選修2—2解答題267題

一、解答題

1、若函數(shù)f(x)=—f+x在［2,2+4打(4入>0)上的平均變化率不大于-1,求的范圍.

4

2、若函數(shù)"^)=/一&r+4,當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù),/(x)有極值一］、

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)若方程40=左有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

3、要設(shè)計(jì)一容積為M的有蓋圓柱形儲(chǔ)油罐，已知側(cè)面的單位面積造價(jià)是底面造

價(jià)的一半，蓋的單位面積造價(jià)又是側(cè)面造價(jià)的一半.問儲(chǔ)油罐的半徑，?和高〃之比為何

值時(shí)造價(jià)最?。?/p>

4、設(shè)函數(shù)?x)=lnx+ln(2—x)+ax(a>0).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求式x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若於)在(0，I］上的最大值為今求〃的值.

5、(2010?杭州高二檢測)路燈距地面8m,?個(gè)身高為1、6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈

在地面上的射影點(diǎn)。處沿直線離開路燈.

(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式；

(2)求人離開路燈的第一個(gè)10s內(nèi)身影的平均變化率.

6、求函數(shù)尸V在x=l、2、3附近的平均變化率，判斷哪一點(diǎn)附近平均變化率最大?

2

7、過曲線F(x)=彳的圖象上兩點(diǎn)4(1,2),8(1+Ax,2+A舊作曲線的割線48,求出

當(dāng)Ax=5寸割線的斜率.

8、己知函數(shù)f(x)=2x+l,g(x)=-2x,分別計(jì)算在區(qū)間［—3,-1］,［0,5］上函

數(shù)/Xx)及g(x)的平均變化率.

9、設(shè)鐵路AB長為50,BCVAB,且BC=10,為將貨物從A運(yùn)往C,現(xiàn)在AB

上距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至C,已知單位距離的鐵路運(yùn)費(fèi)為2,公路運(yùn)費(fèi)為4、

(1)將總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)；

(2)如何選點(diǎn)M才使總運(yùn)費(fèi)最??？

10、設(shè)函數(shù).*》)=2?—33+1)/+6公+8,其中aGR、已知/(x)在x=3處取得極

值.

⑴求式x)的解析式；

(2)求火x)在點(diǎn)A(l,16)處的切線方程.

3

11、已知函數(shù)式x)=o?—/+l(xGR),其中”>0、

(1)若。=1,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/2))處的切線方程；

(2)若在區(qū)間［一*1j±,"r)>0恒成立，求。的取值范圍.

12、一作直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移S與時(shí)間r的關(guān)系是s=3r-y(位移：m,時(shí)間：S).

(1)求此物體的初速度；

(2)求此物體在力=2時(shí)的瞬時(shí)速度；

⑶求t=0到t=2時(shí)的平均速度.

13、在曲線E：)，=/上求出滿足下列條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(1)過點(diǎn)尸與曲線E相切且平行于直線y=4x-5；

(2)過點(diǎn)P與曲線E相切且與x軸成135。的傾斜角.

14、已知拋物線正工)=浸+區(qū)-7通過點(diǎn)(1,1),且過此點(diǎn)的切線方程為八一丫一3=0,求a,b的值.

15、設(shè)函數(shù)人用=/+公2—9x—1(a<0).若曲線y=/(x)的斜率最小的切線與直線12r+y=6平行，求。的

值.

16、試求過點(diǎn)尸(1,一3)且與曲線y=/相切的直線的斜率.

17、槍彈在槍筒中可以看作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，如果它的加速度是a=5Xl()5向S2,槍彈從槍口射出時(shí)所用

的時(shí)間為1、6X103s.求槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度.

18、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)＞=火工）=也在x=l處的導(dǎo)數(shù).

19、求函數(shù)y=x-：在x=l處的導(dǎo)數(shù).

20、已知函數(shù)_/（X）=X2-2X,分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[-3,—1],[2,4]上的平均變化率.

21、若f（期）=2,求世/I/揚(yáng)的值.

22、過點(diǎn)尸（一2,0）作曲線y=皆的切線，求切線方程.

23、計(jì)算下列定積分。(12分)

re+l1

(1)JJxkZx(2)[----dx

上X-l

24、求曲線尸:與y=V在它們交點(diǎn)處的兩條切線與不軸所圍成的三角形的面積.

