2019-2020學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知命題，，則是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到結(jié)論．【詳解】解：命題是全稱命題，根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可知，命題的否定是：，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．2．已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】求導(dǎo)，再將代入，求得.【詳解】解：因?yàn)?，則，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，遵循先求導(dǎo)再代數(shù)的原則.3．已知命題若，，則；命題若，，則.下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)空間向量的平行和垂直的運(yùn)算，分別判斷命題的真假性，結(jié)合復(fù)合命題的真值表，即可得出正確的答案．【詳解】解：命題若，，可知，，命題是真命題；又命題若，，，則與不垂直，命題是假命題．為真命題．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量平行和垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，也考查了復(fù)合命題的真假性判斷問題，是基礎(chǔ)題目．4．雙曲線E經(jīng)過點(diǎn)，其漸近線方程為，則E的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由漸近線方程為，可設(shè)所求的雙曲線方程為，由雙曲線經(jīng)過點(diǎn)代入可得，從而可得所求的雙曲線方程【詳解】解：已知雙曲線漸近線方程為，故可設(shè)所求的雙曲線方程為，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，代入可得，故所求的雙曲線方程為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的方程的求解，解題的關(guān)鍵是需要由題意設(shè)出雙曲線的方程，在雙曲線的方程求解中，若已知雙曲線方程，可得漸近線方程為；但若漸近線方程為程程為可設(shè)雙曲線方程為．5．三棱錐中，M是棱BC的中點(diǎn)，若，則的值為（）A． B．0 C． D．1【答案】B【解析】由向量的線性運(yùn)算，先求出，再利用平行四邊形法則，即可得出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：由題可知，，由向量線性運(yùn)算得：即，所以，，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，運(yùn)用到三角形法則和平行四邊法則的加減法運(yùn)算.6．如圖所示的是甲，乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在某賽季的前6場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，設(shè)甲、乙兩人這6場(chǎng)比賽得分的平均數(shù)分別為、，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則有（）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】平均數(shù)可直接計(jì)算得到，標(biāo)準(zhǔn)差是表明分布情況，在莖葉圖中，單峰的分布較集中，標(biāo)準(zhǔn)差較小，標(biāo)準(zhǔn)差也可直接得出．【詳解】解：由莖葉圖可知乙的分布比較集中，標(biāo)準(zhǔn)差較小，故，又，故.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差等知識(shí)，根據(jù)莖葉圖觀察出分布情況以及對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的含義，屬于基本題．7．如圖，過球心的平面和球面的交線稱為球的大圓.球面幾何中，球O的三個(gè)大圓兩兩相交所得三段劣弧，，構(gòu)成的圖形稱為球面三角形ABC.與所成的角稱為球面角A，它可用二面角的大小度量.若球面角，，，則在球面上任取一點(diǎn)P，P落在球面三角形ABC內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)球體的性質(zhì)，利用面積比求出概率即可.【詳解】解：由題知，球面角，，，則得出球面三角形是的球面，設(shè)球面三角形的面積為，則球面上任取一點(diǎn)P，P落在球面三角形ABC內(nèi)的概率為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型，通過面積比求概率，還考查球體的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)需要認(rèn)真審題和理解分析題目.8．已知，為橢圓的左，右焦點(diǎn)，E上一點(diǎn)P滿足，的平分線交x軸于點(diǎn)Q，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由橢圓方程得出，根據(jù)橢圓定義和，列式分別求出，和，利用角平分線的性質(zhì)，求出中對(duì)應(yīng)角的正弦值、余弦值，最后利用正弦定理求出.【詳解】解：由橢圓，可知，得，因?yàn)?，由橢圓定義可知，，，則，得,解得：，則，因?yàn)榈钠椒志€交軸于點(diǎn)Q，在中，，所以得，在中，由正弦定理得：，即：，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的邊長和角，通過勾股定理和正弦定理求解，還考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化和解題能力.二、多選題9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是E的右支上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．E的離心率是C．的最小值是6 D．P到兩漸近線的距離的乘積是3【答案】ACD【解析】由雙曲線方程，得出，即可利用定義、離心率、漸近線方程以及點(diǎn)到直線距離公式即可得判斷，進(jìn)而得出答案.【詳解】解：已知雙曲線，得，則，由雙曲線的定義得：，所以選項(xiàng)正確；離心率，所以選項(xiàng)不正確；當(dāng)在右頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值，即，則正確；因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，則，即，則點(diǎn)到和到的距離乘積為：，則正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，涉及到雙曲線的定義、離心率、漸近線方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題，需要對(duì)雙曲線知識(shí)點(diǎn)有一定的掌握.10．