學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第24講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.了解平面向量的基本定理及其意義．2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．3．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.2017·全國(guó)卷Ⅰ，132017·全國(guó)卷Ⅲ,132017·江蘇卷，122016·四川卷,9對(duì)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的考查主要是加、減、數(shù)乘及向量共線定理的坐標(biāo)表示及應(yīng)用.分值：5分1．兩個(gè)向量的夾角（1）定義已知兩個(gè)__非零__向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→）)＝a,eq\o(OB，\s\up6（→）)＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．（2)范圍向量夾角θ的范圍是__[0°，180°]__,a與b同向時(shí),夾角θ＝__0°__；a與b反向時(shí),夾角θ＝__180°__。（3）向量垂直若向量a與b的夾角是__90°__,則a與b垂直，記作__a⊥b__.2．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)__不共線__向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,__有且只有__一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a＝__λ1e1＋λ2e2__。其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組__基底__.（2）平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)__互相垂直__的向量，叫做把向量正交分解．（3）平面向量的坐標(biāo)表示①在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底,對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y,使得a＝xi＋yj，把有序數(shù)對(duì)__(x，y）__叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝__(x，y)__，其中__x__叫做a在x軸上的坐標(biāo)，__y__叫做a在y軸上的坐標(biāo)；②設(shè)eq\o（OA,\s\up6（→)）＝xi＋yj，則向量eq\o(OA，\s\up6（→）)的坐標(biāo)(x，y）就是__終點(diǎn)A的坐標(biāo)__，即若eq\o(OA，\s\up6(→）)＝（x，y)，則點(diǎn)A坐標(biāo)為_(kāi)_（x，y）__，反之亦成立(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的加法、減法設(shè)a＝（x1,y1），b＝（x2，y2)，則a＋b＝__（x1＋x2，y1＋y2)__,a－b＝__(x1－x2，y1－y2）__向量的數(shù)乘設(shè)a＝(x,y)，λ∈R，則λa＝__（λx，λy）__向量坐標(biāo)的求法設(shè)O(0,0），A(x1，y1)，B（x2，y2),則eq\o（OA，\s\up6（→)）＝__（x1，y1)__，eq\o(AB,\s\up6（→））＝__(x2－x1，y2－y1）__4．向量共線的坐標(biāo)表示若a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2)，則a∥b?__x1y2－x2y1__＝0，特別地,若x2，y2≠0，則a∥b?eq\f(x1，x2）＝eq\f(y1，y2）。5．三點(diǎn)共線定理若eq\o(OA,\s\up6（→）)，eq\o（OB，\s\up6（→))是平面內(nèi)不共線的向量,則存在實(shí)數(shù)λ1，λ2使得eq\o(OC，\s\up6(→））＝λ1eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up6(→)），則當(dāng)λ1＋λ2＝1時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線，特別地,當(dāng)λ1＝λ2＝eq\f(1，2）時(shí),C是A與B的中點(diǎn)．1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√"或“×”)．(1）平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變．(√）(2)平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量均可作為一組基底．（√）(3）向量eq\o（AB,\s\up6(→)）與eq\o（BC,\s\up6(→））的夾角為∠ABC．(×)（4)在同一組基底下同一向量的表現(xiàn)形式是唯一的．（√）解析(1)正確．由向量的坐標(biāo)表示可知向量不論怎樣平移，其坐標(biāo)均為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，故平移后坐標(biāo)不變．(2）正確．由基底的定義可知，只要兩向量不共線均可作為一組基底．(3）錯(cuò)誤．