25、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

x+cosx

(1)y=;

“%—cosx

(2)y=2'cosx—3xlog2009X；

(3)y=x-tanx；

(4)y=cos2(2x+。

26、求拋物線上的點(diǎn)到直線x-y-2=0的最短距離.

27、求過曲線丫=6,上點(diǎn)尸(1,e)且與曲線在該點(diǎn)處的切線垂直的直線方程.

28、已知曲線尸?

(1)求曲線在點(diǎn)尸(1,1)處的切線方程；

(2)求曲線過點(diǎn)0(1,0)處的切線方程；

(3)求滿足斜率為一4的曲線的切線方程.

29、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴產(chǎn)工三⑵y=，；⑶尸在(4)y=101

30、求過點(diǎn)(1,一1)與曲線y=x3—2x相切的直線方程.

31、物體A以速度v=3產(chǎn)+1在一直線上運(yùn)動(dòng)，在此直線上與物體A出發(fā)的同時(shí)，物體B在物體A的正

前方5m處以u(píng)=10/的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，問兩物體何時(shí)相遇？相遇時(shí)物體A的走過的路程是多少？（時(shí)

間單位為：s,速度單位為：m/s）（8分）

32、求由曲線y=f+2與y=3x,x=0,x=2所圍成的平面圖形的面積。（8分）

33、某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本c（x）=1200+—/（萬元），已知產(chǎn)品單價(jià)P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿

75

k

足:尸2=乙，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，產(chǎn)量定為多少件時(shí)總利潤最大？（8分）

x

34、已知函數(shù)/（x）=d++笈+，在％=_2處取得極值,并且它的圖象與直線丁=一3工+3

在點(diǎn)（1,0）處相切，求a,b,c的值。

12

35、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s下求質(zhì)點(diǎn)在第幾秒的速度為一區(qū)、

36、求過點(diǎn)（2,0）且與曲線＞=/相切的直線方程.

37、(2007海南、寧夏理)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+a)+x2.

(I)若當(dāng)x=—1時(shí)，/(%)取得極值，求。的值，并討論了(%)的單調(diào)性；

(H)若/(x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于In|.

/22

38、(2007浙江理)設(shè)/(x)=不，對(duì)任意實(shí)數(shù)f,記g,(x)=f3x—.

(I)求函數(shù)y=/(無)—g8(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)求證：(i)當(dāng)龍＞0時(shí)，/(x)與g,(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)f成立；

(ii)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)/，使得g8(Xo)2g,(x。)對(duì)任意正實(shí)數(shù);成立?

39、求函數(shù)./U)=2x2—Inx的單調(diào)區(qū)間.

40、(1)已知函數(shù)人外三戶+加+cx+d的單調(diào)減區(qū)間為[―1,2],求b,c的值;

(2)設(shè)式的二加+工恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

41、判斷函數(shù)於)=(〃+l)lnx+加+1的單調(diào)性.

42、(2007天津理)已知函數(shù)/(x)=+1(xeR),其中aeR.

x+1

(I)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程;

(II)當(dāng)awO時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

43、求下列各函數(shù)的最值.

(1次0=如(1+刈一*,xG[0,2]；

(2沆1)=r一3f+6x—2,x^[—1,1].

44、設(shè)函數(shù)

(1)求共外的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)乂6[—2,2]時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

45、(2007重慶文)用長為18m的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2:1,問

該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

46、(2007天津理)已知函數(shù)/'(X)=%?^(X€R),其中aeR.

XV--+I11

(I)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(2/(2))處的切線方程；

(II)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

47、(2007福建理)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元

(3WaW5)的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9WxWU)時(shí)，一年的銷售量為(12—萬

件.

(I)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

(II)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q(a).

48、(2007廣東文)已知函數(shù)/(x)=f+x—i,尸是方程/(幻=0的兩個(gè)根(&>/?),/'(x)是/(x)

的導(dǎo)數(shù).設(shè)4=1,《用=a“—半】(〃=1,2,).

/'a)

(1)求a,尸的值；

(2)已知對(duì)任意的正整數(shù)“有%>a,記2=ln&二四(〃=1,2,).求數(shù)列｛〃,｝的前”項(xiàng)和S”.

a”—a

49、(2007山東理)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+〃n(x+l),其中IwO.

