北京黃土崗中學2021-2022學年高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.命題“若，則有實數(shù)根”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，假命題的個數(shù)是（▲）

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C略2.已知cos（+a）=，﹣＜a＜0，則sin2α的值是(

) A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：D考點：二倍角的正弦．專題：三角函數(shù)的求值．分析：由已知可先求sina的值，根據(jù)﹣＜a＜0，可求cosa的值，從而由二倍角公式可求sin2α的值．解答： 解：cos（+a）=，?coscosa﹣sinsina=，?﹣sina=，?sina=﹣，∵﹣＜a＜0，∴cosa==∴sin2α=2sinacosa=2×=﹣．故選：D．點評：本題主要考查了同角三角函數(shù)關系式、二倍角公式的應用，屬于基本知識的考查．3.明代程大位《算法統(tǒng)宗》卷10中有題：“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭兒盞燈？”你的答案是（）A．2盞 B．3盞 C．4盞 D．7盞參考答案：B【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：設每層塔的燈盞數(shù)為an，數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列．由題意可得：，解得a1=3，故選：B．4.已知復數(shù)，則的虛部是（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：B略5.已知向量滿足，，，則=(

)A.0 B.2 C. D.參考答案：D【分析】直接利用向量的模的公式求解.【詳解】由題得.故選：D【點睛】本題主要考查向量的模的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6.下列函數(shù)中，滿足“”的單調遞增函數(shù)是（

）（A）

（B）

（C） （D）參考答案：B7.集合，則＝（）A．{0,2,3} B．{0,1,4} C．{1,2,3} D．{1,4,5}參考答案：D略8.已知a，b∈R，直線y＝ax+b與函數(shù)f（x）＝tanx的圖象在x處相切，設g（x）＝ex+bx2+a，若在區(qū)間[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，則實數(shù)m（）A.有最小值﹣e B.有最小值eC.有最大值e D.有最大值e+1參考答案：D試題分析：，，所以，又，，所以，，，當時，，因此在上遞增，所以，從而在上是增函數(shù)，的最小值為，最大值為，因此由在區(qū)間上,不等式恒成立得，解得或，所以最大值為．故選D．考點：導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與單調性、最值．【名師點睛】本題是一道綜合題，解題要求對所涉及的知識都能正確理解運用．首先考查導數(shù)的幾何意義，通過導數(shù)求函數(shù)圖象的切線方程知識點求出參數(shù)值，不等式恒成立，轉化為求函數(shù)的最值，從而解相應不等式得出結論，這里求的最值時，要確定單調性，也即要確定導數(shù)的正負，對導數(shù)的正負不易確定時，可對它再一次求導，由的正負，確定的單調性，從而確定正負，是我們常用的方法．9.設函數(shù)，若不等式恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A函數(shù)的定義域為，不等式，即，兩邊除以，則,注意到直線：恒過定點，函數(shù)圖象上恰有兩個橫坐標為整數(shù)的點落在直線的上方，由圖象可知，這兩個點分別為，所以直線的斜率的取值范圍為，即.故選：A點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．10.f(x)是定義在（0，±∞）上的非負可導函數(shù)，且滿足xf(x)+f(x)≤0,對任意正數(shù)a、b,若a＜b，則必有A.af(b)≤bf(a)

B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)

D.bf(b)≤f(a)參考答案：答案：A解析：設F（x）=，則，故F（x）=為減函數(shù)，由a＜b有，選A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數(shù)的定義域分別為，且，若對于任意，都有，則稱函數(shù)為在上的一個延拓函數(shù)．設，為在R上的一個延拓函數(shù)，且g(x)是奇函數(shù)．給出以下命題：

①當時，

②函數(shù)g(x)有5個零點；

③的解集為；

④函數(shù)的極大值為1，極小值為-1;

⑤，都有.

其中正確的命題是________．（填上所有正確的命題序號）參考答案：①③⑤12.的展開式的第3項的系數(shù)為

，展開式中的系數(shù)為

．參考答案：21，－35的通項為，要得到展開式的第項的系數(shù)，令，令的系數(shù)為，故答案為21，－35.

