第四講近獨立粒子系平衡態(tài)三種統(tǒng)計法1精選課件ppt一、近獨粒子系統(tǒng)的粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述與量子描述的統(tǒng)一一個自由度為r的粒子,它的每一個量子態(tài)“占據(jù)”著μ空間中體積為hs的一個相胞,每個相胞對應(yīng)一個量子態(tài)。將經(jīng)典理論的子相空間按照量子態(tài)分區(qū),每一個Δμ的體積都取為多個hr,對應(yīng)一定數(shù)量的量子態(tài),經(jīng)典描述與量子描述統(tǒng)一起來?2精選課件ppt考慮自旋態(tài)基本粒子都有力學(xué)量—自旋,是基本粒子的一個固有屬性,與粒子運動狀態(tài)無關(guān)的內(nèi)稟屬性。自旋具有角動量性質(zhì),但與軌道角動量有所不同,自旋無經(jīng)典力學(xué)量對應(yīng)設(shè)一個粒子的自旋為S,意思就是指測量該粒子的自旋角動量沿一確定方向(如外磁場方向)z的分量Sz只能取下列的值自旋共有2S+1個可能的量子態(tài),ms稱為自旋量子數(shù),自旋用一個量子數(shù)ms表征,故自由度為1。

S只能取正整數(shù)(包括0)或者正的半奇數(shù)3精選課件ppt能級Δμj與簡并度ωl可以按照能級劃分Δμ任務(wù)：求平衡態(tài)下各個能級上的粒子數(shù)al已知：能級簡并度ωl個量子態(tài)內(nèi)平均分配4精選課件ppt三維平動子能級劃分--dε5精選課件ppt三維平動子量子態(tài)數(shù)

能量0～ε范圍內(nèi)的總量子態(tài)數(shù)為上式橢球第一象限的體積

括號內(nèi)正好就是位置空間體積為V、動量空間為0～p范圍內(nèi)的子相空間體積

6精選課件ppt平動運動的能級簡并度/(2S+1)dε能量間隔內(nèi)的ωldp動量間隔內(nèi)的ωl(6.2.17)(6.2.16)dxdydzdpxdpydpz相空間體元內(nèi)的ωl？熟練掌握7精選課件ppt在經(jīng)典描述中,根據(jù)上一講的表述,系統(tǒng)宏觀分布以Δμj表示子相宇體元，εj(j＝l，2，…)表示粒子在子相宇體元Δμj中的能量,N個粒子在各Δμj的分布可以描述如下：子相宇體元Δμ1，Δμ2，…，Δμj…能級ε1，ε2，…εj，…粒子數(shù)a1，a2，…，aj…在量子描述下,上述的描述將變換為：設(shè)有一個系統(tǒng),由大量全同近獨立的粒子組成,以εl(l＝l，2，…)表示粒子的能級,ωl表示能級εl的簡并度。N個粒子在各能級的分布可以描述如下：能級ε1，ε2，…εl，…簡并度ω1，ω2，…，ωl…粒子數(shù)a1，a2，…，al…即能級ε1上有al個粒子,能級ε2上有a2個粒子,…,能級εl上有al個粒子,…。為了書寫方便起見,以符號{al}表示數(shù)列a1,a2,…,al，…,稱為一個分布。8精選課件ppt二、獨立分子的能級的特征雙原子分子,運動可近似分解成平動(t)、轉(zhuǎn)動(r)、振動(v)、自旋(ms)、電子運動(e)及其核運動(n)等獨立部分分子的量子態(tài)可以由一組完備的量子數(shù){n}表征,這組量子數(shù)的數(shù)目就等于分子的自由度

