一個(gè)階方陣，是一個(gè)數(shù)，如果方程

(1)存在非零解向量，則稱為的一個(gè)特征值，相應(yīng)的非零解向量稱為屬于特征值的特征向量．

（1）式也可寫成，

(2)這是個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式

,

(3)

即

上式是以為未知數(shù)的一元次方程，稱為方陣的特征方程．其左端是的次多項(xiàng)式，記作，稱為方陣的特征多項(xiàng)式．

==

=顯然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個(gè)數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），因此，階矩陣有個(gè)特征值．設(shè)階矩陣的特征值為由多項(xiàng)式的根與系數(shù)之間的關(guān)系，不難證明（?。áⅲ┤魹榈囊粋€(gè)特征值，則一定是方程的根,因此又稱特征根，若為方程的重根，則稱為的重特征根．方程的每一個(gè)非零解向量都是相應(yīng)于的特征向量，于是我們可以得到求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：計(jì)算的特征多項(xiàng)式；

第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值；

第三步：對于的每一個(gè)特征值，求出齊次線性方程組：

的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的屬于特征值的全部特征向量是

（其中是不全為零的任意實(shí)數(shù)）．例1求的特征值和特征向量.解

的特征多項(xiàng)式為=所以的特征值為

當(dāng)=2時(shí)，解齊次線性方程組得解得令=1，則其基礎(chǔ)解系為：=因此，屬于=2的全部特征向量為：.當(dāng)=4時(shí)，解齊次線性方程組得令=1，則其基礎(chǔ)解系為：因此的屬于=4的全部特征向量為[注]：若是的屬于的特征向量，則也是對應(yīng)于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一確定．反之，不同特征值對應(yīng)的特征向量不會相等，亦即一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值.

例2求矩陣

的特征值和特征向量.解的特征多項(xiàng)式為

==，所以的特征值為==2（二重根），.對于==2，解齊次線性方程組．由

，得基礎(chǔ)解系為：

因此，屬于==2的全部特征向量為：不同時(shí)為零.對于，解齊次線性方程組．由

，

得基礎(chǔ)解系為：因此，屬于的全部特征向量為：由以上討論可知，對于方陣的每一個(gè)特征值，我們都可以求出其全部的特征向量．但對于屬于不同特征值的特征向量，它們之間存在什么關(guān)系呢？這一問題的討論在對角化理論中有很重要的作用．對此我們給出以下結(jié)論：

定理1屬于不同特征值的特征向量一定線性無關(guān).證明設(shè)是矩陣的不同特征值，而分別是屬于的特征向量，要證是線性無關(guān)的.我們對特征值的個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí),由于特征向量不為零,所以結(jié)論顯然成立.當(dāng)＞1時(shí),假設(shè)時(shí)結(jié)論成立.由于是的不同特征值,而是屬于的特征向量,因此

如果存在一組實(shí)數(shù)使

(3)則上式兩邊乘以得

(4)另一方面,

,即

(5)(4)－(5)有

由歸納假設(shè),

線性無關(guān),因此

而互不相同,所以．于是(3)式變?yōu)?因,于是．可見線性無關(guān)．課后作業(yè)：習(xí)題五５－12

§２

相似矩陣

定義2

設(shè)、都是階方陣，若存在滿秩矩陣，使得

則稱與相似，記作，且滿秩矩陣稱為將變?yōu)榈南嗨谱儞Q矩陣．“相似”是矩陣間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有如下性質(zhì)：⑴反身性：～；⑵對稱性：若～，則～；⑶傳遞性：若～，～，則～．

相似矩陣還具有下列性質(zhì)：

定理2

相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值.證明設(shè)～，則存在滿秩矩陣，使于是

推論

若階矩陣與對角矩陣

相似，則即是的個(gè)特征值．定理3設(shè)是矩陣的屬于特征值的特征向量,且~,即存在滿秩矩陣使,則是矩陣的屬于的特征向量．證明

因是矩陣的屬于特征值的特征向量，則有

于是

所以是矩陣的屬于的特征向量．下面我們要討論的主要問題是：對階矩陣，尋求相似變換矩陣，使為對角矩陣，這就稱為把方陣對角化．定理4階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是：矩陣有個(gè)線性無關(guān)的分別屬于特征值的特征向量（中可以有相同的值）．證明必要性

設(shè)與對角矩陣相似，則存在滿秩矩陣，使

=設(shè)則由上式得

即

，因此

所以是的特征值，是的屬于的特征向量，又因是滿秩的，故

線性無關(guān).

