高等數(shù)學(xué)考研筆記（輔導(dǎo)班資料）第一講極限、無窮小與連續(xù)性1.極限的概念與性質(zhì)極限的重要性質(zhì)I（1）不等式性質(zhì)（保序性質(zhì)）設(shè)覘"以現(xiàn)乂=81）若0W祁>井時朝j>K2）若孫用aM時外之乂=RAB|注意-｛】）上二、2書幾二】K〔月一L工艮…）（2）三、入壇，此土目：；.￡如：I二二>%二二，bu兀=i：i乂.用"吧/J+rij，u工~4+0&推論31m幻二n1）若4/-ij=32/re/-2/時三>0.2席雙/>y的/之o=心o.推論近仆二%上>：：:a<cNT4R&二于二&）H時色E工二FI對函數(shù)情形有類似防設(shè)Inn/（.C=A,Lnig（a）=￡,-1）若WaS二七廣"i,當(dāng)1?二--4<5Bt/W>￡W2）若三"。，當(dāng)〔Y工-為<6時/（行之以1^A>B.1(2)有界性與局部有界性I設(shè)三極限lim及=4(又稱再收斂)=有界(即弘5=123,???)).——府極限的數(shù)列一定箭I設(shè)m極限lim/(x)=A則/㈤在二=麗的某空心鄰域有界(即m3>0,赫>0,當(dāng)。<〈一所/4時［/(外歸加)一有極限函數(shù)的局部有界性I例.下列論斷是否正確：設(shè)/O)定義于(風(fēng)方)，ce(白力)，又三極限吧/(力=」4.=武力在g?)有域f分析?%只黑保證/")在兀=r的某空心鄰域有界，不能保證武融|在鹵有界TOC\o"1-5"\h\z如/S)=-,若S6)=(0,1)ce(0,1)lim=L但/(X)在(0,1)無界.X X*C例：下列命題中正確的是(A)若lim/(x)>limg(x)=三3>0,當(dāng)0<卜一/|<5時有/(用Ng⑶KTZq XT(B)若35>0,使得當(dāng)0<才一仆|《日時/(丁)>g(?目而f(x)=AOilitng(x)=50XTX& *一4均三=4>為(C)若三』>0,當(dāng)。<卜一曲|<1時/(均>g(x)=lim/。)之hmg。)XTX& XT砧(D)若扁/(x)>limg⑺n皿》0,當(dāng)0<|lx-x0|<J時有了⑺>g(x).分析.(D)??正確-極限不等式性質(zhì)中的結(jié)論。X-由血/(x)=limg(x),不能判斷在x0附近與g(x)的大小關(guān)系 上3 X-只能得4俳品X-lim/w,limg(x)可能不存在.2.求極限的四則運算法則與幕指數(shù)運算法則.兩個極限均三的情形|設(shè)lim/0)二Alimg(x)=3nJ2 xtalim[/(x)±g(z)]=A±Brlim/(x)g(>)=ABXTR XTR如出二且鐘車0)fg(x)B11m加嚴(yán)QO)NA推廣到兩個極限至少一個不三的某些情形（結(jié)論是確定的，不是不定式）.1)設(shè) 0xta<x-a<6時gO)有界/O)1)設(shè) 0xta2)設(shè)lim/(x)=OTi；+oo),品1g(x)=co(+co),或癌g(x)=，=。(工)0)或為X—a NTQ0<\x-a上6時|gR),0(g(a)>A>0)=島/a)g⑴=8(太°)3)設(shè)%了(乃二868),。<卜一同<4時g(1)有界=>XT0 1 1^J/W+gW]=M(-H?)(包含了如g㈤二瑞的情形)KTQ、4)lim/(X)-limg(x)-+od(-co)=>lim[/(x)+g(z)]=+od(-co)KTa 、 KTa 一5)設(shè)lim/(x)=Alimg(x)=+coxta"'x->a..[0 0<.4<1nlrnig嚴(yán)={la +00 ,4>16)設(shè)lim/(x)=-KO,limg(x)=￡=XTfl KTUlim人工嚴(yán)=lim人工嚴(yán)=XTQ+C0B>05<0sinx例：求2=lim—=== 衿0Jl+^sinx-n/cosx分析：這是'型設(shè)法約去分子、分母中極限為0的因子分子分母同乘以sinx例：求2=lim—=== 衿0Jl+^sinx-n/cosx分析：這是'型設(shè)法約去分子、分母中極限為0的因子分子分母同乘以J1+xsin工+Jcosx?2Suix2=lim

ktOsin2xJl+rstnx+JcosnI. 、 ￡=21im…22SUIX1-cosz+xsinxM°l-cosx+^sinx=21im-：———101-coszsinx+——X也可以=Slim二3x1°二3.2sin2—11-cosx 2 1其巾km——z—=kn———=一3 /z/ 2例：求1=如(IFF)分析：這是03°.?二的3*XTM例：設(shè){%},aJ,{q}均為非負(fù)數(shù)列.且hm即=6lim^=Llimq=8J4T9 JiT嗆則必有(A)ax<4對成立，(B)4<cx對Vx成立，(C)lima-不三. (D)limbe不3.分析：(A),(B)x.由極限不等式性質(zhì)：(C)X.因為Jdo型極限是未定式.(D)M.不是未定式.lim=co.(不三).18X3.極限的存在性與不存性問題極限的存在性問題.許多極限運算法則給出了求極限的方法，也給出了極限的存在性，如若己知三極限Emx=Aliniy瓦則知lim(zy)3且為AB等等.XT丘 XTW此外下面幾個關(guān)于極限三性的結(jié)論是重要的.(1)夾逼定理設(shè)居＜^＜^(?＞瓦)且limy二limz -他 —柳二以011m =d.XT杷型對函數(shù)極限有類似的夾逼定理.(2)單調(diào)有界數(shù)列必收斂定理.設(shè)數(shù)列卜且調(diào)上升看國(即飛虱>/伽=L2,…),4<M伽=12…))則/必收斂：lim七二a且有、4口5=L2,…). -TW 設(shè)數(shù)列員單調(diào)下由倒(即％104，&2舷(盟=1,2「,?))則0必收斂：lim/二a且有八之a(chǎn)(冏二12…)XT+<￡?zI1 1 1則/收斂.例：「=i+t?+7+…+丁，Lj R則/收斂.分析與證吐顯然，.T 二12…)，只須再證/有上界.iii"nnn