如果我們不考慮電子及核的運動,則分子中的原子看作圓球,原子間的化學(xué)鍵相當(dāng)于彈簧。

有點規(guī)律嗎？9精選課件ppt三種基本運動的比較三維平動子能級剛性轉(zhuǎn)子能級諧振子能級1.平動子能級間隔遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)動能級間隔10精選課件ppt2.引入分子轉(zhuǎn)動特征溫度當(dāng)T>>Tr,能級可以看作連續(xù)異核分子Tr/K同核分子Tr/KHD64.0H287.5HF30.3D242.7HCl15.2N22.86HBr12.1O22.07HI9.0Cl20.346CO2.77Br20.116NO2.42I20.05411精選課件ppt3.引入分子振動特征溫度T>>Tν很難滿足,能級不可以看作連續(xù)分子Tν/K分子Tν/KH26210HI3200N23340Cl2810O22230Br2470CO3070I2310NO2690BrCl747HCl4140ICl553HBr370012精選課件ppt不同運動形式的表現(xiàn)分析平動轉(zhuǎn)動振動13精選課件ppt上面討論單粒子量子特性,對多粒子系統(tǒng)還要考慮：微觀粒子的全同性原理：任何2個全同粒子的交換不產(chǎn)生新的量子態(tài)。以及由此得到的Pauli原理占據(jù)同一單粒子量子態(tài)的費米子不可能超過一個。三、交換對稱性對多粒子體系的影響14精選課件ppt量子粒子具有不同的交換特性需要考慮量子粒子不能編號區(qū)分；量子力學(xué)中每個狀態(tài)中的粒子數(shù)有沒有限制近獨粒子系分為三類：玻色、費米、定域子系統(tǒng)玻色子不可分辨,粒子交換不是新的微觀態(tài),同一量子態(tài)上粒子數(shù)不受限制費米子不可分辨,粒子交換不是新的微觀態(tài),但同一量子態(tài)上粒子數(shù)不超過一個定域子粒子可分辨,粒子交換是新的微觀態(tài),同一量子態(tài)上粒子數(shù)不受限制15精選課件ppt全同多粒子體系的交換對稱性與微觀粒子的全同性原理同一類型的粒子(電子、質(zhì)子、中子、光子、π介子以及原子、分子等)具有完全相同的內(nèi)稟客觀屬性(靜質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等)微觀粒子的全同性原理或全同粒子的不可分辨性：“任何2個全同粒子的交換不產(chǎn)生新的量子態(tài)?！边@個原理對全同多粒子體系的波函數(shù)的形式加以了很強的限制,波函數(shù)不僅要滿足薛定諤方程,而且還應(yīng)該滿足這個全同性原理。16精選課件ppt實驗表明,全同粒子系的波函數(shù)的交換對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系凡是自旋為整數(shù)倍的粒子(即S=0,1,2,3,…),波函數(shù)對于交換兩粒子是對稱的,此類粒子稱為玻色子(Boson)。凡是自旋為半奇數(shù)倍的粒子(即S=1/2,3/2,…),波函數(shù)對于交換兩粒子是反對稱的,此類粒子稱為費米子(fermion)。光子(S=1)、π介子(S=0)、K介子(S=1)是玻色子,而電子(S=1/2)、質(zhì)子(S=1/2)、中子(S=1/2)、μ介子(S=1/2)、各種超子(S=1/2)是費米子17精選課件ppt由“基本”粒子組成的復(fù)雜粒子,如原子核、原子、分子等,若我們把它們當(dāng)做不再分解的單元,也就是說在所討論的問題或過程中其內(nèi)部狀態(tài)保持不變,這時可以將它們作為一個整體當(dāng)成一類全同粒子看待。凡是由奇數(shù)個費米子組成的粒子仍為費米子，其自旋為的半奇數(shù)倍，波函數(shù)是反對稱的。凡是由玻色子組成的粒子仍為玻色子，其自旋為的整數(shù)倍，波函數(shù)是對稱的。凡是由偶數(shù)個費米子組成的粒子則為玻色子，其自旋為的整數(shù)倍，波函數(shù)是對稱的。18精選課件ppt費米子與玻色子依據(jù)費米子體系的波函數(shù)的反對稱性，可以得出著名的Pauli原理“不能有2個或2個以上的全同費米子處在同一單粒子態(tài)”。玻色子不遵守Pauli原理，即可以有任意多個玻色子處在相同的單粒子態(tài)。19精選課件ppt關(guān)于定域子的特別提示定域子系統(tǒng)的粒子是可分辨的。定域子系統(tǒng)的粒子可以用粒子的位置加以分辨，例如晶體中的原子、分子或離子在點陣上作微小振動，粒子可以位置編號分辨。在量子力學(xué)中,若兩粒子的波函數(shù)不重疊時粒子可分辨(即無共同運動的區(qū)域)；當(dāng)有重疊區(qū)域時粒子則不可分辨。定域子勢壘無限大,波函數(shù)不重疊,故可分辨。20精選課件ppt量子力學(xué)中的全同性原理基點(1)同類粒子之間的內(nèi)稟屬性的差別是觀察不到的,如果一旦可以觀察到差別,該原理便破產(chǎn)。(2)當(dāng)粒子的波函數(shù)不重疊時,在某一空間區(qū)域只有找到特定粒子的概率,其它粒子在該區(qū)域不出現(xiàn),這時不存在全同性原理,粒子可分辨。