兩向量的夾角，關(guān)鍵要看起點(diǎn)與方向，eq\o（AB,\s\up6（→)）與eq\o(BC,\s\up6（→))的夾角應(yīng)為∠ABC的補(bǔ)角．(4）正確．由平面向量基本定理可知存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ,μ,使a＝λe1＋μe2，故其表現(xiàn)形式唯一．2．若向量eq\o（AB,\s\up6（→））＝（1,2），eq\o（BC,\s\up6（→）)＝（3，4)，則eq\o（AC，\s\up6(→))＝(A)A．（4，6） B．（－4，－6）C．（－2，－2) D．(2，2）解析∵eq\o(AC，\s\up6(→））＝eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o(BC,\s\up6(→)），∴eq\o（AC,\s\up6（→))＝(1,2）＋（3,4）＝(4，6）．3．已知兩點(diǎn)A（4,1）,B（7，－3)，則與eq\o（AB，\s\up6(→)）同向的單位向量是（A)A．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3,5)，－\f(4，5)）） B．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3,5),\f(4,5))）C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3，5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（4，5），－\f（3，5）))解析∵A(4，1),B（7，－3）,∴eq\o(AB，\s\up6(→))＝(3，－4）,∴與eq\o（AB，\s\up6(→）)同向的單位向量為eq\f（\o（AB,\s\up6(→))，｜\o(AB,\s\up6(→))|）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3,5)，－\f(4，5）））.4．(2017·山東卷)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ）．若a∥b，則λ＝__－3__.解析∵a∥b，∴－1×6＝2λ,∴λ＝－3.5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點(diǎn)M，N分別是CD，AB的中點(diǎn),設(shè)eq\o（AB,\s\up6（→）)＝a，eq\o（AD，\s\up6（→))＝b。若eq\o（MN，\s\up6(→））＝ma＋nb，則eq\f(n,m)＝__－4__。解析∵eq\o（MN，\s\up6（→)）＝eq\o(MD,\s\up6（→））＋eq\o（DA，\s\up6（→））＋eq\o(AN，\s\up6（→))＝－eq\f（1,4）a－b＋eq\f(1，2）a＝eq\f（1，4）a－b，∴m＝eq\f（1，4）,n＝－1，∴eq\f(n，m)＝－4。一平面向量基本定理的應(yīng)用（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2）用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．【例1】（1)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若eq\o(AC，\s\up6(→))＝λeq\o（AE，\s\up6(→))＋μeq\o（AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝__eq\f（4,3）__.(2)如圖所示,在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AB，\s\up6（→））＝meq\o(AM,\s\up6（→)），eq\o（AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→）),則mn的最大值為_(kāi)_1__.解析（1)選擇eq\o（AB,\s\up6（→)），eq\o（AD，\s\up6(→）)作為平面向量的一組基底，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o（AD，\s\up6(→）），eq\o(AE,\s\up6（→))＝eq\f（1，2）eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o(AD，\s\up6（→)），eq\o（AF,\s\up6（→）)＝eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\f（1,2)eq\o（AD，\s\up6(→)),又eq\o(AC,\s\up6(→）)＝λeq\o（AE，\s\up6(→)）＋μeq\o（AF，\s\up6（→)）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)λ＋μ）)eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ）)eq\o（AD,\s\up6（→))，于是得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）λ＋μ＝1，，λ＋\f(1，2)μ＝1，）)即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝\f（2,3），,μ＝\f(2,3），）)故λ＋μ＝eq\f(4，3).（2）∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AO，\s\up6（→）)＝eq\f（1，2)(eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\o（AC,\s\up6(→）））．