(I)當(dāng)b〉g時(shí)，判斷函數(shù)/(x)在定義域上的單調(diào)性；

(II)求函數(shù)/(幻的極值點(diǎn)；

(III)證明對(duì)任意的正整數(shù)”，不等式111(工+1]>4-4都成立.

nn

(iY

50、(2007四川理)設(shè)函數(shù)/(x)=l+—(xeN,且〃〉1,xeR)

In)

(I)當(dāng)x=6時(shí)，求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

(II)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,證明〃2Q；/(2)〉/⑴(/，(幻是/(x)的導(dǎo)函數(shù))；

(HI)是否存在aeN,使得a〃〈方(1+：)<(a+l)〃恒成立？若存在，試證明你的結(jié)論并求出a的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

51、(2007重慶理)己知函數(shù)/(xXax'lnx+fer'-c。>。)在x=l處取得極值-3-c,其中a,b為常

數(shù).

(I)試確定a,b的值；

(II)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)若對(duì)任意x>0,不等式/(x)2-2。2恒成立，求c的取值范圍.

52、設(shè)函數(shù)/(X)=ln(x+a)+x2.

(I)若當(dāng)尤=—1時(shí)，f(x)取得極值,求a的值，并討論了(x)的單調(diào)性：

(II)若/(x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于In|.

53、(2007全國II文)已知函數(shù)/(x)=^ar3-bx2+(2-。)x+l

在x=X處取得極大值，在x=4處取得極小值，且0<%<1<々<2.

(1)證明a>0；

(2)求z=a+?的取值范圍.

54、(2007山東文)設(shè)函數(shù)/(x)=a』+〃inx,其中而w0.

證明：當(dāng)勿?>0時(shí)，函數(shù)/(x)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)而<0時(shí)，函數(shù)/(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值.

55、(2007山東文)已知橢圓。的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓。上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,

最小值為1.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(H)若直線=+根與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)(A,8不是左右頂點(diǎn))，且以A3為直徑的圓

過橢圓C的右頂點(diǎn).求證：直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

56、已知/(X)=G?+以5在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù)，在區(qū)間(-8,0)(1,+8)上是減函數(shù)，又f

(I)求/(x)的解析式;

(II)若在區(qū)間。劑(加＞0)上恒有/(x)Wx成立，求〃7的取值范圍.

57、(2007全國U理)已知函數(shù)/(x)=_?一x.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)/(f))處的切線方程；

(2)設(shè)。＞(),如果過點(diǎn)(。，力可作曲線y=/(x)的三條切線，證明：

58、(2007天津文)設(shè)函數(shù)/(x)=-x(x-a)2(R),其中aeR.

(I)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程；

(II)當(dāng)a#0時(shí)，求函數(shù)/(x)的極大值和極小值；

(III)當(dāng)。＞3時(shí)，證明存在1,0］,使得不等式/次—cosx)2/(/—cos?》)對(duì)任意的xeR恒成

立.

59、已知函數(shù)J(x)=xe，(xdR),求函數(shù),大x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

60>設(shè)a20,/(x)=x-l-ln2x+2alnA-(x>0).

(I)令F(x)=4'(x),討論F(x)在(0,+8)內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

(II)求證：當(dāng)x>l時(shí)，恒有x>ln2x-2alnx+l

61、(2007安徽文)設(shè)函數(shù)/1(x)=-cos2x-4tsin'|'CoS'1+4/+/-3r+4,xeR,

其中將/(x)的最小值記為g(f).

(I)求g(f)的表達(dá)式；

(II)討論gQ)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

62、(2007湖北理)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)/(x)=gf+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.設(shè)

兩曲線y=/(x),y=g(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同.

(I)用a表示》，并求匕的最大值；

(II)求證：/(x)》g(x)(x>0).

63、已知?￥)=必一x2—x+3,—1,2],y(x)—m<0恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

64、(2007陜西理)設(shè)函數(shù)/⑴==--------,其中〃為實(shí)數(shù).

X+QX+。

(I)若/(%)的定義域?yàn)镽,求。的取值范圍；

(II)當(dāng)/(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，求/(?的單調(diào)減區(qū)間.

65^己知函數(shù)7(x)=dLg(x)=〃lnx,〃eR、

(1)設(shè)函數(shù)/z(x)=?r)—g。)，當(dāng)〃(x)存在最小值時(shí)，求其最小值8(。)的解析式;

(2)對(duì)⑴中的°(〃)和任意的o>0,b>0,證明：

,a+b(p!(a)+(p'(h)12ab

夕(T-)w20甲仁育.