工汽Wl+ + 4-??? ==1+1——+———+…“ 1.223 1-6 12)123)十|工一1=2--<2即、單調(diào)上升有界，必三覘％^-1鞏n **⑶質(zhì)1*?=工Olim lim/(x)=AXTX。 YT辦40 1砧-0提供了求分段函數(shù)/Q)=式"*<而在連接點瓦處極限的一個方法.M、x)x>x0極限的不存在問題」證明麗/G）不m常用的方法XT”+0)(即面/?)^/(xo-0)(即同/(x)),則11mf(x)xt%M 卜%-0 J'/［左右極限不相等］如虹科因為現(xiàn)0-5如虹科因為現(xiàn)0-5』。xtO-（2）若三五一＞的，/（/）不三或=/一＞而（/不3°）居TXqSs*勺）使得 極限不嬴無~|砒〃小血1加J"田 KfHUXT運

lim/Q)=4)則lim不mo（因為若lim/伏）=工，則對丫/一。（勺XT運

lim/Q)=4)如limsin—不］-0y取/= ?則/—05+coblimsin—=0°TOC\o"1-5"\h\z, 2港;T 田。X,n取，*= —,則%—0(甩—十⑼，limsin-=1。2的+2 i居2因此，limsin工不三。同理，limcos,不三。又如,limsinx,limcosx不三。―。X XT。X 1杷取工=力i穴,則limx=40limsmx=0內(nèi)…X 汽T檢 浣取"=2”k+?，則Emy=+a),limsin7=12思XT-因此limsinx因此limsinx不三。

J4<o極限無無窮扶說明極限不存在注極限二指極限為有限值，極限不三包含有極限為3和不為8的情形。(3)利用極限運算法則若lim/⑶二兒limg(x)不3則XTd ' X'd￡(i)lmi(/㈤+g(?)不NXf。7)(因為ga)=(/(x)+gO))-/(x)，若lim(〃i)+gO)8=limg(爐，矛盾XTd NT也7)(ii)若A=0,則蚓(/(x)g(x))不三(因為M⑺二一,「；,若hm(/(X)g(X)R又<H0=>bm式才尸，矛盾了)J⑺ ata [ xtQ'isinxsin- 1例如，Hma+l)sin—，jj1n L，lim似"+sin—)，均不入彳xtD*io. x4.無窮小的比較I1(1)無窮小與極限的關(guān)系I以零為極限的變量為無窮小量lim/(x)=0-彳1/時/⑴為無窮小量，記/(度)二-1)(元一＞題)lim演二0一演為無窮小量I無窮小量總是和某個極限過程相聯(lián)系航lim/(x)=j4<=>/(x)=j4+Gi㈤XTXO. 」其中加>)=o(l)a0j)即lim比㈤=0XT￥0（2）無窮小的性質(zhì)（2）無窮小的性質(zhì)（在同一個極限過程中）1）無窮小量與有界變量之積為無窮小量2）有限個無窮小量之和與積均為無窮小量3）若〃是無窮小量0）=2是無窮大量，若以是無窮大量01是無窮小量。U U若X-/時/。）是無窮大量（正無窮大量）。km/（x）=od（+8）XT%（屬于極限不三的一種情形）（3）無窮小的階的概念|某個極限過程中,I同樣是無窮小量某個極限過程中,I同樣是無窮小量,但它們趨于零的快慢可以很不相同。如x70時，1x,3sin.x,sin2x,sin貓聲,同樣是無窮小量，直觀上哪個無窮小趨于零最快？哪個最慢？與x作比較1dmsm7_113sinx?sin2x...Q氣 _I,lim =3ilim =0>Um—=cozu彳wOAiOxwox比較無窮小趨于零的快慢是件非常重要的事情。定義設(shè)在同一個極限過程中,5,￡均為無窮小。若，學(xué)0,稱比與￡是|同階無窮小,,特別是，二1,稱比與戶是解價無窮小,記為比?尸（極限過程）

若，=0,稱蹋比戶高階I（尸是比儀低階）的無窮小，記為（必（極限過程）若島三不1稱。與產(chǎn)不可比較。例如/=o（x）（X-0）XT0時/是比X高階的無窮小。（?\lim—=0S工）11”。（盧）。-0）XTO時X是比小高階的無窮小Hm-y=0x0時,1一cosx與/是同階無窮小邛旬1<x3>COSX1、lim -=-g/ 2)=lx—=1]2」tana-=lx—=1]2」「tank-51nxtancosx)lim =lim JtO婷wtOx-x： i-TxT0時sin工?不，1一ccsx?2選定基本無窮小，引進(jìn)k階無窮小概念定義在同一極限過程中，以支為基本無窮小，若戶與4?是同階無窮?。╧>0）,則稱戶是覺的k階無窮小。7而時，常以K-麗為基本無窮小I我們說X~/時，戶（工）是了一，的k階無窮小，即11m戶㈤三不為oFif）如1To時，sinI是I的1階無窮小，l-cosx是x的2階無窮小，tanx-sini是3的3階無窮小等例.比較下列無窮小的階。（高階，等階或同階而不等價）：①圈7X0時-j■與—-*2"1 .h/、分析lim=Em—=0lim--=0>（2>1oxrm1 xt楨2 a②—0時，2了--與/―-lim2x—xlim2x—xx2-x3=o(2x-x2)(x->0)+sin了與tanI2 2 2rx+sinxvx丁2f、lim =lim———+hmcosx=1+1=2xt°tan'無tanJxw0x2+siti?x與tan?x是同階而不等價的無窮小。④x3。時，In產(chǎn)與X+k④x3。時，In產(chǎn)與X+kIn=limmxxktQhhm-ktO-x乙 乙InktQhhm-ktO-x乙 乙In1+x 、 ?工■(兀—y0]1一x1ln(1+1)1Inf1-t)11

=-lun- -+-hm- -=-+-=⑷四則運算的階（x—>0）時值（力=2/是x的2階無窮小，雙力=-3/是x的3階無窮小，理（了）+。⑴=2/一3/是x的2階無窮小。

結(jié)論：不一為時以力產(chǎn)（行分別是工一頻的n階與m階無窮小，n<m則—十￡（力是x-麗的n階無窮小。（已知如-⑶=二w0,lim*區(qū)=hmxt^Q—Xo丁XT廂"一/）"、一r。（幻+戶（x）AC.八、=11m、‘產(chǎn)''=1+0=4￥。）17/時a⑴=2/+4/是x的2階無窮小，一（五）二/-/是x的3階無窮小，a（x）,8。）是x的5階無窮小，（怎1）,（彳）=2/+4J-2x6-Ax1=2x'+2--4x'）結(jié)論：工T/時d（>）,尸⑶分別是x-兩的n階與m階無窮小，則可力員打是工一。的加十加階無窮小。（已知va（i）.「r8（x） _.hm AH0,lim :一=3=0。-G一/尸 於打。一々尸=>11m ⑴=11m %]⑺ 二3￥0.）川。（廠為嚴(yán)e。（“瑞十一題廣結(jié)論:工—&，時戊（五）,口（力分別是4-幾的n階與m階無窮小，n>m,則笠^是元一斤的匕一初階無窮小。5.函數(shù)的連續(xù)性概念|直觀地說，用粉筆在黑板畫一條曲線，只要手不離黑板，一筆畫出的曲線就是一條連續(xù)曲線，如何描述連續(xù)性例：設(shè)V二力力的圖形如右圖，在（。、b）上只有勺、叼兩點曲線斷開（為間斷點），其它點而住勺、方）曲線是連續(xù)的（沒有斷開）為連續(xù)點。一處:lira/⑶二J?）、Hm/（力士、￡T>qM KfQ-0八萬）仙二品1/0）不工圖形斷開,