充分性

如果有個(gè)線性無關(guān)的分別屬于特征值的特征向量，則有

設(shè)則是滿秩的，于是

，即

=[注]：由定理4，一個(gè)階方陣能否與一個(gè)階對角矩陣相似，關(guān)鍵在于它是否有個(gè)線性無關(guān)的特征向量．（1）如果一個(gè)階方陣有個(gè)不同的特征值，則由定理1可知，它一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此該矩陣一定相似于一個(gè)對角矩陣．.（2）如果一個(gè)階方陣有個(gè)特征值（其中有重復(fù)的），則我們可分別求出屬于每個(gè)特征值的基礎(chǔ)解系，如果每個(gè)重特征值的基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則該矩陣與一個(gè)對角矩陣相似.否則該矩陣不與一個(gè)對角矩陣相似．可見，如果一個(gè)階方陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則該矩陣與一個(gè)階對角矩陣相似，并且以這個(gè)線性無關(guān)的特征向量作為列向量構(gòu)成的滿秩矩陣，使為對角矩陣，而對角線上的元素就是這些特征向量順序?qū)?yīng)的特征值．

例3設(shè)矩陣，求一個(gè)滿秩矩陣，使為對角矩陣．解

的特征多項(xiàng)式為

所以的特征值為.對于解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，即為的兩個(gè)特征向量對于=2，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系

，即為的一個(gè)特征向量.

顯然是線性無關(guān)的，取

，即有

.例4

設(shè)

，考慮是否相似于對角矩陣．解

所以的特征值為.對于解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系即為一個(gè)特征向量，對于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，即為的另一個(gè)特征向量.

由于只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此不能相似于一個(gè)對角矩陣．課后作業(yè)：習(xí)題五13－16

§３

向量組的正交性

在解析幾何中，二維、三維向量的長度以及夾角等度量性質(zhì)都可以用向量的內(nèi)積來表示，現(xiàn)在我們把內(nèi)積推廣到維向量中．定義3

設(shè)有維向量，，令

=，則稱為向量和的內(nèi)積．[注]：內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，若用矩陣形式表示，當(dāng)和是行向量時(shí)，＝，當(dāng)和都是列向量時(shí)，＝．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中為維向量，為常數(shù)）：（1）=；（2）=；（3）=+；（4），當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)等號成立．定義4

令

||=稱||為維向量的模（或長度）．

向量的模具有如下性質(zhì)：（1）當(dāng)≠0時(shí)，||＞0；當(dāng)=0時(shí)，||=0；（2）||=||||，（為實(shí)數(shù)）；（3）||≤||||；（4）|≤||+||；特別地，當(dāng)||=1時(shí)，稱為單位向量.如果||≠0，由性質(zhì)（2），向量是一個(gè)單位向量．可見，用向量的模去除向量，可得到一個(gè)與同向的單位向量，我們稱這一運(yùn)算為向量的單位化，或標(biāo)準(zhǔn)化．

如果、都為非零向量，由性質(zhì)（3）

≤1，于是有下述定義：定義5

當(dāng)||≠0，||≠0時(shí)

稱為維向量、的夾角．特別地：當(dāng)=0時(shí)，，因此有定義

當(dāng)=0時(shí)，稱向量與正交．（顯然，若=0，則與任何向量都正交）．向量的正交性可推廣到多個(gè)向量的情形.定義6

已知個(gè)非零向量，若=0，則稱為正交向量組．定義7若向量組為正交向量組，且||=1，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．例如，維單位向量組=，，是正交向量組．正交向量組有下述重要性質(zhì)：定理5

正交向量組是線性無關(guān)的向量組．定理的逆命題一般不成立，但是任一線性無關(guān)的向量組總可以通過如下所述的正交化過程，構(gòu)成正交化向量組，進(jìn)而通過單位化，構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．定理6設(shè)向量組線性無關(guān)，由此可作出含有個(gè)向量的正交向量組，其中，

，

，

……

.再取

則為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．上述從線性無關(guān)向量組導(dǎo)出正交向量組的過程稱為施密特（Schimidt）正交化過程．它不僅滿足與等價(jià)，還滿足：對任何，向量組與等價(jià)．例5

把向量組=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．解容易驗(yàn)證，，是線性無關(guān)的.將，，正交化，令=，=，再把單位化