66、(2007全國I文)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3+3ax2+36x+8c在x=l及x=2時(shí)取得極值.

(I)求4、匕的值；

(II)若對(duì)于任意的xe[0,3],都有/(?VC?成立，求c的取值范圍.

67、(全國卷I理)設(shè)函數(shù)/(x)=e'—er.

(I)證明：/(x)的導(dǎo)數(shù)/'(x)、2；

(H)若對(duì)所有都有求。的取值范圍答案：解：

68、(2007湖南文)已知函數(shù)=辦2+公在區(qū)間[T,]),(1,3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).

(I)求/一4。的最大值;

(II)當(dāng)"-4。=8時(shí)，設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)A(l,/(I))處的切線為/，若/在點(diǎn)A處穿過函數(shù)y=/(x)

的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)4附近沿曲線y=/(x)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，從/的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù)/(x)的

表達(dá)式.

69、已知函數(shù)J(x)=x3—4X—1、

(1)若兀V)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)”，使府)在(一1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

70、求下列函數(shù)的極值.

(1加＞)=丁一12元(2y(x)=/er、

9

71、設(shè)函數(shù)人］)=/一尹+6元一a、

(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,/(X)2加恒成立，求力的最大值;

(2)若方程式防=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍.

72、(2007四川文)設(shè)函數(shù)/(x)=G：3+6x+c(aH0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線與直線

工一6)，一7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)/'(x)的最小值為—12.

(I)求a,b，c的值；

(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)/(x)在［-1,3］上的最大值和最小值.

73、2007海南、寧夏文)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(2x+3)+-

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

31

(H)求/⑴在區(qū)間-“a的最大值和最小值?

74、已知函數(shù)?x)=(x—。穴了一切(小bGR,a<b).

(1)當(dāng)。=1,6=2時(shí)，求曲線y=?r)在點(diǎn)(2,12))處的切線方程；

(2)設(shè)立，X2是7U)的兩個(gè)極值點(diǎn)，X3是/U)的一個(gè)零點(diǎn)，且刈力即，13W應(yīng)、

證明：存在實(shí)數(shù)也，使得為，X2,元3,%4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求入4、

75、已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量g的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4（7,價(jià)格p與產(chǎn)量夕的函數(shù)關(guān)系式為p=

25—5求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤L最大.

76、某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)

測算，如果將樓房建為x（xEO）層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平

方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平

購地總費(fèi)用

均購地費(fèi)用=建筑總面積）

77、用長為18m的鋼條圍成一個(gè)長方體的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1,則該長方體的長、寬、

高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

78、某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距〃?米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)

測算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+正)x萬元.假

設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其它因素.記余下工程的費(fèi)用為y萬元.

(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

⑵當(dāng)/7?=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小？

79、(2009?湖南理，19)某地建一座橋，兩端的橋墩己建好，這兩墩相距卬米，余下工程只需建兩

端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面

工程費(fèi)用為(2+,)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其它因素.記余下工程

的費(fèi)用為y萬元.

(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng))=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？

80、己知a,6是實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)=f+ax,g(x)=x2+bx,f(x)和g'(x)分別是/V)和g(x)的導(dǎo)函數(shù).若

f(x)g'(x)20在區(qū)間/上恒成立，則稱/'(*)和g(x)在區(qū)間/上單調(diào)性一致.

(1)設(shè)a〉0,若f(x)和g(x)在區(qū)間［-1,+8)上單調(diào)性一致，求。的取值范圍；

(2)設(shè)a〈0且a#。，若f(x)和g(x)在以a,6為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求Ia一引的最大值.

81、某商場預(yù)計(jì)2010年從1月份起前x個(gè)月，顧客對(duì)某種商品的需求總量p(x)件與月份x的近似關(guān)系是

p(x)=^x(x+l)(39—2x)(xGN*,且后12).

該商品的進(jìn)價(jià)Mx)元與月份x的近似關(guān)系是

q(x)=150+2x(xGN*,且

(1)寫出今年第X月的需求量f(x)件與月份X的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該商品每件的售價(jià)為185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足市場需求，則此商場今年銷售該商品的

月利潤預(yù)計(jì)最大是多少元？

82、(2010?湖北理，17)為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和

外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬

k

元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用以單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：ax)=T-T7(0

3x+5

WxWlO),若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)Ax)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗

費(fèi)用之和.