立處；lim/E=4m也斷開，“處：工JH）二/KJ,連續(xù)點，人氣 JT打圖形不斷開Q（1）連續(xù)性定義定義設(shè)力制在心的某鄰域定義?若hm丁向二八/）2電稱，（工）在丁-小連續(xù)，丁二”為丁仁，的連續(xù)點等價地寫成產(chǎn)（三）在工=。連續(xù)0]iit.Ay=0L其中Ay="而+Ax）-"玉-J ??-河 I 定義若：m『⑺二（舄成/沁+0）-U）根/⑴在K二人I若逢物著fcn」⑴二丁氏）,（寫成他-0）=/（4））單雙側(cè)連續(xù)性的關(guān)系了（外在X二品連篌一在了二不左連續(xù)I又右連篌,定義/：工）在（50內(nèi)每一點均連續(xù)，稱/小在（Jb）連續(xù)，又在工二。右連篌，在3二3左連續(xù)，稱在【6句連續(xù),（2）間斷點及其分類定義設(shè)，a）在左二飛的某空心鄰域（或單is空心鄰域）有定義，怖不是/（工湎連續(xù)點1不百⑴的單側(cè)總續(xù)點）稱為是力工的間斷點1設(shè)/值）在工=/空心鄰域定義，X=而是它的間斷點。如果質(zhì)意組稱a二七是二區(qū)時如果質(zhì)意組稱a二七是二區(qū)時第一類間斷點」；%;「）二N工：,一廠：但不為八/）或，內(nèi)）不挑工=%是/③的可去間斷點,+UUU）,；二八是，用森躍間斷點。如果兩者中至少有一個不三稱丁二為是的I第二類間斷點例；s例；s由；:⑴JE）二——，十二n是它的第一類間斷點《可去間斷點）,因為辰-Inn±二-1, 在；-。無定義）dT" 『TO「 "若補(bǔ)充定義二口二1,則JQ在（-嗎丑口）連續(xù)。⑵」⑺二」U1+135。⑵」⑺二」U1+135。-2工二口X2+1A<0；L二口是它的第一類間斷點（可去間斷點）,因為Iuhn'V=lim”J工+:二，卜仃丁了)=hm+1)=1⑷人止—::⑷人止—::1?/0）=*Tl]+ T—tU若修改人工）在塞二口的函數(shù)值為/⑼二1則『㈤在（-oa,40o）連續(xù)Tx>0（3）二卷工二，。工二。-1X<IJ■_工二U是它艱二類間斷點（跳躍間斷點）|,因為lun咫二工一14Inn兆二a--1eKr1一一 I一一一工-二口是力。的第二類間斷點I因為=G（不d）,

彳二1是它的憾二類間斷點I，因limsin，不m(不為8)。T1匯一11.求極限的各種方法：(1)利用求極限的四則運算與幕指數(shù)運算法則。(2)利用連續(xù)性求極限。(3)利用變量替換法與兩個重極限求極限。(4)利用等價無窮小因子替換求極限。(5)利用洛必達(dá)法則求極限。(6)分別求左、右極限求得極限。(7)利用函數(shù)極限求數(shù)列極限。(8)適當(dāng)放大縮小法求極限。(9)求遞歸數(shù)列的極限。(在后幾講中，還要講到(10)利用導(dǎo)數(shù)求某些極限。(II)利用定積分求某些和式的極限。(12)利用泰勒公式求極限。).判斷無窮小的階或確定無窮小的階的方法。.判斷函數(shù)連續(xù)或間斷點類型的方法?！?導(dǎo)數(shù)與微分概念1?導(dǎo)數(shù)與微分的定義，導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系若三極限ax工二兩細(xì)及)-以)=11mG+忱751①xf 'to Ax稱在工二為可導(dǎo)，稱此極限A為了(月在匯=所處的導(dǎo)數(shù)由極限與無窮小的關(guān)系，①式可寫成Az即/(x0+ -/(x0)=Of(Ax)-Ax(Ax70)②其中處押反)=。著3常數(shù)A使得/=/（用在x=兩處的函數(shù)增量滿足j（j0+Ax）=j!Ax+o（Az）（Ax->0）③稱」（力在工=勺可微，業(yè)上稱為了（7）在x=x°的微分，記為dy=必dy=必1二/公式③可寫成公式③可寫成/（凝+⑺即limiZT。即limiZT。丁(麗+△])—，(7)Ax注意②與③是相同的，因此得/（X）在X=為可導(dǎo)二,丁。）在彳二而可微且此時辦 二戶（河）&1二/’〔彳0）3工工二七其中1不二4T為自變量的微分/f?=——-函數(shù)的微分與自變量的微分之商。dx③式的右端點無窮小量（加-0時），由③式可得皿伏麗+工〈）-/（*）二0即 蚣（/（麗+&）=/（而）因此，若券二/（行在工二的可微，則/（3在^二題連續(xù)。/W在王二質(zhì)可導(dǎo)/to在工=工。可微0/W在X二晶連續(xù)

