平面向量及其應(yīng)用

向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示回顧一下我們學(xué)了向量的哪些內(nèi)容？我們已將學(xué)習(xí)了向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算，平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及其運(yùn)算律．向量數(shù)乘和共線的坐標(biāo)表示如何推導(dǎo)？平面向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)是什么？設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a=x1i+y1j，b=x2i+y2j．

數(shù)量積的性質(zhì)：

我們知道，向量的表示形式不同，對(duì)其運(yùn)算的表達(dá)形式也會(huì)改變，用坐標(biāo)來(lái)表示向量，為向量的加減法、數(shù)乘和共線運(yùn)算都帶來(lái)了方便，那么下述向量運(yùn)算能否用坐標(biāo)表示呢？（1）向量的數(shù)量積能否用坐標(biāo)表示？（2）向量的模能否用坐標(biāo)表示？（3）兩個(gè)向量的夾角能否用坐標(biāo)表示？類比向量數(shù)乘和共線的坐標(biāo)表示的推導(dǎo)形式，試著探究一下向量的數(shù)量積如何用坐標(biāo)表示．分步第1步，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，作出任意兩個(gè)非零向量a和b，i，j分別是x軸和y軸方向上的單位向量，設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a=x1i+y1j，b=x2i+y2j；

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．i

aOxyb試著探究向量模的坐標(biāo)表示．

分步第1步，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，作出任意向量a，過(guò)a的終點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)M，過(guò)a的終點(diǎn)作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)N；

aOxyMN

向量a模的坐標(biāo)表示：答案：因?yàn)?/p>

，所以．平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式：試著用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩個(gè)向量的夾角．任意非零向量a和b夾角的余弦值能否用坐標(biāo)表示？分步兩向量垂直關(guān)系該如何用坐標(biāo)表示？向量夾角的坐標(biāo)表示垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示

前面的三個(gè)問題推導(dǎo)出了什么結(jié)果？

（1）向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；（2）向量模的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）兩向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算概括2413

．．．判斷正誤并說(shuō)明理由？數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則和性質(zhì)數(shù)量積坐標(biāo)表示的實(shí)際運(yùn)用．判斷依據(jù)

因?yàn)樵谥苯侨切蜛BC中，若B為直角，則m=4，否則不能得到m=4．

已知a=(3，2)，b=(1，-1)，求向量a和向量b夾角的余弦值．直接利用向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算表達(dá)式進(jìn)行求解．

結(jié)合投影數(shù)量，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決距離問題．（1）已知定點(diǎn)A和向量

，點(diǎn)P是直線AB外的一點(diǎn)，請(qǐng)寫出點(diǎn)P到直線AB的

距離的向量表示．（2）已知點(diǎn)A(1，1)，向量m=(2，1)，過(guò)點(diǎn)A作以向量m為方向向量的直線為l，

求點(diǎn)P(3，5)到直線l的距離．

解：（1）做圖如下，設(shè)

，作向量

．則

表示向量

在向量n上的投影數(shù)量，

是點(diǎn)P到直線AB的距離．

由（1）知，求點(diǎn)P到直線l的距離

故選B．B

已知向量a=(1，2)，b=(-3，2)，若ka+b與a-3b垂直，則k=().A.13

B.19C.17D.-19故選A．A

故選C．C

已知A(2，2)，B(4，1)，在x軸上有一點(diǎn)P，使

有最小值，則P點(diǎn)坐標(biāo)為().A.(-3，0)

B.(2，0)C.(3，0)D.(4，0)

所以，當(dāng)x=3時(shí)，

取得最小值為1，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)

．

課堂小結(jié)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長(zhǎng)度等幾何問題．

結(jié)構(gòu)框圖

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