正方體中，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．平面平面C．面AEF D．二面角的大小為【答案】BC【解析】通過線面垂直的判定和性質(zhì)，可判斷選項(xiàng)，通過線線和線面平行的判斷可確定和選項(xiàng)，利用空間向量法求二面角，可判斷選項(xiàng).【詳解】解：由題可知，在底面上的射影為，而不垂直，則不垂直于，則選項(xiàng)不正確；連接和，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn)，可知，所以平面，則平面平面，所以選項(xiàng)正確；由題知，可設(shè)正方體的棱長為2，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，得平面的法向量為，所以，所以平面，則選項(xiàng)正確；由圖可知，平面，所以是平面的法向量，則.得知二面角的大小不是，所以不正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體線線、線面、面面的位置關(guān)系，利用線面垂直的性質(zhì)和線面平行的判定，以及通過向量法求二面角，同時(shí)考查學(xué)生想象能力和空間思維.三、填空題11．某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為400件、600件、1000件.為檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有產(chǎn)品中抽取80件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從B產(chǎn)品中抽取________件.【答案】24【解析】根據(jù)題意求出分層抽樣比例，即可算出從產(chǎn)品中抽取的樣本數(shù)據(jù)．【詳解】解：抽樣比例是，應(yīng)從產(chǎn)品中抽?。蚀鸢笧椋?4．【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．12．“”是“”的________條件.（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選擇一項(xiàng)填空.）【答案】充分不必要【解析】由不等式的性質(zhì)可知，由得，反之代入進(jìn)行驗(yàn)證，然后根據(jù)充分性與必要性的定義進(jìn)行判斷，即可得出所要的答案．【詳解】解：由不等式的性質(zhì)可知，由得，故“”成立可推出“”，而，當(dāng)，則，所以“”不能保證“”，故“”是“”成立的充分不必要條件.故答案為：充分不必要．【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)，屬于較簡單題型．13．甲、乙、丙3人各寫一張賀卡置于同一信封，每人隨機(jī)取回一張，則3人取回的賀卡均為他人所寫的概率為________.【答案】【解析】根據(jù)題意，用列舉法分別將所有情況一一列舉出來，再利用古典概型的概率公式求出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)甲的賀卡為，乙的賀卡為，丙的賀卡為，每人隨機(jī)取回一張，則按順序，甲、乙、丙3人取回的賀卡有以下情況：，共有6種情況，則3人取回的賀卡均為他人所寫的有：，2種情況，所以3人取回的賀卡均為他人所寫的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型求概率，利用列舉法將所有基本事件一一列舉出來，屬于基礎(chǔ)題.14．如圖，平行六面體的所有棱長均為1，，E為的中點(diǎn)，則AE的長度是________.【答案】【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，得出，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】解：由題可知，，所以得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算，涉及到線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積，同時(shí)考查學(xué)生的化歸和轉(zhuǎn)化思想.15．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則的取值范圍是________；當(dāng)取得最小值時(shí)，的方程是________.【答案】【解析】先求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)，求出切線斜率，利用基本不等式求的取值范圍，得出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程.【詳解】解:已知曲線，則，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，由于，則，有，即，所以的取值范圍是.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，，得切線的方程為：，即：故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，以及利用基本不等式求出和的最小值.16．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足是，則________；的最小值等于________.【答案】【解析】由拋物線方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，通過韋達(dá)定理求得和，進(jìn)而得出；由拋物線的定義和性質(zhì)，利用基本不等式求最小值，即可得出結(jié)果.【詳解】解：由題可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立方程，得，則，，又因?yàn)?，則，解得：.因?yàn)槭蔷€段的三等分點(diǎn)，則，即，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，得最小值為，而，所以的最小值為：.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，包括聯(lián)立方程、韋達(dá)定理、拋物線的定義和性質(zhì)，還利用基本不等式求最值，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化能力和解題能力，屬于中檔題.四、解答題17．班級(jí)新年晚會(huì)設(shè)置抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié).不透明紙箱中有大小相同的紅球3個(gè)，黃球2個(gè)，且這5個(gè)球外別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5.有如下兩種方案可供選擇：方案一：一次性抽取兩球，若顏色相同，則獲得獎(jiǎng)品；方案二：依次有放回地抽取兩球，若數(shù)字之和大于5，則獲得獎(jiǎng)品.