.導(dǎo)數(shù)與微分的幾何意義/㈤―/⑴是曲線上通過點O,/仁。），M（x,/W）的割線的斜率,是）”/?在點場處的切線的斜率，于是,y=/⑴在點場的切線方程是在幾何上它就是曲線y二4＞）在點Mq（與,/（殉））處切線相應(yīng)玨的縱坐標(biāo)的增量。.單側(cè)導(dǎo)數(shù)及其幾何意義導(dǎo)數(shù)是一種極限，如同極限有單側(cè)極限一樣，也有單側(cè)導(dǎo)數(shù)。若極限lim;鳳5N%,稱/"）在工二/右可導(dǎo)，稱此極限為/（X）在必皿 AxX=4處的右導(dǎo)數(shù)，記為《（而）。若極限lim,稱/S）在人=麗左可導(dǎo)，稱此極限涉（方）在不二/處的左導(dǎo)數(shù)，記為/二（而）。在幾何上，力（％）是曲線y二/㈤在點，15。，/1＞0））處右切線的斜率f-M是該曲線在點,吸處左切線的斜率!杼「~0\~■單側(cè)可導(dǎo)與雙側(cè)可導(dǎo)的關(guān)系IJ（兀）在X=X?？蓪?dǎo)O/（元）在工二而既左可導(dǎo)又右可導(dǎo)且/；（%）二工（%）I不可導(dǎo)的一種情囪/W在兀=飛三/；（為），￡（旃）^/；（瓦）￥以/）。在圖上看，曲線y=/（x）在的oCr0JS。））處m左、右切線，它們之間有一個夾角是曲線P=/（了）的尖點。.變化率的描述設(shè)有變量x、y之間的函數(shù)關(guān)系＞，=/（＞）差商小匚出二逛■：自變量x從/變到0+加時y 隨x的平均變Ax化率。導(dǎo)數(shù):丁丫金）二帆:由=/處丁=八?隨X的變化率。例如：一根桿子，從一端。算起，［。，X］段桿的重量為洶二也Q）6xxw平均線密4■單位長度桿的重量依x+Ax］做桿的平均線密度是幽（x+M）-所㈤桿在x處的線密固以外=處°椒"一i㈤二癡⑸LIA又如：一根導(dǎo)線在［。，t］這段時間內(nèi)通過導(dǎo)線橫截面的電量為。=。&）0平均電流強(qiáng)度卜單位時間內(nèi)通過導(dǎo)線橫截面的電量（［￡"+&］時間內(nèi)導(dǎo)線的平均電流強(qiáng)度史士竺二絲）|導(dǎo)線在￡時刻的電流強(qiáng)度 及 一卜1婀Q（"?-Q小 go&例：設(shè)《＞o）=/W在（一以，幻上是|偶函數(shù)且可甌（1）觀察曲線y二了（彳）及曲線在對稱點（大，?。耍?，（-「，/（—、））處切線的幾何特征，并回答了=〃回的導(dǎo)數(shù)在（一痣，」）上有無奇麗尸⑼二?（2）證明你的結(jié)論分析與求解（1）畫出偶函數(shù)了=/伏）的圖形及對稱點處的切線。偶函數(shù)y= 對應(yīng)的曲線關(guān)于y軸對稱，關(guān)于尸軸的對稱點（不，/。）），（一乂，/（一行）處曲線的切線上亮土￡關(guān)于y軸也對稱，因此它們與3軸的夾角分別為弓 -X/r（x）=tana ,（一了）=tan（^-a）二—tana二一/'（目/'（一乃二一/㈤I即/阮）為奇函嘉］在他,/◎）處切線是水平的，|即尸倒）=0

（2）證明由導(dǎo)數(shù)的定義及偶函數(shù)的性質(zhì)來證:小二11ra正上處二11mzkz處幽“ 'MT。Aj a—°Ax=lim

以=lim

以Tl-幽-Ax== g"-a,a)令x=0=/，0)=0（2）證明由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法來證:由兩邊對X求導(dǎo)，左端由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得/卜城-J=rk）即-m‘㈤結(jié)論設(shè)了（其在卜氏白）可導(dǎo)1）若」（。在卜以4）為偶函數(shù)在卜4Q）為奇函數(shù)。,類似地）2）若八。在卜以㈤為奇函數(shù)=八，在卜以㈤為偶命例：設(shè).二匹0是以T為周期|的周期函數(shù)且可導(dǎo)。（I）由周期函數(shù)的幾何意義說明曲線尸二在點kJ（X》處與卜+丁/卜+7））處的切線有何特征？并回答y'a）有無周期性?（2）證明你的結(jié)論AY分析與求解（1）點x鄰域函數(shù)》二口的圖形沿x軸平移T單位八/得y=/（A-）在點X+T鄰域的圖形，因而曲線，=/（A）_彳\不在點卜J處的切線與了二川磨點（a+7?/（a+7））x°lVX+T處的切線平行，即［㈤二廣卜十磯因此『⑶也以T［為周期。I（2）證（按導(dǎo)數(shù)的定義）7^m1二底正九西—EL麗加+mt」）————moAx 簸t° Ax=/r=/rW即rh+7"rt)證(由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法)由+T)-Jh；兩邊對x求導(dǎo),「尸卜+加+到*㈤即/卜+7)=/的結(jié)論|若了心)是以T為周期的周期函數(shù)且可導(dǎo)，則二'0)也是以T為周期的周期函數(shù)。例：設(shè)有函數(shù)了二卜也工卜在—￡：上畫出它的圖形。22(1)從圖形上判斷此函數(shù)在K=0蜃噩證明你的判斷。(2)從圖形上判斷此函數(shù)在x=0薜存在左、右導(dǎo)數(shù)L證明你的判斷。(3)從圖形上判斷此函數(shù)是否存在導(dǎo)數(shù)I,證明你的判斷.分析與求解&引汕K上圖形如圖所示”⑴從圖上看?曲線在(?不斷開)二2工|在工二)連續(xù).因為枷H蟲,回#。二：111」EUL工一0—訕1萬X=]酈in乂在a=。連續(xù)0(2)從圖形上看，此函數(shù)在1=匚處m左、右導(dǎo)數(shù)，因為曲線y="”在nJ)處有左、右切線口(3)從圖形上判斷此函數(shù)在了=0不m導(dǎo)數(shù)，因為曲線，『=|汕H在(og是尖點不三切線。因為/二口K)匚1〕),所以J=上丁,小在.1=0處不三導(dǎo)數(shù)s

.一元函數(shù)微分學(xué)中的基本概念及其聯(lián)系。.一元函數(shù)的求導(dǎo)（微分）方法按定義求導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)法則（導(dǎo)數(shù)四則運算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，分段函數(shù)求導(dǎo)法則，以及由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則所導(dǎo)出的：初等函數(shù)求導(dǎo)法，塞指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法,反函數(shù)求導(dǎo)法，隱函數(shù)求導(dǎo)法，變限積分求導(dǎo)法，參數(shù)式求導(dǎo)法等。）.一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)（微分）概念的簡單應(yīng)用（幾何應(yīng)用-求平面曲線的切線與法線，利用導(dǎo)數(shù)求極限等）?！?原函數(shù)與定積分概念1.原函數(shù)，不定積分與定積分的定義設(shè)在區(qū)間I上一偽二直力，稱F⑶是）⑴在區(qū)間I上的原函函.”力在區(qū)間I上的徑體原函數(shù)稱為在區(qū)間I上的同定積分［記為幻,并有［/（＞）而二尸（x）+C 其中是/Q）的一個原函數(shù)|定積分的定義設(shè)了仁）在區(qū)間,力］上有定義。用分點<x*=b<x*=b將卜閡分成力個小區(qū)間。令A(yù)xl演-玉tC=L2,…㈤,在每一個小區(qū)間上_「x』上任取一點。，作和數(shù)。二玄六&）際,稱它為了@）在LM上的一強(qiáng)畫3