又∵eq\o(AB,\s\up6（→））＝meq\o(AM，\s\up6（→)），eq\o（AC，\s\up6（→）)＝neq\o（AN,\s\up6(→）)，∴eq\o（AO，\s\up6(→))＝eq\f（m，2）eq\o(AM，\s\up6(→)）＋eq\f（n，2)eq\o（AN，\s\up6(→））。又∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴eq\f（m，2）＋eq\f(n，2)＝1，即m＋n＝2，∴mn≤eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(m,2）＋\f（n,2)))2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)取等號(hào)，故mn的最大值為1。二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則．【例2】(2017·江蘇卷)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量Oeq\o（A,\s\up6(→）），Oeq\o（B,\s\up6(→））,Oeq\o(C,\s\up6(→)）的模分別為1，1，eq\r(2)，Oeq\o(A,\s\up6(→））與Oeq\o(C，\s\up6(→）)的夾角為α，且tanα＝7，Oeq\o（B，\s\up6(→))與Oeq\o(C,\s\up6(→))的夾角為45°。若Oeq\o(C，\s\up6（→））＝mOeq\o（A,\s\up6(→）)＋nOeq\o（B，\s\up6（→））（m,n∈R),則m＋n＝__3__。解析以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0),由tanα＝7，α∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f（π,2）））,得sinα＝eq\f（7,5\r（2)),cosα＝eq\f（1,5\r（2))，設(shè)C(xC，yC）,B（xB,yB),則xC＝|eq\o(OC，\s\up6(→））｜c(diǎn)osα＝eq\r(2)×eq\f（1，5\r(2))＝eq\f(1,5），yC＝｜eq\o（OC，\s\up6(→））｜sinα＝eq\r（2）×eq\f(7,5\r(2）)＝eq\f(7，5)，即Ceq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,5），\f(7,5))）.又cos(α＋45°）＝eq\f(1,5\r(2)）×eq\f(1,\r(2））－eq\f（7,5\r(2)）×eq\f(1，\r（2)）＝－eq\f（3，5)，sin(α＋45°）＝eq\f（7,5\r（2))×eq\f（1，\r(2）)＋eq\f（1,5\r(2）)×eq\f（1,\r（2））＝eq\f（4,5），則xB＝|eq\o（OB，\s\up6(→)）｜c(diǎn)os(α＋45°）＝－eq\f(3,5），yB＝｜eq\o（OB，\s\up6（→）)|sin(α＋45°)＝eq\f(4，5)，即Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（3，5）,\f(4，5））)，由eq\o(OC，\s\up6(→））＝meq\o（OA，\s\up6(→））＋neq\o(OB,\s\up6(→))，可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1,5）＝m－\f（3,5）n，,\f（7，5）＝\f（4,5)n，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝\f（5,4)，,n＝\f(7，4)，))所以m＋n＝eq\f(5,4)＋eq\f（7,4)＝3。三平面向量共線的坐標(biāo)表示(1）利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a＝（x1,y1)，b＝(x2，y2),則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1"解題比較方便(2）利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．【例3】(1）已知點(diǎn)A(0，1）,B(3，2)，C（2，k),且A，B，C三點(diǎn)共線，則向量eq\o（AC,\s\up6(→)）＝(A）A．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2，\f（2,3)）) B．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2，\f（5，3)））C．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2，3）,2)） D．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5，3),2)）(2）已知向量m＝(1,7）與向量n＝(k，k＋18)平行，則k的值為（B)A．－6 B．3C．4 D．6解析（1）Aeq\o(B,\s\up6(→))＝（3，1）,Aeq\o(C，\s\up6(→）)＝(2,k－1)，因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以可設(shè)Aeq\o（B,\s\up6(→))＝λAeq\o（C，\s\up6(→)),即(3，1）＝λ(2，k－1)，所以2λ＝3，即λ＝eq\f（3，2)，所以Aeq\o（C，\s\up6（→））＝eq\f(1，λ)Aeq\o（B,\s\up6（→)）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3）)）。