定域子體系中粒子的波函數(shù)不重疊,可用位置對粒子加以編號,此時全同粒子也可分辨,因而任何兩個全同粒子交換將產(chǎn)生新的量子態(tài),定域子體系不存在Pauli原理。21精選課件ppt量子粒子的交換特性帶來三種分布考慮量子粒子的分布,粒子分為三類：玻色、費米、定域子玻色子不可分辨,粒子交換不是新的微觀態(tài),同一量子態(tài)上粒子數(shù)不受限制,遵守Bose-Einstein統(tǒng)計。費米子不可分辨,粒子交換不是新的微觀態(tài),但同一量子態(tài)上粒子數(shù)不超過一個,遵守Fermi-Dirac統(tǒng)計定域子粒子可分辨,粒子交換是新的微觀態(tài),同一量子態(tài)上粒子數(shù)不受限制,遵守MB統(tǒng)計22精選課件ppt四、一個簡單的例子說明定域子、玻色子、費米子組成的體系在微觀狀態(tài)上的區(qū)別設(shè)體系由兩個粒子組成，粒子的個體量子態(tài)有三個，假設(shè)這兩個粒子分別為定域子、玻色子、費米子，討論體系各有多少個可能的微觀狀態(tài)。暫時不考慮總能量限制,只考慮微觀態(tài)數(shù)的不同23精選課件ppt玻耳茲曼系統(tǒng)微觀態(tài)編號個體量子態(tài)1個體量子態(tài)2個體量子態(tài)31AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA24精選課件ppt玻色系統(tǒng)微觀態(tài)編號個體量子態(tài)1個體量子態(tài)2個體量子態(tài)31AA2AA3AA4AA5AA6AA25精選課件ppt費米系統(tǒng)微觀態(tài)編號個體量子態(tài)1個體量子態(tài)2個體量子態(tài)31AA2AA3AA26精選課件ppt五、量子統(tǒng)計在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)稱為經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué),在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)稱為量子統(tǒng)計物理學(xué)。兩者在統(tǒng)計原理上是相同的但系統(tǒng)微觀粒子的運動滿足量子力學(xué)規(guī)律,會對平衡態(tài)統(tǒng)計產(chǎn)生深刻的影響：1、量子態(tài)與相空間體積之間的對應(yīng)關(guān)系2、交換對稱性27精選課件ppt量子統(tǒng)計原理對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的最概然分布：微觀狀態(tài)狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大求宏觀分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)，求極值有三種微觀狀態(tài)數(shù)對應(yīng)三種分布28精選課件ppt1、量子態(tài)與相空間體積之間的對應(yīng)關(guān)系對于一個自由度為s的粒子,它的μ空間中大小為hs的相體積(稱為相胞或相格)對應(yīng)一個量子態(tài),或者說每一個量子態(tài)“占據(jù)”著μ空間中體積為hs的一個相胞,每個相胞對應(yīng)一個量子態(tài)。注意：這里的量子態(tài)不包含自旋,因為相空間中沒有自旋自由度。29精選課件ppt三種統(tǒng)計問題從形式上是統(tǒng)一的{aj}設(shè)一個系統(tǒng),由大量全同近獨立的粒子組成,具有確定的粒子數(shù)N、能量E和體積V。以εj(j＝l，2，…)表示粒子的能級,ωj表示能級εj的簡并度。N個粒子在各能級的分布可以描述如下：能級ε1，ε2，…εj，…簡并度ω1，ω2，…，ωj…粒子數(shù)a1，a2，…，aj…對于具有確定的N、E、V的系統(tǒng),分布{aj}必須滿足條件：30精選課件ppt2、宏觀狀態(tài){al}對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)能級ε1，ε2，…εl，…簡并度ω1，ω2，…，ωl…粒子數(shù)a1，a2，…，al…分布{al}所對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)想象：每層樓的高度是ε,房間數(shù)是ω,求a個人的房間分配方法31精選課件ppt三種粒子的微觀狀態(tài)數(shù)不同MB分布,粒子可分辨,粒子交換是新的微觀態(tài)FD分布,不可分辨的費米子,遵守Pauli不相容原理BE分布,不可分辨的玻色子,不受Pauli不相容原理的限制不同交換對稱性導(dǎo)出分布{aj}的不同微觀態(tài)數(shù)32精選課件ppt求微觀態(tài)數(shù)的基本原則{al}描述的是系統(tǒng)的一個宏觀態(tài)但是在分布{al}已確定的前提下還可有不同的微觀狀態(tài)如果粒子可分辨，兩個不同的能級間交換一對粒子，屬于不同的微觀態(tài)。如果粒子不可分辨，兩能級間交換粒子屬于同一微觀態(tài)al個粒子分配到ωl個量子態(tài)上，可以有不同的分配方式，對應(yīng)于不同的微觀狀態(tài)。