，

則即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．定理7若是維正交向量組，，則必有維非零向量，使，成為正交向量組．推論

含有個(gè)（）向量的維正交（或標(biāo)準(zhǔn)正交）向量組，總可以添加個(gè)維非零向量，構(gòu)成含有個(gè)向量的維正交向量組．例6已知，求一組非零向量，使，，成為正交向量組.解

應(yīng)滿足方程=0，即

.它的基礎(chǔ)解系為

把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求．亦即取

其中于是得

定義8如果階矩陣滿足（即），那么稱為正交矩陣．正交矩陣具有如下性質(zhì)：（1）矩陣為正交矩陣的充分必要條件是；（2）正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣；（3）兩個(gè)正交矩陣的乘積仍是正交矩陣；（4）正交矩陣是滿秩的，且|=1或．

由等式

可知，正交矩陣的元素滿足關(guān)系式

（其中）可見正交矩陣任意不同兩行（列）對應(yīng)元素乘積之和為0，同一行（列）元素的平方和為1，因此正交矩陣的行（列）所構(gòu)成的向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，反之亦然．于是有

定理8

一個(gè)階矩陣為正交矩陣的充分必要條件是它的行（或列）向量組是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．課后作業(yè)：習(xí)題五1－4

§４實(shí)對稱矩陣的相似對角化

在§２中，我們討論了相似矩陣的概念和性質(zhì)以及一般的階矩陣與對角矩陣相似的問題．本節(jié)將進(jìn)一步討論用正交變換化實(shí)對稱矩陣為對角矩陣的問題．為此首先給出下面幾個(gè)定理．定理9實(shí)對稱矩陣的特征值恒為實(shí)數(shù)．從而它的特征向量都可取為實(shí)向量．定理10實(shí)對稱矩陣的不同特征值的特征向量是正交的．證明設(shè)是實(shí)對稱矩陣的兩個(gè)不同的特征值，即．是分別屬于的特征向量，則

，根據(jù)內(nèi)積的性質(zhì)有

，又

所以

，因，故，即與正交.定理11設(shè)為階對稱矩陣，是的特征方程的重根，則矩陣的秩從而對應(yīng)特征值恰有個(gè)線性無關(guān)的特征向量．定理12設(shè)為階對稱矩陣，則必有正交矩陣，使，其中是以的個(gè)特征值為對角元素的對角矩陣．

例7設(shè)求一個(gè)正交矩陣，使為對角矩陣.解

，所以的特征值，.

對于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系

，因此屬于的標(biāo)準(zhǔn)特征向量為

.

對于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系

這兩個(gè)向量恰好正交，將其單位化即得兩個(gè)屬于的標(biāo)準(zhǔn)正交向量

，

.于是得正交矩陣

易驗(yàn)證

.

課后作業(yè)：習(xí)題五17

矩陣特征值和特征向量的幾何意義（---by小馬哥整理）從定義來理解特征向量的話，就是經(jīng)過一個(gè)矩陣變換后，空間沿著特征向量的方向上相當(dāng)于只發(fā)生了縮放，比如我們考慮下面的矩陣：(列向量特征值為：1λ=1.81，2λ=0.69注意，這里U是正交矩陣，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)，我們有1TUU-=。用一個(gè)形象的例子來說明一下幾何意義，我們考慮下面笑臉圖案：圖1.1的變換，也就是用這個(gè)圖案中的每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)矩陣做乘法，得到下面圖案：圖1.1可以看到就是沿著兩個(gè)正交的，特征向量的方向進(jìn)行了縮放。根據(jù)特征向量的定義，我們知道1UAU-=Λ，也即，TUAU=Λ，那么：TAUU=Λ假設(shè)我們把笑臉圖案也看作某一個(gè)矩陣C，那么，矩陣A*C，即把矩陣A作用于C，可以理解為：TUUCΛ我們從這個(gè)式子就可以看出來，A矩陣是從旋轉(zhuǎn)和沿軸縮放的角度來作用于C，分成三步：第一步，把特征向量所指的方向分別轉(zhuǎn)到橫軸和縱軸，這一步相當(dāng)于用U的轉(zhuǎn)置，也就是TU進(jìn)行了變換圖1.2第二步，然后把特征值作為縮放倍數(shù)，構(gòu)造一個(gè)縮放矩陣1.810.69??????，矩陣分別沿著橫軸和縱軸進(jìn)行縮放：圖1.3第三步，很自然地，接下來只要把這個(gè)圖案轉(zhuǎn)回去，也就是直接乘U就可以了圖1.4所以，從旋轉(zhuǎn)和縮放的角度，一個(gè)矩陣變換就是，旋轉(zhuǎn)-->沿坐標(biāo)軸縮放-->轉(zhuǎn)回來，的三步操作。多提一句，這里給的是個(gè)(半正定矩陣的例子，對于不鎮(zhèn)定的矩陣，也是能分解為，旋轉(zhuǎn)-->沿坐標(biāo)軸縮放-->旋轉(zhuǎn)，的三步的，只不過最后一步和第一步的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)不是轉(zhuǎn)回去的關(guān)系了，表達(dá)如下：TTUV=∑這個(gè)就是SVD分解，就不詳細(xì)說了。另外，這個(gè)例子是二維的，高維類似，但是形象理解需要腦補(bǔ)。西安理工大學(xué)學(xué)報(bào)