i-l令行里鬻g,如果當(dāng)ato時對于區(qū)聞%M的任意分割，以及中間點點的任意取法，積分和O取法，積分和O■總有共同的極限乙即我門典號義沁=/,稱/為了（乃從。到8的定積分，記住/=［/（行公又稱/?）在L引（黎曼）可積，其曲與右分別稱為定積分的下限與上耳/⑺稱為被積函數(shù)。|2?定積分的幾何意義設(shè)/（X）在「，M可積，在幾何上，定積分］/（1〕辦表示曲邊梯形必助的面積的代數(shù)和，其中位于肩軸上方的面積取正號，位于蘇軸下方的面積取負(fù)號。見下圖.函數(shù)的可積性設(shè)/⑺在b閔可積,則/⑺在，M因此，若/S）在［工M無界，則/（外在L力］不可積。|（2）充分條件I至少以下二類函數(shù)在區(qū)間［%可上可積：①在［0力正的連續(xù)函數(shù)］②在以為止只有恰限個間斷點的有界函數(shù);.牛頓-萊布尼茲公式與變限定積分牛頓-萊布尼茲公式 設(shè)/（兀）在回］連續(xù)（或可積），尸0）吊［。/］可柬Hte=/（/）=（j（x）dx=雙力"=f⑶一e（o）也 （2推廣形式I 設(shè)了⑴在連續(xù)（或可積），愀力在打倒可導(dǎo),且?0)=,0),產(chǎn)g+0)二Em尸0)，尸g—O'limF(x)［/㈤加二網(wǎng)力&—0二尸@_。)_尸1+04+0作用：K建立了定積分與原函數(shù)的聯(lián)系|20把求積分和的極限轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的改變量。變限積分的連續(xù)性與可導(dǎo)性。|設(shè)廂式以⑻為v定點，/⑺在［㈤可積，則對外%）衣與f7?必均為上的一個函數(shù)，分別稱為變上限與變下限的定積分I,統(tǒng)稱為變限積分1設(shè)了⑺在上可可積，則①⑺二1%）成在卜M連續(xù)（也，x+Axe考察卜㈤在卜㈤有界，〃㈤歸城）=lim⑦S+Ax)=中⑻設(shè)了⑺在L㈤連續(xù)，則①⑺=1了⑥出在卜力］可導(dǎo)且，力＞）=0-念*G,其中63*出①（了4Ax）—中⑺Ax作用：1）作用：1）指出了連續(xù)函數(shù)一定原函數(shù)（口?山）2）指出了不定積分與定積分的關(guān)系。=1,^二士0二0,1,…渣）n?4 JiJ* 1-一=1,^二士0二0,1,…渣）n?4 JiJ* 1-一4 G飛（ 1TOC\o"1-5"\h\zR 1?￡。如=-￡a,瓢卜h，演］\o"CurrentDocument"2-1 注2-1若取自=X,_］,得1二三1?-14二工”=

孫?i 〃乩/⑶=/在［0,1］連續(xù)，=可積=1 1X 1”1士辦二Em—￡/'=Hm-VaR*> "…，行仁—總勺1

由等比數(shù)列求和公式111-面）”1-―aT_<3-1

---r=-I-=_[—n]-ax"1一殷 -1）ax-1（其中l(wèi)im巴干」=lim-^二。丫A7

汽-他2 工 x=on=as\na=lna}x=0例畫出圖形，用定積分幾何意義求出下列定積分。(3) 0>口2(4)[=f](x-a%(4)[=f](x-a%-兀位(c3<b)了我見匕］分析⑴可積.電)在-可積_44_(2)可積.f(x)了我見匕］分析⑴可積.電)在-可積_44_(2)可積.f(x)在小司有界,至多有一個不連續(xù)點.x=0解：y-4五-x)=q-？+匕+6)x—gA/」43T=4/2、2J卜'例下列函數(shù)在指定區(qū)間是否可積？為什么？ r1x>0(1)/(x)=tanx, -5，( ⑵/⑨=sgnx=<0,x=0- 」 -1x<0⑶可積.f(x)在［―1,1］有界，只有一個不連續(xù)點x=0⑷不可積.f(x)在［0,2］無界

例/(r)=sgnJxe［-l,l］小㈤二J；由在［-1,1］是否連續(xù)，是否可導(dǎo)?分析與求解 (1)不必求出①(1)就可知，①卜)在卜1刀連續(xù)。(因為f(x)在［-1,1］可積)也可求出中心）：［『14 T>0［x）.①㈤弋 =r=H-以x<oJo口中k)在［-1川連續(xù)⑵由于mh）=M,Gw[-uD=>xto此小卜)可導(dǎo)，x=0此小卜)可導(dǎo)，x=0此不可導(dǎo)。例 1二『如三0x=0(1)求產(chǎn)㈤解：1 11\/r（A）=2zsin-+—cos x xx；(方。)(方。)(2)證 0.1Iri的5加2枷「行行 0 儼=0問g(x)在x=0是否連續(xù)？在卜1,1］是否可積。litng(x)=lim2xsin--cos—T3XT。-外xx)ng(x)在x=o不連續(xù)|g岡在H，l］可積］(g(x)在［-1川有界，只有間斷點x=0)⑶［/舞在H,1］是否可導(dǎo)^ 超里間的不足導(dǎo)圖數(shù)是否可解：。(出￡=［)胭=煙-州=加一在H,1］可導(dǎo).一元函數(shù)積分學(xué)中的基本概念與基本定理。原函數(shù)、不定積分的概念及性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)可積性條件牛廟-萊布尼茲公式，變限積分與原函數(shù)的存在性周期函數(shù)與奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)。.基本積分表與積分法則。怎樣用各種積分法則(分項、分段積分、換元積分法、分部積分法等)求不定積分與定積分。,按函數(shù)類的積分法。對常見的幾類函數(shù)應(yīng)選用什么方法求它的積分。?積分計算技巧。?廣義積分概念與計算。.一元函數(shù)積分學(xué)的幾何與物理應(yīng)用o.積分等式與不等式的證明?！?多元函數(shù)微分學(xué)中的概念1.2=/（兀沙的連續(xù)性了二」（?；囟x在區(qū)域D上，若點如（七,%）七D,當(dāng)點（zy）eD趨于點%時J（右y）就趨于」8＞的），即稱,（XJ）在點（/Jo）連續(xù)。①式又可寫成,觸小nJ.0+及跖+Ax）=/（而，%）或‘彈,…k二°（“a）-Ko,a 3?）t叩）若z=/（冗切在D上每一點均連續(xù)，稱為在區(qū)域D連續(xù)。二元初等函數(shù)在它的定義區(qū)域上是連續(xù)的。12.偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)］研究多元函數(shù)時，把多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題是一個基本的方法。設(shè)有z=/（冗力，當(dāng)固定其中一個自變里時,它就成了一元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)就是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。固定y=M）,若X的一元函數(shù)￡=/（苞＞0）在x=%存在導(dǎo)數(shù)，它就是Z=/（XJ）在點Mq（x0，M））對X的偏導(dǎo)數(shù)。CX血 71=Aq用極限表示即際（瓦如）「fUo+Ax,y0）-/（x0,7o） =lim 辦Q找 Ax固定X二%,若丁的一元函數(shù)？= 在》二為存在導(dǎo)數(shù)，它就是N=/（NJ）在點對y的偏導(dǎo)數(shù)。辦dy伙二九用極限表示即/（而，為+階）-/（而如）