（2）因?yàn)閙∥n，所以7k＝k＋18，解得k＝3。故選B．1．（2018·全國(guó)名校大聯(lián)考）設(shè)平面向量a＝（1,2）,b＝(2，y），若a∥b，則｜2a＋b|＝(BA．3eq\r（5） B．4eq\r(5)C．4 D．5解析由題意得1×y－2×2＝0，解得y＝4，則2a＋b＝（4，8）,所以|2a＋b｜＝eq\r（42＋82)＝4eq\r（5）。故選B．2．已知向量a＝（3，－2）,b＝（x,y－1），且a∥b,若x，y均為正數(shù)，則eq\f(3,x）＋eq\f(2,y)的最小值是(B）A．24 B．8C．eq\f（8，3) D．eq\f（5,3）解析∵a∥b，∴－2x－3（y－1)＝0，即2x＋3y＝3，∴eq\f（3，x）＋eq\f（2，y)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3,x）＋\f(2，y）))×eq\f(1，3）(2x＋3y)＝eq\f（1，3）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(6＋\f（9y，x）＋\f（4x,y）＋6))≥eq\f（1,3）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（12＋2\r（\f(9y，x）·\f（4x,y）)））＝8，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y＝eq\f(3,2)時(shí)，等號(hào)成立．∴eq\f（3，x)＋eq\f（2，y)的最小值是8。故選B．3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，eq\o（BC，\s\up6（→)）＝3eq\o(EC，\s\up6（→）），F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則eq\o(BF,\s\up6（→））＝(C)A．eq\f(2，3)eq\o（AB,\s\up6（→)）－eq\f（1,3）eq\o(AD,\s\up6(→）） B．eq\f（1，3）eq\o（AB，\s\up6(→）)－eq\f(2，3)eq\o（AD，\s\up6(→）)C．－eq\f（2,3)eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\f（1，3)eq\o（AD,\s\up6（→)） D．－eq\f(1,3)eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\f(2，3）eq\o(AD，\s\up6（→）)解析eq\o(BF,\s\up6(→）)＝eq\o（BA,\s\up6(→）)＋eq\o(AF,\s\up6（→）)＝eq\o(BA，\s\up6(→））＋eq\f(1,2)eq\o(AE，\s\up6(→))＝－eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\f（1,2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\o(AD，\s\up6(→）)＋\f(1,2)\o（AB，\s\up6(→））＋\o(CE，\s\up6（→）)))＝－eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\f（1，2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\o(AD,\s\up6(→））＋\f(1，2）\o(AB,\s\up6（→))＋\f（1,3)\o（CB,\s\up6（→))）)＝－eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\f（1，2）eq\o(AD，\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\f(1，6）(eq\o(CD，\s\up6(→）)＋eq\o（DA，\s\up6（→))＋eq\o（AB，\s\up6(→）))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\f（1，3)eq\o（AD，\s\up6（→）)。4．已知向量a＝（1，1)，點(diǎn)A（3,0)，點(diǎn)B為直線y＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若eq\o（AB，\s\up6(→）)∥a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_（－3,－6)__.解析設(shè)B(x，2x）,eq\o(AB，\s\up6(→））＝（x－3，2x)．∵eq\o(AB，\s\up6（→））∥a,∴x－3－2x＝0，解得x＝－3,∴B（－3，－6）．易錯(cuò)點(diǎn)不會(huì)正確選用基向量錯(cuò)因分析：在選用基向量時(shí)不知道基向量通常取整個(gè)圖形中從同一點(diǎn)出發(fā)的兩邊所對(duì)應(yīng)的向量．【例1】在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6（→)）＝eq\f(1，4)eq\o（OA，\s\up6（→)），eq\o（OD,\s\up6(→)）＝eq\f(1,2）eq\o（OB,\s\up6(→))，AD與BC相交于M，設(shè)eq\o(OA,\s\up6（→）)＝a,eq\o(OB，\s\up6(→)）＝b,試用a與b表示eq\o(OM,\s\up6(→）).