33精選課件ppt(1)粒子可分辨，每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制----定域子

由于粒子可分辨,交換粒子便給出體系的不同微觀狀態(tài)。在{al}已確定的前提下,

把總數(shù)N個粒子放到各個能級中,第l個能級上有al個粒子的放置數(shù)為

多組組合：把N個不同的元素分成n組，第l組有al個不同的元素，即a1+a2+…+an=N34精選課件ppt能級內(nèi)的粒子重新分配對粒子可加以編號,al個編號的粒子占據(jù)其能級εl上ωl個量子態(tài)時,第一個粒子可以占據(jù)ωl個量子態(tài)中的任何一態(tài),有ωl種可能的占據(jù)方式。由于一個量子態(tài)能夠容納的粒子數(shù)不受限制,第二個粒子仍然有ωl種可能的占據(jù)方式,…。al個編了號的粒子占據(jù)ωl個量子態(tài)將共有種可能的占據(jù)方式。

a1，a2，…al，…個編了號的粒子分別占據(jù)ε1，ε2，…εl，…上各量子態(tài)就共有種方式35精選課件ppt宏觀狀態(tài){al}所對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)

上標(biāo)MB表示麥克斯韋--玻爾茲曼統(tǒng)計

定域子：粒子可分辨,每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制36精選課件ppt(2)粒子不可分辨，每個量子態(tài)上最多只能有一個粒子---費米子費米子數(shù)al不能大于量子態(tài)數(shù)ωl，即al≤ωlal個不可分辨的費米子占據(jù)能級εl上的ωl個量子態(tài),而且每個量子態(tài)最多只能容納一個粒子先假設(shè)εl能級上的al個粒子可以分辨，求其放置的方式數(shù)第1個粒子可以有ωl種放法第2個粒子可以有ωl