JOURNALOFXI'ANUNIVERSITYOFTECHNOLOGY

1999年第15卷第3期Vol.15No.31999三階實(shí)對稱矩陣特征值與特征向量的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)郭俊杰田世杰封定廖勇摘要：提出一種通用的關(guān)于求解一般三階實(shí)對稱矩陣特征值與特征向量的快速直接計(jì)算方法。首先使用高精度縮根法求出所給矩陣的特征方程，得到了3個(gè)特征根（包括重根）。其次運(yùn)用選主元與最小二乘法相結(jié)合的思想，獲得了實(shí)際運(yùn)用中較為理想的每個(gè)特征根所對應(yīng)的全部特征向量。

關(guān)鍵詞：特征值；特征向量；主元；最小二乘法

中圖分類號：TB931O241.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：ATheComputerMethodofEigenvaluesandEigenvectors

of3×3RealSymmetricMatricesGUOJun-jie，TIANShi-jie，F(xiàn)ENGDing,LIAOYong

(Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710048,China)Abstract：Thispapersuggestsacommoncomputationmethod,i.e.thesolutioneignvaluesandeigenvectorsof3×3realsymmetricmatrices.First,thecharacteristicequationofthematrixareobtainedbyusingthemethodofhighlyaccuratereducedrootsoastoachievethreeeigenvalues(includingheavyroot).Second,alltheeigenvectorsofeacheigenvaluewhicharemoreidealforthepurposeofaccuratescientificcomputationareobtainedbyusingthethoughtofcombiningofthepivotewiththemethodofminimumsquares.

Keywords:eigenvalue;eigenvector;pivot;methodofminimumsquares矩陣的特征值與特征向量是十分重要的概念。在理論上和實(shí)際中，例如在系統(tǒng)工程、物理、力學(xué)、機(jī)械工程、電子工程、經(jīng)濟(jì)管理、三坐標(biāo)幾何量測量等方面有著廣泛的應(yīng)用。但在計(jì)算機(jī)具體實(shí)現(xiàn)時(shí)很難求出所有的特征值和特征向量。即使能夠求出，其方法具有程序復(fù)雜、運(yùn)算量大、矩陣序列收斂慢、精度比較低等缺點(diǎn)。本文對三階實(shí)對稱矩陣特征方程采用高精度一元三次方程求根法，避免不必要的模型誤差和迭加誤差；運(yùn)用選主元解線性方程組和最小二乘法相結(jié)合的思想來求矩陣的特征向量，解決因特征值的微小誤差而引起的特征向量在理論上不存在的問題，減少舍入誤差而引起的誤差傳播，從而達(dá)到實(shí)際中所需要的理想結(jié)果。1特征方程求根在本文中記：為三階實(shí)對稱矩陣。矩陣A的特征方程為：λ3+b1λ2+c1λ+d1=0(1)其中，b1=-a11-a22-a33；c1=a11a22+a11a33+a22a33-a212-a213-a223；d1=-det(A)。

如果b1、c1、d1三數(shù)中有一個(gè)是較大的數(shù)，由于特征方程（1）求根需要多次乘、除、開方運(yùn)算以及三角函數(shù)運(yùn)算本身的誤差，勢必會造成很大的舍入誤差和累加誤差，從而大大地影響了特征根的精度。因此，我們首先采用了縮根法，即：令b=b1/M,c=c1/M2,d=d1/M3,使特征方程變成三次方程：x3+bx2+cx+d=0(2)且方程（2）的系數(shù)的絕對值不超過1。方程（2）的求根步驟如下。

