初二數(shù)學(xué)等腰三角形性質(zhì)第1頁(yè)/共35頁(yè)第2頁(yè)/共35頁(yè)第3頁(yè)/共35頁(yè)第4頁(yè)/共35頁(yè)第5頁(yè)/共35頁(yè)等腰三角形§14.3.1第6頁(yè)/共35頁(yè)動(dòng)手做一做ACB△ABC有什么特點(diǎn)?看一看第7頁(yè)/共35頁(yè)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.ACB腰腰底邊頂角底角底角概念第8頁(yè)/共35頁(yè)

1、等腰三角形一腰為3cm,底為4cm,則它的周長(zhǎng)是

；

2、等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為4cm,則它的周長(zhǎng)是

；

3、等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為8cm,則它的周長(zhǎng)是

。

10cm10cm或11cm19cm小試牛刀第9頁(yè)/共35頁(yè)

把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角.找一找

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？思考等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是頂角平分線所在的直線。第10頁(yè)/共35頁(yè)重合的線段重合的角

AB＝ACBD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD∠ADB＝

∠ADC

等腰三角形除了兩腰相等以外,

你還能發(fā)現(xiàn)它的角有什么性質(zhì)嗎?

大膽猜想第11頁(yè)/共35頁(yè)猜想與論證等腰三角形的兩個(gè)底角相等。已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B=C分析：1.如何證明兩個(gè)角相等？

2.如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形？第12頁(yè)/共35頁(yè)

如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形?第13頁(yè)/共35頁(yè)ABC則有∠1＝∠2D12在△ABD和△ACD中證明:

作頂角的平分線AD，AB＝AC

∠1＝∠2

AD＝AD

（公共邊）

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

方法一第14頁(yè)/共35頁(yè)ABC則有BD＝CDD在△ABD和△ACD中證明:

作△ABC

的中線ADAB＝AC

BD＝CDAD＝AD

（公共邊）

∴

△ABD≌

△ACD

（SSS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

方法二第15頁(yè)/共35頁(yè)ABC則有∠ADB＝∠ADC＝90oD在Rt△ABD和Rt△ACD中證明:

作△ABC

的高線ADAB＝AC

AD＝AD

（公共邊）

∴Rt△ABD≌Rt△ACD

（HL）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

方法三第16頁(yè)/共35頁(yè)用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）等腰三角形的性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等第17頁(yè)/共35頁(yè)⒈等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為:75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°小試牛刀⒉等腰三角形一個(gè)角為70°,它的另外兩個(gè)角為:3.等腰三角形一個(gè)角為110°,它的另外兩個(gè)角為:①頂角+2×底角=180°②頂角=180°－2×底角③底角=（180°－頂角）÷2④0°＜頂角＜180°⑤0°＜底角＜90°結(jié)論:在等腰三角形中,第18頁(yè)/共35頁(yè)想一想:

剛才的證明除了能得到∠B＝∠C你還能發(fā)現(xiàn)什么?重合的線段重合的角

AB＝ACBD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD

∠ADB＝∠ADC=90°第19頁(yè)/共35頁(yè)等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊.性質(zhì)2(等腰三角形三線合一)是真是假

等腰三角形的頂角平分線與底邊上的中線，底邊上的高互相重合性質(zhì)2可分解成下面三個(gè)方面來(lái)理解：第20頁(yè)/共35頁(yè)1、等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高。應(yīng)用格式：∵AB＝AC∠1＝∠2（已知）∴BD＝DCAD⊥BC（等腰三角形三線合一）2、等腰三角形的底邊上中線，既是底邊上的高，又是

頂角平分線。應(yīng)用格式：∵AB＝ACBD＝DC（已知）∴AD⊥BC∠1＝∠2

（等腰三角形三線合一）3、等腰三角形的底邊上的高，既是底邊上的中線，又是頂角平分線。應(yīng)用格式：∵AB＝ACAD⊥BC（已知）∴BD＝DC∠1＝∠2

（等腰三角形三線合一）

第21頁(yè)/共35頁(yè)畫(huà)出任意一個(gè)等腰三角形的底角平分線、這個(gè)底角所對(duì)的腰上的中線和高，看看它們是否重合？不重合！三線合一“三線合一”應(yīng)該對(duì)應(yīng)等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線和底邊上的高為什么不一樣?第22頁(yè)/共35頁(yè)1、等腰三角形的頂角一定是銳角。2、等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以。3、等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊。4、等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合。5、等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角（X）（X）（√）（X）（√）明辨是非第23頁(yè)/共35頁(yè)例1、如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)。xx2x2x2x解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等邊對(duì)等角)設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，ABC=∠C=72°第24頁(yè)/共35頁(yè)1.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∠B=30。求∠１和∠ADC的度數(shù)．解:∵AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)∠ADC＝90?！摺螧AC=180。-30。-30。=120

。（三線合一）課堂練習(xí)：第25頁(yè)/共35頁(yè)2.在△

ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠

B和∠C的度數(shù).ABCDxx2x2x解:設(shè)∠C=x,∵AD=DC(已知)∴∠C=∠DAC=x(等角對(duì)等邊)∵∠ADC=∠C+∠DAC(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)∴∠ADC=x+x=2x(等量代換)∵AB=AD(已知)∴∠B=∠ADB=2x(等邊對(duì)等角)∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°(三角形內(nèi)角和等于180°)∠BAD=26°(已知)∴2x+26°+2x=180°(等量代換)解之得,x=38.5°∴∠C=38.5°,∠B=79°第26頁(yè)/共35頁(yè)第27頁(yè)/共35頁(yè)第28頁(yè)/共35頁(yè)

3.如圖：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它們相交于點(diǎn)H，且AE=BE.求證：AH=2BDABCDEH證明：∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD⌒1⌒2又∵BE是高，∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°在△AEH和△BEC中∴△AEH≌△BEC(ASA)∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴∠1=∠2

︸∠AEH=∠BECAE=BE∠1=∠2

∴AH=BC∴AH=2BD第29頁(yè)/共35頁(yè)一次數(shù)學(xué)課上，老師布置了一道幾何證明題，通過(guò)大家的激烈討論得到了許多種證明方法，聰明的你們，能找出幾種證明方法呢？試試看吧！4.如圖，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AF,求證：ED⊥BCABCDEF第30頁(yè)/共35頁(yè)第31頁(yè)/共35頁(yè)請(qǐng)你證明下列結(jié)論:1.求證:等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等.2.求證:等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的中點(diǎn)的距離相等.3.求證:等腰三角形兩腰上的高相等.4.求證:等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等.第32頁(yè)/共35頁(yè)1.求證:等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等.ABCDEF已知:在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC.求證:DE=DF證明:∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)∵DE⊥AB,DF⊥AC(已知)∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定義)在△DBE與△DCF中∠DEB=∠DFC(已證)∠B=∠C(已證