第1課時(shí)二倍角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、

余弦、正切公式

.2.能嫻熟運(yùn)用二倍角的公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換并能靈巧地將公式變形運(yùn)用．知識(shí)點(diǎn)二倍角公式思慮1依據(jù)前面學(xué)過(guò)的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，你能推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式嗎？思慮2依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1，你可否只用sinα或cosα表示cos2α？梳理(1)倍角公式sin2α＝____________.(S2α)cos2α＝____________＝________________＝____________.(C2α)tan2α＝________________.(T2α)(2)二倍角公式的重要變形——升冪公式1＋cos2α＝____________，1－cos2α＝____________，1＋cosα＝____________，1－cosα＝______________.種類一給角求值例1求以下各式的值：122(1)cos72°cos36°；(2)3－3cos15°；1－tan275°13(3)tan75°；(4)sin10°－cos10°.反省與感悟關(guān)于給角求值問(wèn)題，一般有兩類直接正用、逆用二倍角公式，聯(lián)合引誘公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)變，一般能夠化為特別角．若形式為幾個(gè)非特別角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過(guò)程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問(wèn)題出現(xiàn)能夠連用二倍角的正弦公式的形式．追蹤訓(xùn)練1求以下各式的值：2π4π6π(1)coscoscos；77713(2)sin50°＋cos50°.種類二

給值求值例

2

(1)若

sin

α－cos

1α＝3，則

sin2

α＝________.(2)若

tan

α＝3，則4

cos2α＋2sin2

α＝________.引申研究在本例(1)

中，若改為

sin

α＋cos

1α＝3，求

sin2

α.反省與感悟(1)條件求值問(wèn)題常有兩種解題門(mén)路：①對(duì)題設(shè)條件變形，把條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名聚攏．②對(duì)結(jié)論變形，將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名聚攏，以便將題設(shè)條件代入結(jié)論．(2)一個(gè)重要結(jié)論：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.追蹤訓(xùn)練2已知tanα＝2.π求tanα＋4的值；sin2α(2)求sin2α＋sinαcosα－cos2α－1的值．種類三利用倍角公式化簡(jiǎn)例3化簡(jiǎn)2cos2α－1π.2π2tan4－αsin4＋α反省與感悟(1)關(guān)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)有下邊的要求：①能求出值的應(yīng)求出值．②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少．③使三角函數(shù)式中的項(xiàng)數(shù)盡量少．④盡量使分母不含有三角函數(shù)．⑤盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)．化簡(jiǎn)的方法：①弦切互化，異名化同名，異角化同角．②降冪或升冪．③一個(gè)重要結(jié)論：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.追蹤訓(xùn)練3化簡(jiǎn)以下各式：(1)π＜α＜π，則1－sin2α＝________；42(2)α為第三象限角，則1＋cos2α－1－cos2α＝________.cosαsinα1ππ1.2sin12cos12的值為_(kāi)_______．2．sin4π－cos4π＝________.1212tan7.5°3.1－tan27.5°＝________.4．設(shè)sin2α＝－sinα，α∈π，π，則tan2α的值是________．211θ；5．化簡(jiǎn)：(1)1－tanθ－1＋tan(2)2cos2α－1.π2π4－α4＋α1．關(guān)于“二倍角”應(yīng)當(dāng)有廣義上的理解，如：8α是

4α的二倍；

6α是

3α的二倍；

4α是

2α的二倍；

33α是2α的二倍；

αα2是4的二倍；

αα3是6的二倍；

α2·α2n＝2n＋1

*(n∈N)．2．二倍角余弦公式的運(yùn)用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最為靈巧多樣，應(yīng)用寬泛．二倍角的常用形式：1＋cos2α＝2cos2α；②cos2α＝1＋cos2α；21－cos2α＝2sin2α；④sin2α＝1－cos2α.2答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思慮1sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sin22αsinα＝cosα－sinα；2tanαtan2α＝tan(α＋α)＝1－tan2α.思慮222222cos2α＝cosα－sinα＝cosα－(1－cosα)＝2cosα－1；或cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.梳理(1)①2sinαcosα②cos22222tanαα－sinα1－2sinα2cosα－1③21－tanα222α2α(2)2cosα2sinα2cos22sin2題型研究例1解(1)cos36°cos72°＝2sin36°cos36°cos72°2sin72°cos72°2sin36°＝＝4sin36°sin144°14sin36°＝4.1221213(2)3－3cos15°＝－3(2cos15°－1)＝－3cos30°＝－6.1－tan275°1－tan275°1(3)tan75°＝2·2tan75°＝2·tan150°＝－23.13cos10°－3sin10°213(4)2cos10°－2sin10°sin10°－cos10°＝sin10°cos10°＝sin10°cos10°4sin30°cos10°－cos30°sin10°4sin20°＝2sin10°cos10°＝sin20°＝4.2π2π4π6π追蹤訓(xùn)練1解(1)原式＝2sin7cos7cos7cos72π2sin74π4π6π8π6πππ2πsin7cos7cos7sin7cos7sin7cos7sin71＝2sin2π＝4sin2π＝2π＝2π＝8.774sin8sin7713(2)原式＝cos50°＋3sin50°2cos50°＋22sin80°sin50°cos50°＝1＝1＝2×2sin50°cos50°2sin100°2sin80°1＝4.2sin80°64例2(1)9(2)25引申研究1解由題意，得(sinα＋cosα)＝9，∴1＋2sin

αcos

1α＝9，即

1＋sin2

1α＝9，8sin2α＝－9.tanα＋tanππ42＋1追蹤訓(xùn)練2解(1)tanα＋4＝π＝1－2×1＝－3.1－tanαtan4(2)sin2α＋sinsin2α2sinαcosααcosα－cos2α－1＝sin2α＋sinαcosα－2cos2α2tanα2×2＝tan2α＋tanα－2＝4＋2－2＝1.例3解方法一原式＝2cos2α－1πsin－α42π2·sin＋απ4cos4－α2cos2α－12cos2α－1cos2α＝sinπ－α＝sinπ＝cos2α＝1.42π2－2α2·cosπ4－αcos4－α方法二原式＝cos2α＝1－tanα2222·1＋tanα2sinα＋2cosαcos2αcosα－sinα2cosα＋sinαα＋cosαcos2αcos2α＝1.＝α－sinαα＋sinα＝cos2α－sin2α追蹤訓(xùn)練3(1)sinα－