1)取2)若D=0，則方程（2）有重根：3)若D＜0，則方程（2）有三個(gè)不等根：

其中，;q＞0時(shí)θ=π-α,q≤0時(shí)θ=α。然后通過放大根法可得特征方程（1）的特征根：λ1=Mx1λ2=Mx2λ3=Mx32求對應(yīng)特征值λ的特征向量首先取矩陣：為了后邊便于使用選主元的思想，令取：ρij=bi1bj1+bi2bj2+bi3bj3(i=1,2,3;j=1，2，3)1)若λ為特征單根。在用高斯消元法解線性方程組時(shí)，由于小主元的出現(xiàn)，用它作除數(shù)會帶入大的舍入誤差，再經(jīng)傳播，誤差會變得更大，從而嚴(yán)重失真。在求解特征向量時(shí)也會出現(xiàn)類似情況。為此，我們首先采用了選最大模的思想，具體做法如下。

首先求：ρhh=max｛ρ11，ρ22,ρ33｝（3）然后，將第1列與第h列對換（當(dāng)h＞1時(shí)），為方便起見，對換后的矩陣仍記為B。

其次，對矩陣B第1、k兩列之間的線性相關(guān)性，可用如下所謂的“相關(guān)度”來判別：S(k)=(b11b2k-b21b1k)2+(b11b3k-b31b1k)2+(b21b3k-b31b2k)2(k=2，3)最后，考慮到特征值λ可能為無理數(shù)或者無窮循環(huán)小數(shù)，以及特征值λ在計(jì)算過程中出現(xiàn)的微小誤差，使得對應(yīng)特征向量從理論上講是不存在的。為此，我們采用最小二乘法，其算法如下。

a.若S(2)≥S(3)，即B的第1、2兩列“線性相關(guān)性度”較差，可選Z=1，以下需求可能無解的方程組：采用最小二乘法求解，方法如下：

非零解向量為η=(x,y,1)。

b.S(3)＞S(2)，即B的第1、3兩列“線性相關(guān)性度”較差，可選y=1，以下需求可能無解的方程組：采用最小二乘法求解，方法如下：

非零解向量為η=(x,1,z)。

最后將向量η的第1、h兩元素對換，從而得到特征值λ的特征向量。

2）若λ為特征二重根。首先，采用選最大模的思想，即通過公式（3）算出ρhh。然后，再將矩陣B的第1、h兩行對換，為方便起見，對換后的矩陣仍記為B。其次，對矩陣B第一行取最大元，即計(jì)算：b2tt=maxb211,b212,b213將其第一行向量中第1、t兩元素對換，對換后仍記為(b11b12b13)，并取：最后分別將向量η1、η2第1、t兩元素對換，可得B對應(yīng)二重根λ的兩線性無關(guān)的特征向量。

3)若λ為特征三重根，則B＝0，從而3個(gè)線性無關(guān)的特征向量為3個(gè)三維基向量。3程序模擬實(shí)例及誤差本文中所介紹的算法在BORLANDC環(huán)境下，用C語言進(jìn)行編程在286與386兼容機(jī)上調(diào)試得到通過，并獲得了理想的結(jié)果。程序流程框圖如圖1所示。圖1程序流程框圖程序模擬實(shí)例如下：1）矩陣A的特征根的精確值為，λ2=10，。對應(yīng)特征值λ1的特征向量真值為η1=(1,-2,-1)；對應(yīng)特征值λ2的特征向量真值為η2=(1，0，1)；對應(yīng)特征值λ3的特征向量真值為。

2）對矩陣A，用該算法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算，所求特征根結(jié)果為：98.9897948556635619.999999999999966對應(yīng)上述三特征值對應(yīng)的特征向量分別為：1.00000000000000000000.44948974278317804800.9999999999999998890

1.00000000000000000000.00000000000000000001.0000000000000000000

-0.22474487139159032801.00000000000000000000.22474487139158780303）誤差。通過上述兩組數(shù)據(jù)可以看出，每一特征值的誤差不超過10-13;而每一特征向量的分量誤差最大不超過10-14。鑒于篇幅，我們對特征重根問題及其它計(jì)算實(shí)例不再贅述。作者簡介：郭俊杰(1950-)，男，西安理工大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師。作者單位：西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安710048參考文獻(xiàn)［1］PullmanNJ.MatrixTheoryandItsplication［M］.NewYorkandBasel:MARCHELDEKKER，1976.