-1種放法……第al個粒子可以有ωl

-(al-1)種放法得總放置方式數(shù)為ωl(ωl-1)(ωl-2)…[ωl-(al-1)]=ωl!/(ωl

-al)!37精選課件ppt粒子不可分辨由于粒子不可分辨，在εl能級上的al個粒子，任何兩個粒子交換不會產(chǎn)生新的放法，因此每al!種才有一種放法，故上式應(yīng)除以al!。這樣便得到al個費米子占據(jù)能級εl上的ωl個量子態(tài)的可能方式數(shù)為38精選課件ppt考慮所有的能級所有的能級都有上式的分配數(shù)，因此，宏觀分布{al}所對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)上標(biāo)FD表示為費米狄拉克統(tǒng)計39精選課件ppt（3）粒子不可分辨，每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制---玻色子先計算al個相同的球放在ωl個盒子里面去，每個盒子里的球沒有限制，盒子之間有區(qū)別而球之間沒有區(qū)別，問有多少種不同的放法？把球和盒子混合排列成一行，而且使左方第一個必須是盒子①ОО②О③④ООО⑤ОООО上圖是5個盒子，10個球，盒子用數(shù)字標(biāo)號因為這些盒子是有區(qū)別的（不同量子態(tài)）。這種排法中的任何一個就代表一種把球放進盒子的方法，凡是排在兩個盒子之間的球都認(rèn)為放進左邊那個盒子里。40精選課件ppt最左方固定為一個盒子（不參與排列），那么其余的盒子和球的總排列數(shù)就等于(al+ωl

-1)!其中al個球的相互交換數(shù)為al!應(yīng)除去。ωl

-1個盒子的相互交換數(shù)為(ωl

-1)!也應(yīng)當(dāng)除去，因為盒子本來就不需要進行排列。這樣便可得到al個粒子占據(jù)能級εl上的ωl個量子態(tài)的可能方式數(shù)為上標(biāo)BE表示為玻色愛因斯坦統(tǒng)計41精選課件ppt3、當(dāng)任一能級εl上的粒子數(shù)均遠(yuǎn)小于該能級的量子態(tài)數(shù)稱為經(jīng)典極限條件，也稱非簡并性條件

42精選課件ppt宏觀狀態(tài){al}所對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)

上標(biāo)MB表示麥克斯韋--玻爾茲曼統(tǒng)計

粒子可分辨,每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制六、MB最概然分布比較43精選課件ppt離散情形下的MB分布平衡態(tài)時能級εl上的粒子數(shù)為(ωl為該能級的簡并度)式中N是系統(tǒng)總粒子數(shù)，Z為配分函數(shù)，再由等概率原理可得能量為εl的單粒子態(tài)上的粒子數(shù)44精選課件ppt七、FD分布即

45精選課件ppt結(jié)合粒子數(shù)守恒和能量守恒46精選課件ppt拉格朗日未定乘子法對任意δal成立費米-狄拉克分布，簡寫為FD分布47精選課件ppt三種統(tǒng)計能量εl的單粒子態(tài)上的粒子數(shù)

48精選課件ppt八、平動運動從FD和BE到MB分布的過渡時,FD和BE分布都近似可用MB分布表示上式相當(dāng)于當(dāng)每個單粒子態(tài)被占據(jù)的概率很小時,MB分布適用

經(jīng)典極限條件或非簡并條件49精選課件ppt回顧:當(dāng)任一能級εl上的粒子數(shù)均遠(yuǎn)小于該能級的量子態(tài)數(shù)稱為經(jīng)典極限條件，也稱非簡并性條件

50精選課件ppt因εl＞0,eε/kT＞1;且通常ε1/kT<<1,eε1/kT＞≈1因此,為使對所有εl(l=1,2,…)而言上式都成立,就要求在這條件下MB分布式適用，需要求出ωl51精選課件ppt能量0～ε范圍內(nèi)的總量子態(tài)