解析如圖，A，M,D三點(diǎn)共線?eq\o（OM,\s\up6(→）)＝αeq\o（OA，\s\up6（→))＋(1－α）eq\o(OD,\s\up6（→)）＝αeq\o（OA,\s\up6（→)）＋eq\f（1－α，2)eq\o（OB,\s\up6（→)）；B,M,C三點(diǎn)共線?eq\o（OM，\s\up6(→）)＝βeq\o(OB,\s\up6（→））＋(1－β)eq\o(OC,\s\up6(→））＝βeq\o(OB，\s\up6(→)）＋eq\f(1－β,4)eq\o(OA，\s\up6（→))。于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(1－β，4），,\f(1－α,2）＝β,)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（α＝\f（1，7)，,β＝\f（3,7），））所以eq\o（OM,\s\up6（→))＝eq\f(1，7）a＋eq\f(3，7）b?！靖櫽?xùn)練1】在△ABC中，點(diǎn)M,N滿足eq\o(AM,\s\up6（→)）＝2eq\o（MC，\s\up6(→)），eq\o(BN，\s\up6(→)）＝eq\o(NC，\s\up6（→）).若eq\o（MN,\s\up6（→))＝xeq\o（AB,\s\up6（→）)＋yeq\o(AC,\s\up6(→)）,則x＝__eq\f(1,2)__，y＝__－eq\f（1,6）__。解析由eq\o（AM，\s\up6(→)）＝2eq\o(MC，\s\up6（→))，知M為AC上靠近C的三等分點(diǎn)，由eq\o（BN，\s\up6(→))＝eq\o(NC，\s\up6（→）），知N為BC的中點(diǎn)，作出草圖如圖所示，則有eq\o（AN，\s\up6(→)）＝eq\f（1，2）(eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o(AC，\s\up6（→)）)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o（AN，\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6（→））＝eq\f（1，2)（eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o（AC，\s\up6(→）)）－eq\f（2，3)eq\o（AC，\s\up6（→））＝eq\f(1,2）eq\o(AB，\s\up6（→)）－eq\f（1，6)eq\o（AC，\s\up6（→)）,又eq\o（MN,\s\up6(→)）＝xeq\o(AB,\s\up6(→）)＋yeq\o(AC，\s\up6(→）），所以x＝eq\f（1，2），y＝－eq\f(1，6)。課時(shí)達(dá)標(biāo)第24講［解密考綱］本考點(diǎn)重點(diǎn)考查平面向量的基本定理、坐標(biāo)表示及其運(yùn)算，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等偏下．一、選擇題1．若向量eq\o（AB,\s\up6（→)）＝（2,4）,eq\o（AC,\s\up6（→）)＝(1，3），則eq\o（BC，\s\up6（→)）＝（B）A．(1,1） B．（－1,－1）C．(3，7） D．(－3，－7）解析因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→）)＝（2，4)，eq\o（AC，\s\up6（→））＝（1，3）,所以eq\o（BC，\s\up6（→）)＝eq\o（AC，\s\up6(→））－eq\o(AB，\s\up6（→)）＝(1，3）－(2，4)＝(－1,－1）．故選B．2．已知向量m＝（a,－2),n＝（1，1－a），且m∥n，則實(shí)數(shù)a＝(B)A．－1 B．2或－1C．2 D．－2解析因?yàn)閙∥n，所以a（1－a)＝－2，即a2－a－2＝0,解得a＝－1或a＝2.故選B．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)O(0,0），A(0，1），B(1，－2),C(m，0）．若eq\o(OB，\s\up6(→)）∥eq\o（AC，\s\up6（→))，則實(shí)數(shù)m的值為(C）A．－2 B．－eq\f（1，2)C．eq\f(1,2） D．2解析在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O（0，0）,A(0,1），B(1，－2)，C（m，0)，所以eq\o(OB，\s\up6（→））＝(1，－2)，eq\o(AC,\s\up6（→））＝（m，－1)．又因?yàn)閑q\o（OB，\s\up6(→)）∥eq\o（AC,\s\up6(→）），所以eq\f（m，1）＝eq\f（－1,－2),m＝eq\f(1，2）。故選C．4．已知點(diǎn)O是△ABC的外接圓圓心,且AB＝3，AC＝4。若存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得eq\o（AO,\s\up6（→））＝xeq\o(AB，\s\up6（→）)＋yeq\o(AC，\s\up6(→)）,且x＋2y＝1,則cos∠BAC的值為(A)A．eq\f(2,3） B．eq\f（\r（3）,3）C．eq\f(\r(2），3) D．eq\f(1，3）解析設(shè)M為AC的中點(diǎn)，則eq\o（AO,\s\up6(→)）＝xeq\o（AB,\s\up6（→)）＋yeq\o（AC，\s\up6（→））＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AM,\s\up6（→)）。因?yàn)閤＋2y＝1，所以O(shè)，B，M三點(diǎn)共線．又因?yàn)镺是△ABC的外接圓圓心，所以BM⊥AC，從而cos∠BAC＝eq\f（2,3）.故選A．5．