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［6］WilkinsonJH.TheAlgebraicEigenvalueProblemClarendonPress，Oxford，1965.570～572.收稿日期：1998-07-13矩陣特征與特征向量的計(jì)算3.1引言 在科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域中，許多問題都?xì)w為求解一個(gè)特征系統(tǒng)。如動力學(xué)系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的振動問題，求系統(tǒng)的頻率與振型；物理學(xué)中的某些臨界值的確定等等。 設(shè)A為n階方陣，，若，有數(shù)l使 Ax=lx （5.1）則稱l為A的特征值，x為相應(yīng)于l的特征向量。因此，特征問題的求解包括兩方面： 1．求特征值l，滿足 （5.2） 2．求特征向量，滿足齊方程組 （5.3） 稱j（l）為A的特征多項(xiàng)式，它是關(guān)于l的n次代數(shù)方程。 關(guān)于矩陣的特征值，有下列代數(shù)理論， 定義1設(shè)矩陣A,B?Rn′n，若有可逆陣P，使 則稱A與B相似。 定理1若矩陣A,B?Rn′n且相似，則 （1）A與B的特征值完全相同； （2）若x是B的特征向量，則Px便為A的特征向量。 定理2設(shè)A?Rn′n具有完全的特征向量系，即存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成Rn的一組基底，則經(jīng)相似變換可化A為對角陣，即有可逆陣P，使 其中l(wèi)i為A的特征值，P的各列為相應(yīng)于li的特征向量。 定理3A?Rn′n，l1,…,ln為 （1）A的跡數(shù)等于特征值之積，即 （2）A的行列式值等于全體特征值之積，即 定理4設(shè)A?Rn′n為對稱矩陣，其特征值l1≥l2≥…≥ln，則 （1）對任A?Rn，x≠0， （2） （3） 定理5（Gerschgorin圓盤定理）設(shè)A?Rn′n，則 （1）A的每一個(gè)特征值必屬于下述某個(gè)圓盤之中， （5.4）（5.4）式表示以aii為中心，以半徑為的復(fù)平面上的n個(gè)圓盤。 （2）如果矩陣A的m個(gè)圓盤組成的并集S（連通的）與其余n–m個(gè)圓盤不連接，則S內(nèi)恰包含m個(gè)A的特征值。 定理4及定理5給出了矩陣特征值的估計(jì)方法及界。 例1設(shè)有 估計(jì)A的特征值的范圍。 解由圓盤定理，A的3個(gè)圓盤為圖5.1D1:D2:D3:見圖5.1。 D2為弧立圓盤且包含A的一個(gè)實(shí)特征值1（因?yàn)樘摳蓪Τ霈F(xiàn)的原理），則3≤1≤5。而2，3D1∪D2，則，即 3.2乘冪法與反冪法 在實(shí)際工程應(yīng)用中，如大型結(jié)構(gòu)的振動系統(tǒng)中，往往要計(jì)算振動系統(tǒng)的最低頻率（或前幾個(gè)最低頻率）及相應(yīng)的振型，相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題便為求解矩陣的按模最大或前幾個(gè)按模最大特征值及相應(yīng)的特征向量問題，或稱為求主特征值問題。3.2.1 乘冪法是用于求大型稀疏矩陣的主特征值的迭代方法，其特點(diǎn)是公式簡單，易于上機(jī)實(shí)現(xiàn)。 乘冪法的計(jì)算公式為： 設(shè)A?Rn′n，取初始向量x(0)?Rn，令x(1)=Ax(0)，x(2)=Ax(1)，…，一般有 （5.5）形成迭代向量序列{x(k)}。由遞推公式（5.5），有 （5.6）這表明x(k)是用A的k次冪左乘x(0)得到的，因此稱此方法為乘冪法，（5.5）或（5.6）式稱為乘冪公式，{x(k)}稱為迭代序列。 下面分析乘冪過程，即討論當(dāng)k→∞時(shí)，{x(k)}與矩陣A的主特征值及相應(yīng)特征向量的關(guān)系。 設(shè)A=(aij)nn有完全的特征向量系，且1,2,…,n為A的n個(gè)特征值，滿足 v1,v2,…,vn為相應(yīng)的特征向量且線性無關(guān)，從而構(gòu)成Rn上的一組基底。 