i222A2群論復(fù)習(xí)思考題．寫出C對(duì)性群的類、元素的階及所有不變子群，并證明下述結(jié)論：（1C的變子群H的變子群K不定是C的變子群。（2C的變子群的交集仍是C的變子群。．試由

i

生成一矩陣群證此群為階群分五類但與不構(gòu)。（提示：證明該矩陣群中四階元有個(gè)而中只有個(gè)）．若一的元素為2階證明它可以是階群。．（1設(shè)由，成的群為幾階群？列舉兩個(gè)與其同構(gòu)的群的例子。（2若a積可對(duì)易，且

3

=e,明ab生的群定是循環(huán)群。．?dāng)⑹鰬B(tài)核定，并加以證明。．若群是2n階H為的n階子群，則H必的變子群。其商群必為二階循環(huán)群。．若群G=H之積。

，證明1）商群G/HK同;（）群G的類數(shù)等于兩因子群類數(shù)．（1證明有限群共軛類中所含元素?cái)?shù)目也是群階的因子。（2證明置換群S中屬于同一配分的各種可能置換元素屬于同一類。n）a,b,c為元，試證abc,bca,cab同。（2證明下列循環(huán)積恒等式：10證明在適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)下，群G可表示的形式是OD其中

分別是階和方陣；

列矩陣，而是行n列零矩陣。（提示：采用行矢量基矢，

i

i

）/

）R空間中平移用

a

表示。定義為

rr'ra

，求平移算符

J

a

的形式。（2繞z軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

R面線性變換求得。試求

R12述舒爾引理Ⅰ和Ⅱ分別給出一種證明利用舒爾引理導(dǎo)出群的不可約表示的正交關(guān)系

G

*()

()ij

il

13定兩個(gè)基函數(shù)

(r)x1

2

y

2

,(r)xy2

構(gòu)成二維空間

a2R

。求

3

群在

F

上的誘導(dǎo)算符表示。14若在三維空間中給定三個(gè)獨(dú)立的基矢

i1,2,3，換群的素S對(duì)a的作用是i3iAsa=ai

s

照一方法寫出

S

3

所有元素的表示矩陣種示否可約？如可約，它包含幾個(gè)哪一類不等價(jià)不可約表示？15試用列表形式給出群不可約表示特征標(biāo)表。并簡(jiǎn)要推導(dǎo)和說(shuō)明。5v16一個(gè)具有

4

對(duì)稱性的正四棱錐體系，沿一組相對(duì)面方向受到壓縮，壓縮后對(duì)稱性群是，出和的可約表示特征標(biāo)表，并利用其說(shuō)明該體受擾動(dòng)前后的能級(jí)分裂2v2情況。17對(duì)于幺正不可約表示

(

，

(

，

(

)

，證明直積表示

D

(

D

(

)

，

D

(

)

D

(

和D

(

D

(

中分別包含不可約表示

*(

，

*(

，

*(

)

的次數(shù)相等。證明群的正則表示中包含其所有不可約表示，且每個(gè)不可約表示出現(xiàn)的次數(shù)等于該不可約表示的維數(shù)。18群的元素可表示為

**

*

，證明a的實(shí)部相同的元素屬于同一類。/

22*19.試SO(3)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系

D(j)'m

'm

iiee22由

D

(j

給出轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣元

D

(j)'

的表達(dá)式。20.求群兩個(gè)2維示積的約化系。321.用稱基函數(shù)法將D群F={f(r∈R}上的誘導(dǎo)算符群的表3示T約(提示D群維示一定可約)。3采用角方法寫出SO(3)群元素

R

的表矩陣。今一定軸動(dòng)C

k

e,e=(ee13231

),求軸的向和轉(zhuǎn)角。23寫出反映正四面體完全對(duì)稱性的可約表示特征標(biāo)。

d

群所包含的所有點(diǎn)操作，它分為幾類？求相應(yīng)的不24求C群不可約表示及相應(yīng)的表示的特征標(biāo)。nv25求立方體轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱群二個(gè)三不可約表示的表示矩陣和特征標(biāo)示：用對(duì)稱化基函數(shù)）26敘述晶體轉(zhuǎn)軸制約定理，并證明之。間移矢量

的格點(diǎn)數(shù)為s

s

平群的不可約表示

T

(k)(n)

，這種表示有多少個(gè)？各是幾維的？28寫出

CH,34

6

分子的對(duì)稱點(diǎn)操作群。．寫出標(biāo)準(zhǔn)盤

24

的楊算符。試驗(yàn)證它們是原始冪等元。30用標(biāo)準(zhǔn)楊盤（表）方法求置換群S

的

1214的表示矩陣。31用階梯法求以下不可約表示的類特征標(biāo)。（1

4,2(2)

（）

4,3,1(3,2)32利用特征標(biāo)表驗(yàn)證下列直積表示關(guān)系

D

/

⊙23423⊙23423

D

1D推廣到一般情況。試論證：兩個(gè)不可約表示的直積

D

(

D

(

)

仍為不可約表示的條件是什么？33置換群的可約表示3

的自身外積

的約化用表示維數(shù)加以驗(yàn)證。34）證楊圖等式⊙=⊙⊙-⊙（2計(jì)算外積⊙，并驗(yàn)證維數(shù)。（3將下列外積表示成一系列與一維表示之外積的代數(shù)和*

35.

分別計(jì)算群所(K-1,K)對(duì)換在下列兩個(gè)不可約表示的實(shí)正交矩陣形式算它6們之間的相似變換矩陣X[2

3

]

]（提示：

]X6]結(jié)果：

00X0

00011000

）

1

00

*

36.GL(5,C)群的秩量空間可約化為哪些不變的張量子空間，其子空間的維數(shù)各為多少？（用公提示*37.由通張量

T

iiii

寫[3，對(duì)稱形張量具體形式。*

38