如圖,在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，Oeq\o（P,\s\up6(→))＝xeq\o（OA，\s\up6（→)）＋yeq\o(OB，\s\up6(→))，且Beq\o（P，\s\up6(→）)＝2Peq\o(A,\s\up6(→)），則（A）A．x＝eq\f（2，3)，y＝eq\f(1，3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1，4)，y＝eq\f(3，4） D．x＝eq\f（3,4），y＝eq\f（1,4)解析由題意知Oeq\o(P，\s\up6(→）)＝Oeq\o(B,\s\up6(→))＋Beq\o(P,\s\up6(→)），又Beq\o(P,\s\up6(→）)＝2Peq\o（A,\s\up6（→）），所以O(shè)eq\o（P，\s\up6(→）)＝Oeq\o（B,\s\up6（→))＋eq\f(2,3)Beq\o（A，\s\up6（→）)＝Oeq\o(B，\s\up6（→））＋eq\f（2,3)（Oeq\o（A，\s\up6(→))－Oeq\o(B，\s\up6（→））)＝eq\f(2，3)Oeq\o（A,\s\up6（→)）＋eq\f(1,3）Oeq\o(B，\s\up6（→）)，所以x＝eq\f(2，3)，y＝eq\f（1，3).6．如圖所示,在△ABC中，點(diǎn)M，N分別在AB,AC上,且eq\o(AM，\s\up6（→))＝2eq\o(MB,\s\up6（→）），eq\o(AN，\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o（AC，\s\up6(→)），線段CM與BN相交于點(diǎn)P,且eq\o（AB，\s\up6（→）)＝a，eq\o(AC，\s\up6(→))＝b，則eq\o（AP，\s\up6(→)）用a和b表示為(A)A．eq\o(AP,\s\up6（→))＝eq\f(4,9）a＋eq\f（1,3)b B．eq\o（AP,\s\up6（→)）＝eq\f（4,9）a＋eq\f（2,3）bC．eq\o(AP，\s\up6（→））＝eq\f(2,9)a＋eq\f(4,3）b D．eq\o(AP，\s\up6(→)）＝eq\f（4,7)a＋eq\f（3，7）b解析由于eq\o(AM,\s\up6（→）)＝eq\f（2,3）a，eq\o（MB,\s\up6(→))＝eq\f(a，3)，eq\o(AN，\s\up6（→））＝eq\f(3，5)b，eq\o(NC,\s\up6（→）)＝eq\f（2，5)b，則eq\o（MC，\s\up6（→））＝eq\o(AC,\s\up6（→））－eq\o(AM,\s\up6(→）)＝b－eq\f(2,3)a，eq\o(BN，\s\up6(→）)＝eq\o(AN,\s\up6(→）)－eq\o（AB，\s\up6（→））＝eq\f（3,5)b－a.設(shè)eq\o（MP，\s\up6(→）)＝λeq\o(MC,\s\up6(→）)＝λeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(b－\f(2，3)a)），eq\o(BP,\s\up6(→）)＝μeq\o(BN,\s\up6（→))＝μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,5)b－a）)，由eq\o（MP，\s\up6（→)）－eq\o（BP,\s\up6(→))＝eq\o（MB，\s\up6（→)），得λeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(b－\f（2,3）a）)－μeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，5)b－a)）＝eq\f（1，3)a,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝\f（3，5）μ，，－\f(2,3)λ＋μ＝\f（1,3），)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝\f(1，3)，,μ＝\f（5，9），））因此eq\o(AP,\s\up6(→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o(BP，\s\up6（→)）＝a＋eq\f（5，9）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3，5)b－a））＝eq\f（4，9）a＋eq\f（1，3)b。二、填空題7．已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k,7),若（a－c)∥b，則k＝__5__。解析∵a＝(3，1)，b＝（1，3）,c＝(k,7），∴a－c＝(3－k，－6）．∵(a－c)∥b，∴1×(－6）＝3×（3－k)，解得k＝5.8．已知向量a＝（λ＋1,1)，b＝（λ＋2,2），若(a＋b)∥(a－b)，則λ＝__0__。解析∵a＋b＝(2λ＋3，3)，a－b＝（－1，－1)，且(a＋b）∥(a－b)，∴eq\f（2λ＋3,－1)＝eq\f（3,－1），∴λ＝0.9．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→）)＝（3,4）,eq\o(OB,\s\up6(→）)＝(6，－3)，eq\o（OC，\s\up6（→））＝（5－m，－3－m),若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件是__m≠－eq\f(7，10)__。解析因?yàn)閑q\o（AB，\s\up6(→）)＝eq\o（OB,\s\up6（→）)－eq\o（OA,\s\up6(→）)＝(3,－7），eq\o(AC，\s\up6（→））＝eq\o(OC，\s\up6（→））－eq\o(OA，