因此求偏導(dǎo)數(shù)就是求一元函數(shù)的導(dǎo)電。當(dāng)（丸?。┫拗圃谶^點1％（%,因此求偏導(dǎo)數(shù)就是求一元函數(shù)的導(dǎo)電。當(dāng)（丸?。┫拗圃谶^點1％（%,為）以r=[cos<^cos戶｝為方向向量的直線L變動時，二元函數(shù)z=，a,>）就變成了2的一元函數(shù)」函數(shù)z二/（工V）在點圾（馬,九）可微即Z= 在點的增量Az有如下特性:/（/j+-工用+矽）-/0cl如）=g+g7+。9）??！猳）②其中A,B為常數(shù)，q=Ja/+必2。此時稱出的線性主要部分,皿+的稱為Z=/（元/在點陸的全福分。dzMdzMg在②式中，|點燈（勺+心,為+砂）可以沿△途徑趨于點必二嚴(yán)當(dāng)（為+?,凡+?）沿工軸（丁軸）趨向于螞時即令的二0上1=0）時②式變成—+5&）-/（/,凡）=如+。（財）它就是0/(%Jo+A^)-/(x0Jo)=BAy+。(匿|))/(麗+心,先)-/(%,&)』手仇仇)urn它就是0/(%Jo+A^)-/(x0Jo)=BAy+。(匿|))/(麗+心,先)-/(%,&)』手仇仇)urn =A= 以.° Az 8五［六砧九+與)-力工，%)q磯礴，兄)'hm =d= 道t° 3 》)因此，若在點%可微=/（冗切在點陷3偏導(dǎo)數(shù)旦dz此更"力Wo在加④仇）可（為,先）

dx妙其中右=Ax,dy=Ly當(dāng)+A冗為+*'）沿直線L（過M以『二｛cosa,cos/｝為方向向量）趨向好時,即令A(yù)x二江05&,2二jcos戶，則②受變成+￡COSa,Jo+fcos.8）一/（加比）=(Acosa+Boos劃+o(如(t-40)即礴為—例-外出）二小&+%10 tCOS8.dfcos^+—COS8.效場因此,偌八XJ）在細(xì)Q（/J。可微j47（"）在此點沿V方向以方向?qū)?shù)并有更二型必…第一二修敬 而 其中『二―儀心圖。注意②式右端出了+）?+。（@當(dāng)（A元與）TQO）即。f0時是無窮小量，因而岫“々+Ax，70+Ay）=式瓦）（M3）TfO.O）這表明：|若力x,＞）在場點可微，則/熾因在圾點連續(xù)。前面講過,/SM在M.點可微0六%因在此點偏導(dǎo)數(shù)幽叱,幽6，但反過來.今I不一定成立，|即兩個偏導(dǎo)數(shù)曼迫2,直空2三，不能保證在點可微。 灰灰 “兀刃在點場（后,為啊微的充分條網(wǎng)若〃工7）科叫點的某鄰域m偏導(dǎo)數(shù)I邑,—且這兩個偏導(dǎo)數(shù)在陽,點連續(xù)則?。ㄘＨ?axdy 在必點可微。因此，我們有N==（XJ）在Go/。）可微轉(zhuǎn)可偏導(dǎo)| （可偏導(dǎo)是可微的必要條件而不是充分條件）2=/民＞）在（陽,沖）點三連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)京可微（在一點三連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)是該點赧靛分索件而藕晟要林一可獲性條件強(qiáng)于可偏導(dǎo)條件,而弱于連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)條件Lt^l現(xiàn)在我們把多元函數(shù)微分學(xué)中幾個基本概念之間的相互聯(lián)系列表如下:更起，江=”心J）在二?。┰谌 點可微點連續(xù)在％點連續(xù)U沿任意方向都有方向?qū)е?（X,y）在場點沿V方向同方向?qū)?shù)4般在崎點3迎④，生迎沒有箭頭”:「就表示"推不出”。 反堇如了"J）在此。連續(xù)定才（［J）在罰Q可偏導(dǎo)。［ .^一 I例：fl=，Q中芯o_說明二元函數(shù)在一點連續(xù)同可偏,p=0 導(dǎo)是沒有必然聯(lián)系的證明，，0,例：fl=，Q分析.? /1沿不同方向趨近，伸到的極限不相爭Ilim/f（zy）=1 litn/（兀?。?0 （3（喇 / （⑸T?！唬?在（0,0）點存在偏導(dǎo)孫工。 ?二0 //阮。）=0（以）#（0，。）=0]“0J）二。（切4以0,0）二0I例：小/）二4+/在（0,0）連續(xù)（噩⑼次+/=。=/喇/（x,o）=卜|在k=。不可導(dǎo)n/；（Q0）不m八03二團(tuán)在）=0不可導(dǎo)=力。0）不m二元函數(shù)在一點三兩個偏導(dǎo)數(shù)推不出在這一點連續(xù)，這與一元函數(shù)可導(dǎo)=連續(xù)是否矛盾?分析：/（匕月在此可偏導(dǎo)/（匕月在此可偏導(dǎo)4,怎樣證明工二,六工V）在點：工:外）可微或不可微1）在滿足是可微性必要條件的性形下匚按定義考察1。工 07 .?當(dāng),。Tn時：懵它是否是無弟h鼠其中仃=、心1+4『若它是無窮小I則/二了）在M同微，若它不是無窮小，則丁。8在M不可微.2）若能證明史3,"0在mK/jO點連續(xù)，則就證明了」（兀川在超o可微,a ' （若證明了或里三江在居.門；一也調(diào)不連續(xù)?則還未能判斷『（1?。┰赹是否可微） 治中3）若州工，月在點的?不滿足可微的必要條件（如?、佼a(chǎn)）麗點不連續(xù)，或不可偏導(dǎo)）|,惻就證明了『32:在/不可微例:設(shè)」心；“3例:設(shè)」心；“3門3F；=。力，⑴求駕更:二⑼⑵討論廣工舊在〕〕舊的可微性，若可微并求仃:二⑼【分析與求解】 國口工入中⑴當(dāng)阮時去二名-尸士7?；L ?!-+了3-yJ當(dāng)g）=0時，因為丁。切二。門工）孑是可電力=0.由對稱性得〔5士。口）那—2尸y 21v〔5士?？冢┮灰灰?F?十只"/貨’⑵【解法一1：考察司？區(qū)在中S的連填性:

n卮l=O=mhn支二。二%2Hy卜河,小 旅.W川沙 次即空W在(0,0)均連續(xù)，因此/(3)在(0,0)可微。ox.dydf。0)df。0)空X+等眼【解法二】：按定義，/(兀，)在(0,0)可微=/(0+加,0+則7(0,0)二^^8+^^^+矽)("如2+32.由于麗超亞登或許是場必在(0,0)可微=/回即=。3=W"=。似QT0).(幽)現(xiàn)考察：竽二爐岑沏刎,=0.由此得=0.lira川3)迎0)例：設(shè)(―+),>mJ#+/豐0,2=/(")=[ X+，0,X2+y2=0.I⑴求)(工、)(")(2)證明：①史三衛(wèi)在(0,0)不連續(xù)。3x效(?下列論斷是否正確，并證明你的判斷?！币驗楣?xj)J；S，y)在(0,0)點不連續(xù)，所以〃兀了)在(0。不可微?！?/p>