(1)求％的值及f(x)的表達(dá)式.

(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用/'(x)達(dá)到最小，并求最小值.

83、(2009?山東理，21)兩縣城/和6相距20km,現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以/由為直徑的半圓弧

AB

上選擇一點(diǎn)。建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對(duì)城力和城8的總

影響度為城A與對(duì)城6的影響度之和.記C點(diǎn)到城A的距離為位m,建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B

的總影響度為外統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城/的影響度與所選地點(diǎn)到城4的距離的平方成反比，比

例系數(shù)為4；對(duì)城6的影響度與所選地點(diǎn)到城6的距離的平方成反比，比例系數(shù)為A,當(dāng)垃圾處理廠建在

弧

AB

的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城4和城夕的總影響度為0、065、

(1)將y表示成X的函數(shù)；

(2)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧

AB

上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城/和城6的總影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)對(duì)城/

的距離；若不存在，說明理由.

84、一艘輪船在航行中燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比.已知速度為每小時(shí)10千米時(shí)，燃料費(fèi)是每

小時(shí)6元，而其它與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問輪船的速度是多少時(shí)，航行1千米所需的費(fèi)用總

和為最??？

85、某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件.如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期

多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0WxW30)的平方成正比，己知商品單價(jià)降低2元時(shí),

一星期多賣出24件

(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成X的函數(shù)；

(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大？

86、設(shè)力廠作用在質(zhì)點(diǎn)，〃上使相沿x軸正向從x=l運(yùn)動(dòng)到x=IO,已知F=x1+1且力的方向和x軸正向

相同，求F對(duì)質(zhì)點(diǎn)加所作的功.

87、利用定積分的幾何意義，

n2x—l(x20)

求『2/(x)dx+J\sinxcosxdx,其中=

3x—1(x<0)

88、求拋物線犬x)=l+/與直線x=0,x=l,y=0所圍成的平面圖形的面積S、

89、求直線x=0,x=2,y=0與曲線y=/所圍成的曲邊梯形的面積.

90、利用定積分的幾何意義求下列定積分.

(1)J7N1_/必(2)Joncosxdx、

91、彈簧在拉伸過程中，力與伸長量成正比，即力尸(用=日伏為常數(shù)，x是伸長量)，求彈簧從平衡位置拉

長b所做的功.

x—L1

92、已知函數(shù)F(x)={x*口，n,求/、(x)在區(qū)間[—1,3兀]上的定積分.

sinx[JT,3n]

93、用定積分定義求由LO,X=1,y=x+l,y=O圍成的圖形的面積.

94、已知一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度是。⑺=2〃單位：m/s),求該物體在出發(fā)后從z=ls至h=5s

這4s內(nèi)所經(jīng)過的位移.

95>已知fe"dx=e—1,Cerd%=e2—e,C/dx=^,(4*=21112、求:

J0J1JQ0J\X

⑴(c；

(2)J^(ev+3/)d%；

⑶f(e'+gdx、

J1x

96、求由拋物線y=f與直線產(chǎn)：4所圍成的平面圖形的面積.

97、用定積分的意義求下列各式的值.

⑴/y14—x(ix；

⑵/2xdx、

98、汽車以速度。做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間t所行駛的路程s=M、如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)

刻Z：的速度為/(1)=產(chǎn)+2(單位：km/h),那么它在1W-W2這段時(shí)間行駛的路程是多少？

7te7_Q-巧

99、已知/(x)=〃sinR+8cosx,J2y(x)(lx=4,JJJ(x)dx=—2~1求./U)的最大值和最小值.

100、計(jì)算：⑴凡⑸曲+”曲；⑵e(cos2x+8)ck>

~2

101、已知函數(shù)F(x)=3/+2入+1,若/_]F(x)dx=2f(a)成立，求a的值.

x,-1W啟1

102、先作出函數(shù)7'(x)={x，1WXW3的圖象，再求/一lf(x)dx、

.3,3WxW5

103、求下列定積分.

