第6-9課時（周一、二、三4月22-24日）（2013年4月22日9℃～19℃陰；23日9℃～21℃多云；）山東省桓臺第一中學(xué)蘇同安課題：1.3函數(shù)的單調(diào)性與最值三維目標(biāo)：1、知識與技能（1）理解函數(shù)單調(diào)性的定義，會用函數(shù)單調(diào)性解決相關(guān)基本問題；（2）能利用函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)的綜合性問題（如：求參數(shù)的范圍和最值）。2、過程與方法（1）體會函數(shù)的性質(zhì)所帶來的函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；（2）通過對函數(shù)的單調(diào)性復(fù)習(xí)和應(yīng)用，進一步體會函數(shù)知識的本質(zhì)聯(lián)系以及數(shù)學(xué)工具應(yīng)用的廣泛性與重要性；（3）培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。3、情態(tài)與價值觀（1）通過函數(shù)的單調(diào)性的進一步復(fù)習(xí)、鞏固和運用，體會數(shù)學(xué)知識抽象性、概括性和廣泛性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為遠大的志向而不懈奮斗。（2）通過對函數(shù)基本知識的系統(tǒng)復(fù)習(xí)及探索，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、主動探索、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識和合作精神；教學(xué)重點：系統(tǒng)復(fù)習(xí)鞏固關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性等知識，進一步認(rèn)識、總結(jié)有關(guān)的思想方法教學(xué)難點：利用函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)的綜合性問題教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)方法：合作探究、分層推進教學(xué)法教學(xué)過程：最新考綱建構(gòu)整合最新考綱建構(gòu)整合1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).知識全景圖整合知識全景圖整合(2)存在x0∈Ⅰ，使得f(x0)＝M.稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大(或最小)值．2．求法：(1)配方法，(2)判別式法，(3)基本不等式法，(4)換元法，(5)數(shù)形結(jié)合法，(6)單調(diào)性法，(7)導(dǎo)數(shù)法．誤區(qū)警示1．對于函數(shù)單調(diào)性定義的理解，要注意以下三點(1)函數(shù)的單調(diào)性是對某一個區(qū)間而言的．f(x)在區(qū)間A與B上都是增(或減)函數(shù)，在A∪B上不一定單調(diào)．(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的性質(zhì)，因此定義中的x1，x2在這一區(qū)間上具有任意性，不能用特殊值代替．(3)由于定義都是充要性命題，因此若f(x)是增(減)函數(shù)，則f(x1)<f(x2)?x1<x2(或x1>x2)．2．在研究函數(shù)的單調(diào)性時，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域一、利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解題對于復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)增(減)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)，那么函數(shù)y＝f[g(x)]在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性由以下表格所示，實施該法則時首先應(yīng)考慮函數(shù)的定義域.t＝g(x)y＝f(t)y＝f[g(x)]增增增增減減減增減減減增二、解題技巧給出抽象函數(shù)關(guān)系式，討論其性質(zhì)的題目，基本方法是賦值用定義討論．如判斷單調(diào)性，須創(chuàng)造條件判斷f(x1)－f(x2)的符號或eq\f(fx1,fx2)與1的大??；判斷奇偶性須設(shè)法產(chǎn)生f(－x)與f(x)的關(guān)系式等．判斷單調(diào)性時，若關(guān)系式中含有常數(shù)，應(yīng)設(shè)法利用所給條件，把常數(shù)化為函數(shù)值的形式．雙基自測雙基自測1.(2012年高考廣東卷)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是(A)(A)y=ln(x+2) (B)y=-(C)y= (D)y=x+解析:y=ln(x+2),定義域為(-2,+∞),在(0,+∞)上遞增,y=-,定義域為[-1,+∞),在(0,+∞)上遞減,y=,定義域為R,在(0,+∞)上遞減,y=x+,定義域為(-∞,0)(0,+∞),在(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增.故選A.2.若函數(shù)f(x)=ax+1在R上遞減,則函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)的增區(qū)間是(B)(A)(2,+∞) (B)(-∞,2)(C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2)解析:由f(x)在R上遞減知a<0,所以g(x)在(-∞,2)上遞增,在(2,+∞)上遞減.故選B.3.函數(shù)f(x)=在[2,3]上的最小為,最大值為.