=2asui=2asui/+>2x、y」廠+p由X與Y的對稱性，還可得再(％y)12V…1- ―G5D1--——r_。5—; T（1）當(dāng)2+/=0雙即EM=（0,0）時,按定義可求得以二圓-（叫3x AxAx2sin=lim 州~01Ax2=0.（1）當(dāng)2+/=0雙即EM=（0,0）時,按定義可求得以二圓-（叫3x AxAx2sin=lim 州~01Ax2=0.類似地顰=°.I中｝'蛆0,0)'的極限不存在或不為0。3）當(dāng)尸=工時，?（"）

dx=2xsiny=^2xlim2xsin—0,hm-

zo2/wx11

--COS--x 2/1cos聲不存在,因此，當(dāng)阮必沿y=T趨于（Q0）時名的極限不存在,駒或在（0,0）不連續(xù)。1 : 躲 dx類似可證亍在不連續(xù)。⑶￡（冗尸）,￡（兀切在點色0）連續(xù)是/。M在（0,0）可微的充分條件,|但閑時屋條用核前顯錯誤的J

(3)|事實上一〃；)?；在(iU何微J因為t"歌叮）A?；IM=f =(A/+AyJ)sint"歌叮）A?；I【證明】（1）只須證limg）二%OJ，）,為此佶計國”）歸年聞-r?由此得，烈w-M）即』”在w連練2?4小⑵為討論力,力在已⑼的可微性，先求至&Z,色三？如同前面?易得2?4小又戶Q0）=。，于是丁一尸）在口:■:可微勺00)8T0),這里――助=a⑼st00)8T0),這里當(dāng)與二小時， 片以創(chuàng)_1即如幽包Uo."v^="zP|因北I*3A在匕工不可境?I

§1多元函數(shù)微分學(xué)中的基本概念及其聯(lián)系§2多元函數(shù)的求導(dǎo)法最主要的是多元復(fù)合函數(shù)的微分法則，以及它的應(yīng)用與題型。（求二元初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，求帶抽象函數(shù)記號的復(fù)合函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)與全微分，隱函數(shù)求導(dǎo)法及變量替換下方程的變形等。）§3多元函數(shù)的最值問題§4方向?qū)?shù)的計算與梯度§5多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用§5多元函數(shù)積分的概念多元函數(shù)積分的類型是多種的，有：曲線積分，第一類曲線積?分（對弧長的曲線積分）,第二類曲線積分（時坐標(biāo)的曲線積分）.曲線積分，重積分［二重積分,

三重積分重積分［二重積分,

三重積分曲面積分，第一類曲面積分（對面積的曲面積分）,.第二類曲面積分（對坐標(biāo)的曲面積分）.曲面積分，多元積分的定義、幾何意義或物理意義1（1）二重積分II曲頂柱體的體積」設(shè)D是oxy平面上有界閉區(qū)域，在D連續(xù)，n=/（x之0表示一張曲面S,以S為頂,D為底面，仰面是柱面（準(zhǔn)線兔D的邊界，母線平行于Z軸）的立體稱為曲頂柱體,Q=｛（"，4"）wDfo<z<f（xfy^分析與求解。會求平頂柱體的體積/二底面積x高把曲頂柱體轉(zhuǎn)化為平頂柱體。

|1。分割|把D分成n個小區(qū)域］其面積也用同一個記號，它們只有公共的邊界。相應(yīng)地把曲頂柱體分成n個小曲頂柱優(yōu)△ …乩I（體積用同一記號）怔近似|每個A句上卜取一點（蚤,以得一平頂柱體，于是|內(nèi)匕二/（￡為火11/6，彷）為高，為底,3。求和/=&〃汴￡%中必5 ，杜5/6，彷）為高，為底,4是這n個小區(qū)域直徑的最大值^"1設(shè)/上引定義在0中平面的有界閉區(qū)域D上，將D分成n個小閉區(qū)域心巧,△巧…金丐，其中表示第?個小閉區(qū)域，也表示它的面積，任取稿為JeAq,若叫/②,仍達(dá)5存在且唯一（即與D的分割及點M1.1￡以）的取法無關(guān)），其中2是各小區(qū)域直徑的最大值，則稱此極限為*冗力在區(qū)血D上的二重積分，記為或.即“（工姨b二jjf{x,y^dy=必Z/fe，7）△5n n 2-1當(dāng)二重積分jf/（兀）》仃存在時，稱/卜㈤在D上可積。DI幾何意義I：設(shè)jhM在d上連續(xù)，當(dāng)了卜,田之o時，二重積分”?。ǚ驳?D表示頂是曲面2=/（"），底火”是面上的閉區(qū)域D,側(cè)面是以D的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面的|曲頂柱體的硝］一般情形， \\f（xry^=xQy平面上方的曲頂柱體體積減忒?平面下方曲頂柱體體積。2）物理意義：若怕面薄片|占有閉區(qū)域D,它笆面密度為連續(xù)函數(shù)戶至,司則它的質(zhì)量為必;（2）三重積分|定義設(shè)/（幾上z）定義在空間有界閉區(qū)域0上，將0任意分成n個小閉區(qū)域△匕…A囁，其中△匕表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的體積，任取一點若圓力/Qi.M.zjA匕存在且唯一（即與c的分割及點A?.2-1伍的取法無關(guān)），其中工是各小區(qū)域直徑的最大值，則稱此極限為『（凡乂4在區(qū)域Q上的三重積分,記為]。/（2,2）四或JJJ加,乂力呦曲,? ? ? 即BJ/（2，z）M=\\\爾乂"彳必您二輒￡/（小必,4世匕C Q i』 當(dāng)三重積分存在時，稱在a上可積。□ 加井=洲體積物理意義：I若空間物體占有閉區(qū)域0,它時體密度為連續(xù)函數(shù)小,“兒則它對寇為%=||]p[xty,z}dVn（3）第一類曲線物第一類曲線積分|（對弧長的曲線積分y/定義設(shè)￡2'為By平面內(nèi)的一條分段光滑曲線，函數(shù)/卜力定義在l上,在L上任意插入分點：W=Mo,城=艮把L分成n個小弧段，記第i個小弧段C的弧長為必任取居力）七，若極限研2」（九仍）As,4.14 4-14 ，旬1-1存在且唯一，其中4為各小弧段的弧長的最大值,則稱此極限為了卜尸）在曲線L上對麗長的曲線積分或第一類曲線積分,記作J/kz）的即J小玲fe任X/匕㈤）血/TU..類似可定義了（冗y,2）在空間分段光滑曲線r上對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）（"為區(qū)二如為加方2-1物理意義I：設(shè)|曲線形物刊占有平面分段光滑曲線L,其特密囹為連續(xù)函數(shù)就“），則它的國量為/二（0人》協(xié)幾何意義I：平面光滑曲線L的弧長二。曲幾何意義：了十平面上光滑曲線L以L為準(zhǔn)線，母線平行于Z軸作柱面，又光滑曲面z=JkJ）與此柱面相交，則此柱面在收平面與曲面Z=〃兀7）之間部分的面積為工了k,丁）辦o〃兀y）&L/Qj心［奇響）（4）第二類曲線積3廠|變力作功I設(shè)質(zhì)點在外力戶仇0=網(wǎng)工j,z）作用下，沿曲線L由A點運動到B點，求反對質(zhì)點作的功。 '若聲是常力（方向、大小均不變），路徑L是由A到B的直線段則聲所作的功W=^A8現(xiàn)在口是變力（大小、方向均可變而|,路徑L是曲線，如何求功？修前］從A到B在L上依次用分點~~工=4,4,4，…出=5將工…分成n個弧段