對任取初始向量x(0)Rn，可由這組基底展開表示為 （5.7）其中1,2,…,n為展開系數(shù)。將x(0)的展開式（5.7）代入乘冪公式（5.6）中，得 （5.8）利用 （5.8）式為 （5.9） （1）如果A有唯一的主特征值，即，設(shè)10，且由（5.9）式，有 其中，由于，故當(dāng)k充分大時(shí)，k0，此時(shí) （5.10） 對i=1,2,…,n，若(1v1)i0，考慮相鄰迭代向量的對應(yīng)分量比值， （5.11）即對i=1,…,n （5.12）這表明主特征值1可由（5.11）或（5.12）式得到。 由于迭代序列x(k)，當(dāng)k充分大時(shí)，（5.10）式成立，x(k)與v1只相差一個(gè)常數(shù)因子，故可取x(k)作為相應(yīng)于主特征值1的特征向量的近似值。 迭代序列x(k)的收斂速度取決于的大小。 （2）如果A的主特征值不唯一，且可分三種情況討論： a）1=2；b）1=-2；c） 情況a）當(dāng)1=2時(shí)，A的主特征值為二重根，根據(jù)（5.9）式 當(dāng)k充分小時(shí)，由于，j=3,…,n，k0，則 對i=1,2,…,n，如果，則 （主特征值）且x(k)收斂到相應(yīng)于1(=2)的特征向量的近似值。 這種重主特征值的情況，可推廣到A的r重主特征值的情況，即當(dāng) 且時(shí)，上述討論的結(jié)論仍然成立。 情況b）當(dāng)1=-2時(shí)，A的主特征值為相反數(shù)，（5.9）式為當(dāng)k充分大時(shí)，，j=3,4,…,n,k0，則 （5.13） 由于（5.13）式中出現(xiàn)因子(-1)k，則當(dāng)k變化時(shí)，x(k)出現(xiàn)振蕩、擺動現(xiàn)象，不收斂，利用(-1)k的特點(diǎn)，連續(xù)迭代兩步，得 從而，對i=1,2,…,n，若，則 （5.14）開方之后，便得到A的以上主特征值1,2=-1。 為計(jì)算相應(yīng)于1,2的特征向量，采取組合方式， （5.15） （5.16）可見分別為相應(yīng)于1與2的特征向量。情況c）當(dāng)時(shí)，A的主特征值為共軛復(fù)根。因A為實(shí)矩陣，，于是由 有 即（v1與v2為互為共軛向量）。 設(shè)，，對任取x(0)Rn，展開式（5.7）可為 （5.17）將（5.17）式代入（5.9）式， 同理，當(dāng)k充分大時(shí) （5.18） 對j=1,2,…,n，設(shè)復(fù)數(shù)表示 則（5.18）式的復(fù)數(shù)表示可為 連續(xù)迭代，得 （5.19） 利用三角函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及1、2的復(fù)數(shù)表示，不難驗(yàn)證。 令 （5.20）解方程（j=1,2,…,n） （5.21）求出p,q后，再解出主特征值1、2，得 （5.22） 同樣，采取組合方式求相應(yīng)于1、2的特征向量。由于 （5.23） （5.24）則可分別?。?.23）、(5.24）左端的組合表達(dá)式作為相應(yīng)于1、2的特征向量的近似值。 通過上述分析，有 定理6設(shè)ARnn有完全特征向量系，若1,2,…,n為A的n個(gè)特征值且滿足 對任取初始向量x(0)Rn，對乘冪公式 確定的迭代序列{xk}，有下述結(jié)論： （1）當(dāng)時(shí)，對i=1,2,…,n 收斂速度取決于的程度，r<<1收斂快，r1收斂慢，且x(k)（當(dāng)k充分大時(shí)）為相應(yīng)于1的特征向量的近似值。 （2）當(dāng)時(shí) a）若1=2，則主特征值1及相應(yīng)特征向量的求法同（1）； b）若1=-2，對i=1,2,…,n 收斂速度取決于的程度。向量、分別為主特征值1、2相應(yīng)的特征向量的近似值。 c）若，則連續(xù)迭代兩次，計(jì)算出x(k+1)，x(k+2)，然后對j=1,2,…,n解方程求出、后，由公式 解出主特征值1、2。此時(shí)收斂速度取決于的程度。向量、分別為相應(yīng)于1，2的特征向量的近似值。 從分析乘冪過程可見，乘冪法可用于求矩陣按模最大的一個(gè)（或幾個(gè)）特征值及相應(yīng)的特征向量，當(dāng)比值時(shí)，收斂速度快，r1時(shí)，收斂速度慢，且計(jì)算公式簡便，便于上機(jī)實(shí)現(xiàn)。