解析:函數(shù)f(x)=在[2,3]上單調(diào)遞減,∴最大值是f(2)=1,最小值是f(3)=.答案:14.(2012年高考安徽卷)若函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞),則a=.

互動探究解析:函數(shù)的圖象是以為端點的2條射線組成,所以-=3,a=-6.答案:-6互動探究確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間【例1】(1)求函數(shù)y=-x2+2|x|+1的單調(diào)區(qū)間;(2)判斷函數(shù)y=在(-1,+∞)上的單調(diào)性.解:(1)由于y=即y=畫出函數(shù)圖象如圖所示,單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1]和[0,1],單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,0]和[1,+∞).(2)法一任取x1,x2(-1,+∞),且x1<x2,則y1-y2=.∵x1>-1,x2>-1,∴x1+1>0,x2+1>0,又x1<x2,∴x2-x1>0,∴>0,即y1-y2>0.∴y1>y2,所以函數(shù)y=在(-1,+∞)上是減函數(shù).法二y=QUOTE錯誤!未找到引用源。=1+.∵y=x+1在(-1,+∞)上是增函數(shù),∴y=在(-1,+∞)上是減函數(shù),∴y=1+在(-1,+∞)上是減函數(shù).即函數(shù)y=在(-1,+∞)上是減函數(shù).確定函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的常用方法及流程(1)能畫出圖象的函數(shù),用圖象法,其思維流程為:作圖象看升降歸納單調(diào)性(區(qū)間)(2)由基本初等函數(shù)通過加、減運算或復(fù)合運算構(gòu)成的函數(shù),用轉(zhuǎn)化法,其思維流程為:(3)能求導(dǎo)的用導(dǎo)數(shù)法,其思維流程為:求導(dǎo)判斷f'(x)正、負(fù)單調(diào)性(區(qū)間)(4)能作差變形的用定義法,其思維流程為:取值作差變形定號單調(diào)性(區(qū)間)注意:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,一定要注意定義域優(yōu)先原則.變式訓(xùn)練11:函數(shù)f(x)=|x-2|x的單調(diào)減區(qū)間是()(A)[1,2] (B)[-1,0](C)[0,2] (D)[2,+∞)解析:由于f(x)=|x-2|x=結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[1,2].故選A.變式訓(xùn)練12:判斷函數(shù)g(x)=在(1,+∞)上的單調(diào)性.解:任取x1,x2(1,+∞),且x1<x2,則g(x1)-g(x2)=,由于1<x1<x2,所以x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0,因此g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2),故g(x)在(1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例2】(2012浙江紹興模擬)已知減函數(shù)f(x)的定義域是實數(shù)集R,m、n都是實數(shù).如果不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是()(A)m-n<0 (B)m-n>0(C)m+n<0 (D)m+n>0解析:設(shè)F(x)=f(x)-f(-x),由于f(x)是R上的減函數(shù),∴f(-x)是R上的增函數(shù),-f(-x)是R上的減函數(shù),∴F(x)為R上的減函數(shù),∴當(dāng)m<n時,有F(m)>F(n)即f(m)-f(-m)>f(n)-f(-n)成立,因此當(dāng)f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立時,不等式m-n<0一定成立,故選A.變式訓(xùn)練21:(2012鄭州質(zhì)檢)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是增函數(shù),則滿足f(x)<f(2x-3)的x的取值范圍是.

解析:依題意得,不等式f(x)<f(2x-3)等價于x<2x-3,由此解得x>3,即滿足f(x)<f(2x-3)的x的取值范圍是(3,+∞).答案:(3,+∞)函數(shù)的最值【例3】(1)函數(shù)y=x+2在區(qū)間[0,4]上的最大值M與最小值N的和為.