(1)J*y(y—2)dy；⑵/-j-^cos2xdx、

104、已知/LKr+or+Sa-6)d_r=2tz+6且火。uJTia+ax+Btz-ZOdx為偶函數(shù)，求a,b、

105、一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其速度函數(shù)為

2t(0WW1),

2。9

{|r+l(3WK6),

求該物體在g，61時(shí)間段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)路程.

106、一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻f=O(s)開始以速度v(t)=

-一4r+3(m/s)運(yùn)動(dòng).求

(1)在時(shí)刻t=4時(shí)，該點(diǎn)的位置；

(2)在時(shí)刻t=4時(shí)，該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程.

107、設(shè)有一根長為25cm的彈簧，若加以1OON的力，則彈簧伸長到30cm，求使彈簧由25cm伸長到

40cm所做的功.

108、在曲線ynx2。，。)上的某點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍圖形的面積為擊、求切點(diǎn)A的坐

標(biāo)以及切線方程.

109、

如圖所示，直線y=近分拋物線y=x-f與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求女的值.

110、計(jì)算曲線y=~-2%+3與直線y=x+3所圍成的圖形的面積.

11k

如圖所示，一物體沿斜面在拉力F的作用下由A經(jīng)B、C運(yùn)動(dòng)到。，其中AB=50m,BC=40m,CD=30

[4+5(O4W9O)

m,變力尸=，4(單位：N),在AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)尸與運(yùn)動(dòng)方向成30。角，在BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)尸

120(90GW120)

與運(yùn)動(dòng)方向成45。，在C。段尸與運(yùn)動(dòng)方向相同，求物體由A運(yùn)動(dòng)到。所作的功.

E

112＞若函數(shù)/U)=*—l)x+l在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù)，在區(qū)間(6,+°°)

上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

2

113、已知函數(shù)人處二9+加+法+c在x=-1與x=l時(shí)都取得極值.

(1)求。，匕的值與函數(shù)以x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對(duì)xG[-1,2],不等式兀r/c2恒成立，求c的取值范圍.

114、(本小題滿分10分)一物體沿直線以速度伙。=2/-3(，的單位為:秒,v的單位為:米/秒)的速度

作變速直線運(yùn)動(dòng)，求該物體從時(shí)刻t=0秒至?xí)r刻t=5秒間運(yùn)動(dòng)的路程？

115、求函數(shù)y=(x-a)(x-b)(x-c)的導(dǎo)數(shù)

116、求函數(shù)/(x)=戶+5f+59+在區(qū)間［-1,4］上的最大值與最小值,

117、已知函數(shù)y=ax'+/?/,當(dāng)％=1時(shí)，有極大值3；

(1)求a,b的值；(2)求函數(shù)y的極小值

118、已知函數(shù)人%)=/+111%、

⑴求函數(shù)/U)在［1,e］上的最大值和最小值；

(2)求證：當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，函數(shù)式X)的圖象在g(x)=$+$2的下方.

119、設(shè)“為實(shí)數(shù)，函數(shù)yu)=e*-2x+2a,x《R、

(1)求共x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

⑵求證：當(dāng)a>ln2—1且x>0時(shí)，e'X2—2ax+1、

120、某大型商廈一年內(nèi)需要購進(jìn)電腦5000臺(tái)，每臺(tái)電腦的價(jià)格為4000元，每次

訂購電腦的其它費(fèi)用為1600元，年保管費(fèi)用率為10%(例如，一年內(nèi)平均庫存量為150

臺(tái)，一年付出的保管費(fèi)用60000元，則點(diǎn)黑京=1。％為年保管費(fèi)用率)，求每次訂購

13U入4UUU

多少臺(tái)電腦，才能使訂購電腦的其它費(fèi)用及保管費(fèi)用之和最小？

121、一艘漁艇停泊在距岸9km處，今需派人送信給距漁艇34km處的海岸漁站,

如果送信人步行速度為5km/h,漁船為4km/h,問：應(yīng)在何處登岸再步行可以使抵達(dá)漁

站的時(shí)間最短？

122、(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(x)=e*-丘，xeR

(I)若％=€,試確定函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若女>0,且對(duì)于任意xeR,/(國)>0恒成立，試確定實(shí)數(shù)女的取值范圍；

n

(111)設(shè)函數(shù)尸(乃=/(》)+/(-%)，求證：F(1)F(2)F(/i)>(e,,+l+2)2(neN*).