分析中的假設(shè)、、…，在計(jì)算時(shí)可不用考慮，如果此條件不滿足，則可通過迭代誤差自行調(diào)整。 在用乘冪法求矩陣的主特征值1及對應(yīng)的特征向量時(shí)，迭代向量的分量可能會出現(xiàn)絕對值非常大的現(xiàn)象，從而造成計(jì)算中溢出的可能。為此，需對迭代向量x(k)進(jìn)行規(guī)范化。 令max(x)表示向量x分量中絕對值最大者。即如果有某i0，使 則 max(x)=xi 對任取初始向量x(0)，記 則 一般地，若已知x(k)，稱公式 （5.25）為規(guī)范化的乘冪法公式或改進(jìn)乘冪法公式，這里，乘冪迭代序列y(k)的分量絕對值最大者1。 類似前面的分析乘冪過程，有 定理7設(shè)ARnn具有完全特征向量系，1,2,…,n為A的n個(gè)特征值，且滿足 則對任初始向量x(0)，由規(guī)范化的乘冪法公式（5.25）確定的向量序列y(k)，x(k)滿足 （1） （5.26） （2）y(k)為相應(yīng)于主特征值1的特征向量近似值 （5.27） 例2用規(guī)范化乘冪法計(jì)算矩陣A的主特征值及相應(yīng)特征向量 解A的特征值1=6，2=3，3=2 取初始值x(0)=(1,1,1)T，用規(guī)范化乘冪法公式（5.25）計(jì)算 其它結(jié)果見表5.1（表中的向量均為轉(zhuǎn)置向量）。表5.1kmax(y(k))x(k)=y(k)/max(x(k))x(k+1)=Ay(k)01(1,1,1)(10,8,1)110(1,0.8,0.1)(7.2,5.4,-0.8)27.2(1,0.75,-0.111111)(6.5,4.75,-1.222222)36.57(1,0.730769,-0.203704)(6.230766,4.499997,-1.407408)46.230766(1,0.722222,-0.225880)(6.111108,4.388886,-1.1451767)56.111108(1,0.718182,-0.237561)(6.054548,4.336336,-1.475122)66.054548(1,0.716216,-0.243639)(6.027024,4.310808,-1.487278)76.027024(1,0.715247,-0.246768)(6.013458,4.298211,-1.483536)86.013458(1,0.714765,-0.248366)(6.00671,4.291945,-1.496732)96.00671(1,0.714525,-0.249177)(6.00335,4.28825,-1.496354)106.00335(1,0.714405,-0.249586)(6.00167,4.287265,-1.499172)116.00167(1,0.714345,-0.239792)(6.00083,4.286485,-1.499584)126.00083(1,0.714315,-0.249896)取max(x(12))=6.00083作為主特征值1的近似值，與真值1=6相比，有較好的近似程度，相應(yīng)于1的特征向量的近似值取為y(2)=(1,0.714315,-0.249896)T。3.2.2 當(dāng)i(i=1,2,…,n)為矩陣ARnn的n個(gè)特征值，且 時(shí)，乘冪法的收斂速度由決定，r<<1收斂得快。因此為提高收斂速度或改善r1的狀況，可以采取原點(diǎn)移位的方法，改變原矩陣A的狀態(tài)。 取0（常數(shù)），用矩陣B=A-0I來代替A進(jìn)行乘冪迭代。設(shè)i(i=1,2,…,n)為矩陣B的特征值，則B與A特征值之間應(yīng)有關(guān)系式： (i=1,2,…,n)且若vi是A相應(yīng)于i的特征向量，則vi亦是i的特征值，即對i=1,2,…,n 因此，對任取x(0)Rn，關(guān)于矩陣B的乘冪公式（5.6）可為 為加快收斂速度，適當(dāng)選擇參數(shù)0，使 （5.28）達(dá)到最小值。如當(dāng)i(i=1,2,…,n)為實(shí)數(shù)，且1>2≥…≥n時(shí)，取 則為(0)的極小值點(diǎn)。這時(shí) 原點(diǎn)移位法是一個(gè)矩陣變換過程，變換簡單且不破壞原矩陣的稀疏性。但由于預(yù)先不知道特征值的分布，所以應(yīng)用起來有一定困難