13.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)的虛部是______.參考答案：2略14.已知均為正數(shù)，且，則的最大值為

參考答案：15.如圖，兩個等圓⊙與⊙外切，過作⊙的兩條切線是切點，點在圓上且不與點重合，則=

.參考答案：略16.已知向量

。參考答案：-3或017.曲線y=在點（1，1）處的切線方程為．參考答案：x+y﹣2=0考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．

專題：計算題；導數(shù)的概念及應用．分析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導數(shù)，從而得到切線的斜率，再利用點斜式方程寫出切線方程即可．解答：解：y=的導數(shù)y'=，y'|x=1=﹣1，而切點的坐標為（1，1），∴曲線y=在在x=1處的切線方程為x+y﹣2=0．故答案為：x+y﹣2=0點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查運算求解能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）（2015?濟寧一模）已知等比數(shù)列{an}的公比為q，a1=，其前n項和為Sn（n∈N*），且S2，S4，S3成等差數(shù)列．（I）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn=Sn﹣（n∈N*），求bn的最大值與最小值．參考答案：【考點】：等比數(shù)列的性質；數(shù)列的函數(shù)特性．【專題】：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出S2，S4，S3，然后根據(jù)S2，S4，S3成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質列出關系式，將表示出的S2，S4，S3代入得到關于a1與q的關系式，由a1≠0，兩邊同時除以a1，得到關于q的方程，求出方程的解，即可得到數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）Sn=1﹣，分類討論，利用函數(shù)的單調性，即可求出bn的最大值與最小值．解：（Ⅰ）由題意，q≠1，則∵S2，S4，S3成等差數(shù)列，∴2S4=S2+S3，又數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴4（a1+a1q+a1q2+a1q3）=（a1+a1q）+（a1+a1q+a1q2），整理得：2q2﹣q﹣1=0，解得：q=1或q=﹣，∴an=；

（Ⅱ）Sn=1﹣，n為奇數(shù)時，Sn=1+，隨著n的增大而減小，所以1＜Sn≤S1=，因為y=x﹣在（0，+∞）上為增函數(shù)，bn=Sn﹣（n∈N*），所以0＜bn≤；n為偶數(shù)時，Sn=1﹣，隨著n的增大而增大，所以S2≤Sn＜1，因為y=x﹣在（0，+∞）上為增函數(shù)，bn=Sn﹣（n∈N*），所以﹣≤bn＜0；所以﹣≤bn＜0或0＜bn≤，所以bn的最大值為，最小值為﹣．【點評】：此題考查了等差數(shù)列的性質，等比數(shù)列的通項公式、求和公式，熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．19.設拋物線C的方程為，M為直線上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線，切點分別為．（1）當時，求證：直線恒過定點；（2）當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使為直角三角形．若存在，有幾個這樣的點；若不存在，說明理由．參考答案：20.已知關于x的二次函數(shù).(I)設集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率；(II)設點(a，b)是區(qū)域內的一點，求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率．參考答案：(1)∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為直線x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當且僅當a＞0且≤1，即2b≤a.(2分)若a＝1，則b＝－1；若a＝2，則b＝－1或1；若a＝3，則b＝－1或1.∴事件包含基本事件的個數(shù)是1＋2＋2＝5.(5分)∴所求事件的概率為＝.(6分)(2)由(1)，知當且僅當2b≤a且a＞0時，函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，(8分)依條件可知事件的全部結果所構成的區(qū)域為，構成所求事件的區(qū)域為三角形部分．由得交點坐標為，(10分)∴所求事件的概率為P＝＝.(12分)21.（本題滿分14分）在中，分別為的對邊,已知．(1)求；（2）當，時，求的面積．參考答案：22.在如圖所示的四邊形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=2，設∠ACB=θ，點C到AD的距離為h．（1）當θ=15°，求h的值；（2）求AB+BC的最大值．參考答案：【考點】解三角形．【專題】數(shù)形結合；轉化思想；解三角形．【分析】（1）由θ=15°，可得∠BAC=45°．由AB⊥AD，可得∠D=75°，過點C作CE⊥AD，垂足為E點．在△ACD中，由正弦定理可得：AC．即可得出h=ACsin45°．（2）在△ABC中，可得∠BAC，于是可得∠DAC=30°+θ．θ∈（0°，60°）．可得∠D=90°﹣θ．在△ACD中，由正弦定理可得：AC=4cosθ．在△ABC中，由正弦定理可得：AB，BC，化簡即可得出．【解答】解：（1）∵θ=15°，∴∠BAC=180°﹣120°﹣15°=45°，∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠D=180°﹣60°﹣45°=75°，如圖所示，過點C作CE⊥AD，垂足為E點．在△ACD中，由正弦定理可得：=，∴AC=+．∴h=ACsin45°=+1．（2）在△ABC中，∠BAC=60°﹣θ，∴∠DAC=30°+θ．θ∈（0°，60°）．∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠D=180°﹣60°﹣（30°+θ）=90°﹣θ．