(2)已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f=f(x1)-f(x2),且當(dāng)x>1時,f(x)>0.①求f(1)的值,并判斷f(x)的單調(diào)性;②若f(4)=2,求f(x)在[5,16]上的最大值.解析:函數(shù)y=x+2=(+1)2-1在區(qū)間[0,4]上是增函數(shù),所以x=0時有最小值N=0,x=4時有最大值M=8,M+N=8.答案:8(2)解:①令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.任取x1,x2(0,+∞),且x1>x2,則>1,由于當(dāng)x>1時,f(x)>0,所以f>0,即f(x1)-f(x2)>0,因此f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).②∵f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),∴f(x)在得f=f(16)-f(4),而f(4)=2,所以f(16)=4.∴f(x)在[5,16]上的最大值為4.[5,16]上的最大值為f(16).由fQUOTE錯誤!未找到引用源。=f(x1)-f(x2),(1)求函數(shù)值域與最值的常用方法:①先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求值域或最值.②圖象法:先作出函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象,再觀察其最高、最低點,求出最值.③配方法:對于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)形式的函數(shù),可用配方法求解.④換元法:對較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元法轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求值域或最值.⑤基本不等式法:先對解析式變形,使之具備“一正二定三相等”的條件后,再用基本不等式求出最值.⑥導(dǎo)數(shù)法:先求導(dǎo),然后求在給定區(qū)間上的極值,最后結(jié)合端點值,求出值域或最值.(2)對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義,結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)條件,對任意x1,x2在所給區(qū)間上比較f(x1)-f(x2)與0的大小,或與1的大小(f(x)>0).有時根據(jù)需要,需作適當(dāng)?shù)淖冃?如x1=x2·或x1=x2+x1-x2等.變式訓(xùn)練31:(1)函數(shù)y=-x(x≥0)的最大值為.

(2)若函數(shù)g(x)=log3(ax2+2x-1)有最大值1,則實數(shù)a的值為.

解析:(1)令t=,則t≥0,∴y=t-t2=-+,∴當(dāng)t=，即x=時，函數(shù)有最大值QUOTE錯誤!未找到引用源。.(2)令h(x)=ax2+2x-1,由于函數(shù)y=log3x是遞增函數(shù),所以要使函數(shù)g(x)=log3(ax2+2x-1)有最大值1,應(yīng)使h(x)=ax2+2x-1有最大值3,因此有解得a=-.答案:(1)(2)-思悟總結(jié)思悟總結(jié)練演練研習(xí)知識線：（1）函數(shù)單調(diào)性的概念；（2）函數(shù)的單調(diào)性的判定方法；（3）函數(shù)單調(diào)性的基本運用。思想方法線：（1）單調(diào)性法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）轉(zhuǎn)化法；（4）配方法；（5）基本不等式法；（4）分類討論思想；（5）數(shù)形結(jié)合思想；（6）函數(shù)與方程思想；（7）轉(zhuǎn)化思想。題目線：（1）單調(diào)性判定方面的問題；（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性方面的問題；（3）抽象函數(shù)單調(diào)性方面的問題。（4）最值方面的問題。鞏固達標(biāo)研習(xí)鞏固達標(biāo)研習(xí)一、選擇題1.(2012杭州模擬)下列四個函數(shù)中,在(0,+∞)上為增函數(shù)的是(C)(A)f(x)=3-x (B)f(x)=x2-3x(C)f(x)=-QUOTE錯誤!未找到引用源。 (D)f(x)=-|x|解析:當(dāng)x>0時,f(x)=3-x為減函數(shù);當(dāng)x∈QUOTE錯誤!未找到引用源。時,f(x)=x2-3x為減函數(shù);當(dāng)x∈QUOTE錯誤!未找到引用源。時,f(x)=x2-3x為增函數(shù);當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)=-QUOTE錯誤!未找到引用源。為增函數(shù);當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)=-|x|為減函數(shù).故選C.2.函數(shù)y=QUOTE錯誤!未找到引用源。的遞減區(qū)間為(D)(A)(1,+∞) (B)QUOTE錯誤!未找到引用源。(C)QUOTE錯誤!未找到引用源。 (D)QUOTE錯誤!未找到引用源。解析:令g(x)=2x2-3x+1,則y=QUOTE錯誤!未找到引用源。,由于g(x)在QUOTE錯誤!未找到引用源。上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y=QUOTE錯誤!未找到引用源。的遞減區(qū)間是QUOTE錯誤!未找到引用源。,故選D.3.(2013浙江嘉興模擬)f(x)=x+QUOTE錯誤!未找到引用源。在區(qū)間[1,+∞)上遞增,則a的取值范圍為(D)(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)(C)(0,1] (D)(-∞,1]解析:當(dāng)a≤0時,f(x)在區(qū)間[1,+∞)上遞增;當(dāng)a>0時,f(x)的增區(qū)間為[QUOTE錯誤!未找到引用源。,+∞),只要QUOTE錯誤!未找到引用源。≤1,得a≤1;綜上a的取值范圍為(-∞,1],故選D.4.(2012四川成都模擬)已知函數(shù)f(x)=QUOTE錯誤!未找到引用源。在R上為增函數(shù),則a的取值范圍是(B)(A)-3≤a<0 (B)-3≤a≤-2(C)a≤-2 (D)a<0解析:要使函數(shù)在R上是增函數(shù)則有QUOTE錯誤!未找到引用源。解得-3≤a≤-2.故選B.5.定義新運算⊕:當(dāng)a≥b時,a⊕b=a;當(dāng)a<b時,a⊕b=b2,則函數(shù)f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于(C)(A)-1 (B)1 (C)6 (D)12解析:由已知得當(dāng)-2≤x≤1時,f(x)=x-2,當(dāng)1<x≤2時,f(x)=x3-2.∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2在定義域內(nèi)都為增函數(shù).∴f(x)的最大值為f(2)=23-2=6.故選C.6.(2012山東聊城模擬)設(shè)函數(shù)y=f(x)在R上有定義,對于給定的正數(shù)k,定義函數(shù)fk(x)=QUOTE錯誤!未找到引用源。若函數(shù)f(x)=QUOTE錯誤!未找到引用源。則函數(shù)QUOTE錯誤!未找到引用源。(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(D)(A)(-∞,-1] (B)(-∞,0](C)[0,+∞) (D)[1,+∞)解析:QUOTE錯誤!未找到引用源。(x)=QUOTE錯誤!未找到引用源。=QUOTE錯誤!未找到引用源。如圖所示,函數(shù)QUOTE錯誤!未找到引用源。(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減.故選D.二、填空題7.函數(shù)f(x)=QUOTE錯誤!未找到引用源。-log2(x+2)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為.

