第九章彎曲變形靜不定梁

搖臂鉆床的搖臂或車(chē)床的主軸變形過(guò)大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。

橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大,則會(huì)使小車(chē)行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。

但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿(mǎn)足特定的工作需要。

例如，車(chē)輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車(chē)輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。1.撓曲線(xiàn)二、彎曲變形的基本概念撓曲線(xiàn)2.撓度和轉(zhuǎn)角規(guī)定：向上的撓度為正逆時(shí)針的轉(zhuǎn)角為正撓曲線(xiàn)方程：轉(zhuǎn)角方程：§9-2梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程及其積分一、梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程式

曲線(xiàn)的曲率為梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程:二、用積分法求梁的變形式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定

例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線(xiàn)方程，并確定θmax和vmax。解：由邊界條件：得：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：

例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線(xiàn)方程，并確定θmax和vmax。解：由邊界條件：得：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：

例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線(xiàn)方程，并確定θmax和vmax。解：由邊界條件：得：由對(duì)稱(chēng)條件：得：AC段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：

例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線(xiàn)方程，并確定θmax和vmax。解：由對(duì)稱(chēng)性，只考慮半跨梁ACD由連續(xù)條件：由邊界條件：由對(duì)稱(chēng)條件：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：§9-3用疊加法計(jì)算梁的變形

梁的剛度計(jì)算一、用疊加法計(jì)算梁的變形在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線(xiàn)性關(guān)系。當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。例：用疊加法求解：

例：已知梁的為常數(shù)，今欲使梁的撓曲線(xiàn)在處出現(xiàn)一拐點(diǎn)，則比值為多少？解：由梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程知，在梁撓曲線(xiàn)的拐點(diǎn)處有：從彎矩圖可以看出：

例：兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂梁Ⅰ、Ⅱ如圖示，Ⅱ梁的最大撓度是Ⅰ梁的多少倍？

例：簡(jiǎn)支梁在整個(gè)梁上受均布載荷q作用，若其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？例：欲使AD梁C點(diǎn)撓度為零，求P與q的關(guān)系。解：

例：若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角θB=0，則力偶矩ｍ等于多少？解：例：求圖示梁C、D兩點(diǎn)的撓度vC、vD。解：例：求圖示梁B、D兩處的撓度vB、vD

。解：例：求圖示梁C點(diǎn)的撓度vC。解：

例：用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的撓度vB

、vC

。解：例：用疊加法求圖示梁Ｃ端的轉(zhuǎn)角和撓度。解：

例：用疊加法求圖示梁跨中的撓度vC和B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角θB（ｋ為彈簧系數(shù)）。解：彈簧縮短量

例：梁AB，橫截面為邊長(zhǎng)為a的正方形，彈性模量為E1；桿BC，橫截面為直徑為d的圓形，彈性模量為E2。試求BC桿的伸長(zhǎng)及AB梁中點(diǎn)的撓度。

例：圖示梁Ｂ處為彈性支座，彈簧剛度 。求C端撓度vC。解：(1)梁不變形，僅彈簧變形引起的C點(diǎn)撓度為(2)彈簧不變形，僅梁變形引起的C點(diǎn)撓度為(3)C點(diǎn)總撓度為例：用疊加法求圖示梁B端的撓度和轉(zhuǎn)角。解：二、梁的剛度計(jì)算剛度條件：[v]、[θ]是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。

例：圖示工字鋼梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[v

]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷[P]，并校核強(qiáng)度。解：由剛度條件§9-4提高彎曲剛度的措施

影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，就應(yīng)從上述各種因素入手。一、增大梁的抗彎剛度EI二、減小跨度或增加支承三、改變加載方式和支座位置§9-5用變形比較法解靜不定梁一、靜不定梁的基本概念用多余反力代替多余約束，就得到一個(gè)形式上的靜定梁，該梁稱(chēng)為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。二、用變形比較法解靜不定梁例：求圖示靜不定梁的支反力。

解：將支座B看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：

另解：將支座A對(duì)截面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：