（1）寫出按方案一抽獎(jiǎng)的試驗(yàn)的所有基本事件；（2）哪種方案獲得獎(jiǎng)品的可能性更大？【答案】（1）見解析（2）方案二獲得獎(jiǎng)品的可能性更大.【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)三個(gè)紅球分別為：，兩個(gè)黃球分別為，利用列舉法一一列舉出來即可；（2）方案一，根據(jù)古典概型，分別求出兩種方案的概率，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）方案，設(shè)三個(gè)紅球分別為：，兩個(gè)黃球分別為，則方案一所有可能的基本事為：共10個(gè)基本事件.（2）方案，設(shè)兩次抽查取的球所標(biāo)的數(shù)字分別為、，則所有可能的基本事件對(duì)應(yīng)的二元有序數(shù)組表示如下表，共25個(gè)基本事件：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(34)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)方案一、方案二的基本事件總數(shù)均為有限個(gè)，且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性均相同，故它們都是古典概型.方案一，設(shè)事件：兩球顏色相同，則包含、、、共4個(gè)基本事件，故.方案，設(shè)事件：兩球所標(biāo)數(shù)字之和大于5，則包含、、、、、、、、、、、、、共15個(gè)基本事件，故.因?yàn)椋赃x擇方案二獲得獎(jiǎng)品的可能性更大.【點(diǎn)睛】本題考査古典概型以及概率在生活中的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)考查推理論證能力以及考查邏輯推理與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).18．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，直線交于兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）若以為直徑的圓過原點(diǎn)，求的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，即可得出，求出，即可得出拋物線的方程；（2）設(shè)、，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和，以為直徑的圓過點(diǎn)，，求出，可得出的方程.【詳解】（1）由拋物線的定義可知，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以，解得，所以的方程是.（2）設(shè)、，由題意知.聯(lián)立直線與拋物線:，得.所以，，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，所以，即，所以，解得.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以的方程是.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理、圓的相關(guān)性質(zhì)、向量的數(shù)量積、直線方程等知識(shí)點(diǎn)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).19．記、分別為函數(shù)、的導(dǎo)函數(shù).把同時(shí)滿足和的叫做與的“Q點(diǎn)”.（1）求與的“Q點(diǎn)”；（2）若與存在“Q點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）對(duì)與進(jìn)行求導(dǎo)，由和，結(jié)合新定義，即可求出與的“”點(diǎn)；（2）對(duì)與分別求導(dǎo)，根據(jù)新定義列式，求出a的值.【詳解】（1）因?yàn)?，設(shè)為函數(shù)與的一個(gè)“”點(diǎn).由且得，解得.所以函數(shù)與的“”點(diǎn)是2.（2）因?yàn)?，設(shè)為函數(shù)與的一個(gè)“”點(diǎn).由且得，由②得代入①得，所以.所以.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算以及函數(shù)與方程問題，結(jié)合新定義，同時(shí)考查推理論證能力以及方程思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).20．如圖，四棱錐中，平面ABCD，，，PC與平面ABCD所成的角為，又.（1）證明：平面平面PCD；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）由平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，得出，再結(jié)合面面垂直的判斷，即可證明平面平面PCD；（2）因?yàn)?，PC與平面ABCD所成的角為，求出，建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量法，分別求出平面和平面的法向量，通過二面角公式求出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)榍遥云矫?，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)槠矫?，所以為在平面?nèi)的射影，所以為與平面所成角，故，在中，因?yàn)?，所以，在中，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋裕?在，因?yàn)椋?，所?以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系：則，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.所以，觀察可知，二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考査線面垂直的性質(zhì)、面面垂直得判斷、線面角定義以及用向量法求二面角等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.21．配速是馬拉松運(yùn)動(dòng)中常使用的一個(gè)概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時(shí)間，相比配速，把心率控制在一個(gè)合理水平是安全理性跑馬拉松的一個(gè)重要策略.圖1是一個(gè)馬拉松跑者的心率（單位：次/分鐘）和配速（單位：分鐘/公里）的散點(diǎn)圖，圖2是一次馬拉松比賽（全程約42公里）前3000名跑者成績（單位：分鐘）的頻率分布直方圖：（1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求與的線性回歸方程；（2）該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160左右跑完全程，估計(jì)他能獲得的名次.參考公式：線性回歸方程中，，參