解析:由于y=QUOTE錯誤!未找到引用源。在R上遞減,y=log2(x+2)在[-1,1]上遞增,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,故f(x)在[-1,1]上的最大值為f(-1)=3.答案:38.使函數(shù)y=QUOTE錯誤!未找到引用源。與y=log3(x-2)在(3,+∞)上具有相同的單調(diào)性,實數(shù)k的取值范圍是.

解析:由y=log3(x-2)的定義域為(2,+∞),且為增函數(shù),故在(3,+∞)上是增函數(shù).又函數(shù)y=QUOTE錯誤!未找到引用源。=QUOTE錯誤!未找到引用源。=2+QUOTE錯誤!未找到引用源。,使其在(3,+∞)上是增函數(shù),故4+k<0,得k<-4.答案:(-∞,-4)9.(2012浙江臺州模擬)若函數(shù)y=|2x-1|在(-∞,m]上單調(diào)遞減,則m的取值范圍是.

解析:畫出圖象如圖,由圖知y=|2x-1|的遞減區(qū)間是(-∞,0],依題意應(yīng)有m≤0.答案:(-∞,0]三、解答題10.函數(shù)f(x)=QUOTE錯誤!未找到引用源。在區(qū)間(-2,+∞)上是遞增的,求實數(shù)a的取值范圍.解:f(x)=QUOTE錯誤!未找到引用源。=QUOTE錯誤!未找到引用源。=QUOTE錯誤!未找到引用源。+a.任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=QUOTE錯誤!未找到引用源。-QUOTE錯誤!未找到引用源。=QUOTE錯誤!未找到引用源。.∵函數(shù)f(x)=QUOTE錯誤!未找到引用源。在區(qū)間(-2,+∞)上是遞增的,∴f(x1)-f(x2)<0.∵x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,∴1-2a<0,a>QUOTE錯誤!未找到引用源。,即實數(shù)a的取值范圍是QUOTE錯誤!未找到引用源。.11.已知函數(shù)f(x)=QUOTE錯誤!未找到引用源。-QUOTE錯誤!未找到引用源。(a>0,x>0).(1)求證:f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù);(2)若f(x)在QUOTE錯誤!未找到引用源。上的值域是QUOTE錯誤!未找到引用源。,求a的值.(1)證明:設(shè)x2>x1>0,則x2-x1>0,x1x2>0,∵f(x2)-f(x1)=QUOTE錯誤!未找到引用源。