了近似在C上看作常力作功，c上外力作的功A悵目聲（"JAg其中K三「；，》就是向量尺⑶j與非在4d上外力作功的近似值爐?玄口吊同￡了［圾）心E!」劃 ；.i二■T取極限IW■T取極限IW=科工同K）5￥-T-1-1其中《二盥^械,心電是的弧長,建1設(shè)L是一條從A到B的分段光滑定向曲線，向量函數(shù)此工〕舊包川定義在Lt,依次用分點工二義,事,凡「二旦二E將L按從A到B方向V分成n個小弧段C:匕二12…川：證c的弧長為右4豆，-豆，A-j4 ^-14 “M.取一￡三廠〉令工—髭松尸，若息2比肘」?函三唯一i-：-1用數(shù)量函數(shù)表示1訴如何計算？「第一積分又如何計、算？化為定積分！X /：+。（此）叫+卜匕因了第一曲線積分!稱此極限值為向量函數(shù)3（血）沿定向曲線L的第二型曲線積分I記為用數(shù)量函數(shù)表示1訴如何計算？「第一積分又如何計、算？化為定積分！X /：+。（此）叫+卜匕因了第一曲線積分!當(dāng)（工”關(guān),馬）4/-h—設(shè)網(wǎng)/丁㈤=1當(dāng)（工”關(guān),馬）4/-h—L網(wǎng)亂）.赤膽￡風(fēng)圾）后二翦^耳必■ i-1 E-1衛(wèi)LHr,以5十◎氏工人勺+心力譯法1（5）第一類曲面日由面善度求質(zhì)香設(shè)有|曲面形物體|占據(jù)空風(fēng)中的分塊光滑曲S，其面積為S,若質(zhì)量是均勻分布的，即面密度為常數(shù)月則它的質(zhì)量孤=H]若質(zhì)量是非均勻分布的，"點（兀處密度函數(shù)為。（兀y,z）如何求曲面S的質(zhì)量?將曲面S分成n個小曲面塊AN],A&產(chǎn)?，&SL…,&S；4國的面積仍記為A40=1,2,…，每個小曲面AS,上質(zhì)量近似看成均勻分布的，即面密度看成常數(shù)尸國國,馬）， （（如.于是△區(qū)的質(zhì)量△明尸尸&，必網(wǎng)整個曲面塊s的質(zhì)量冽aX忒占,尤.4當(dāng)無限細(xì)分時，即；ifoa是小曲面塊直徑的最大值），近似轉(zhuǎn)化為精確，即 第一類曲面積分（對面積的曲面積分）的定義I定X設(shè)s是分塊光滑的曲面。函數(shù)/Gj,z）定義在S上。將S任意分成n小塊：&S\,AS暝…，ASJAS,也代表第i小塊曲面的面積）,任?。ㄆc明—端,若極隈以工了（虞笫,。赤字在且唯一，其中2是各小塊曲面直徑的最大值，則稱此2-1極限為在曲面S上的第一類曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分，記為U/（QN）加，即"人"Z為二必2八￡九分嶼 s Z物理意義：|曲面形物件占有空間曲面S,其面密度為連續(xù)函數(shù)QS,y,z）,則它的質(zhì)量為洛二JJq（兀乂z）dSS注：I曲面是光滑的即指曲面上各點處都具有切平面I,且當(dāng)點在曲面上連續(xù)移動時切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動。若曲面s由2=2（九川（（冗了）￡切所確定。6是光滑的即指ZqJ）在D有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)三，丁.分塊光滑的曲面即指由有限塊光滑曲面所組成的曲面,如長方體的表面是分塊光滑曲面。(6)第二類曲面積分TOC\o"1-5"\h\z由流速求流量、 _設(shè)流體的速度可制y?z)=P(&y,z)r+Qfey,z)j+Rfcy,z)kS是定向光滑曲面，單位法向量雙幾求單位時間通過的流體的體積.(即體積流量)當(dāng)S為空間中的平面區(qū)域(面積也記為S), 呼w流速「二伊?㈤為常向量時，單位時間通過s f的流體體積. i\o"CurrentDocument"-v|cos^?=vn^(0=4,E)K二{cosacos/,cos?)) V/X 0) >二(Fcosa+Qcos/+Rcosy)S=尸4+0%+R%/不其中回十3,4v分別是5在平面室42上的有向投影面積帶正負(fù)號的，若成銳角取正號(上圖左方)，若成鈍角取負(fù)號(上方右方).一般情形--用分割、近似、求和、取極限的方法。10將分成n個小曲面現(xiàn)AE,4&,……上孔(面積用同一記號)。每一小曲面塊AS,近似看成平面，其單位法向量是紹上某點形式吞,.片石)處的法向量。通過A"的■體的流速看成常速區(qū)=收小用z；)2c通過的流量力小4?用?g=(P(M)cos.+Q(M^cos4-R(Mi)cosyi.M. +Q(M)Aq艇十WMJA%,其中屬={cqS%cos4,cosyJ/Q,用AcTgAQ也分別是貼在yz,zx,xy平面上的有向投影。3c通過的流量中二E魯冏2月與班號1-1 2-1X二Z【F（M）8s%+。（州）cos,+氏（&6）（：0$立匕￡：j-L力FM)A%+。(昭)A5舞+區(qū)(M)△5&2-1第二類曲面積分（對坐標(biāo)的曲面積分）的定幻設(shè)S是分塊光滑有向曲面。函數(shù)尸0，乂2）,0（工尸2）,改（工乂2）定義在5上。將S任意分成n塊小曲面=