123、設(shè)/?"(*)=卜2_4)(》一。)在(-8,_24"2,+8)上是單調(diào)增函數(shù)；q：不等式一一2>。的解集

為R、

如果P與q有且只有一個(gè)正確，求。的取值范圍、

124、已知函數(shù)70)=83+?2+辰+。在》=一：與兀=1時(shí)都取得極值

(1)求。/的值與函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間

⑵若對(duì)xe[—1,2],不等式恒成立，求c的取值范圍.

125、(本題滿分12分)做一個(gè)圓柱形鍋爐，容積為V,兩個(gè)底面的材料每單位面積的價(jià)格為。元，側(cè)面

的材料每單位面積價(jià)格為/，元，問鍋爐的底面直徑與高的比為多少時(shí)，造價(jià)最低？

X~+nx+h

126、已知f(x)=log3^——--,xe(0,+8),是否存在實(shí)數(shù)乩使/(幻同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:

x

(I)/(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在［1,+。。)上是增函數(shù)；(2)/(X)的最小值是1,若存在，求出a、b,

若不存在，說明理由.

127、求函數(shù)y=(l+cos2x)3的導(dǎo)數(shù)

128、求函數(shù)y=j2x+4x+3的值域

129、已知函數(shù)/(x)=;?-gf+H+C、

⑴若/(x)在(-8,+8)上是增函數(shù)，求b/(x)的取值范圍；

⑵若/(x)在x=l處取得極值，且xe［-1,2］時(shí)，f(x)</恒成立，求c的取值范圍、

130、己知函數(shù)”x)=x(x-l)(x-a)在⑵+8)上是增函數(shù)，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍、

⑶、如圖所示，P是拋物線C：yf,上一點(diǎn)，直線1過點(diǎn)P并與拋物線

C在點(diǎn)P的切線垂直，1與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí),

求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程，并求點(diǎn)M到x軸的最短距離、

132、已知定義在R上的函數(shù)/(xb—Z^+bf+cxecGR),函數(shù)產(chǎn)(力=/(力一3%2是奇函數(shù)，函數(shù)

f(X)在X=-1處取極值、

(1)求/(X)的解析式；

(2)討論/(x)在區(qū)間［-3,3］上的單調(diào)性、

3

133、(本題滿分12分)設(shè)/(x)=V+—求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間及其極值；

134>(本小題滿分12分)/(x)=x-l-In2x+2alnx(x>0).

(I)令尸(幻=礦(幻，討論尸(%)在(0,+8)內(nèi)的單調(diào)性并求極值;

(II)求證：當(dāng)x>l時(shí)，tBWx>ln2x-2alnx-bl.

y1

135、(本大題滿分10分)設(shè)函數(shù)〃x)=——(aGR),為使/(x)在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)，求。

\lx-a

的取值范圍。

136、（本題滿分10分）如圖，由y=0,x=8,y=x?圍成的曲邊三角形，在曲線弧OB上求一點(diǎn)M,

使得過M所作的y=x2的切線PQ與OA,AB圍成的三角形PQA面積最大。

137、求垂直于直線2x—6y+1=0并且與曲線y=丁+3/—5相切的直線方程

138、（本小題滿分12分）已知曲線y=V+x—2在點(diǎn)益處的切線/,平行直線

4x—y—1=0,且點(diǎn)Po在第三象限，

⑴求凡的坐標(biāo)；⑵若直線/,且/也過切點(diǎn)Po,求直線/的方程、

139、(本小題滿分12分)已知函數(shù)/。)=0?+(。-1?2+483-2)無+匕的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，試

判斷/(%)在區(qū)間［-4,4］上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論、

140、(本小題滿分14分)己知函數(shù)/。)=坨忖0工0),函數(shù)g(x)=

77k礦2°)

⑴當(dāng)XHO時(shí),求函數(shù)y=g(x)的表達(dá)式；

⑵若?！?,函數(shù)y=g(x)在(0,+8)上的最小值是2,求a的值；

27

⑶在⑵的條件下,求直線y=與函數(shù)y=g(x)的圖象所圍成圖形的面積、

141、已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(f)="+42+a+d,下圖是其運(yùn)動(dòng)軌跡的一部分，若tw［1,4］時(shí),

s(t)〈3d，恒成立，求d的取值范圍、

142、如圖(1),在三角形A8C中，ABLAC,若4)±fiC,則加？=BDBC；若類比該命題，如圖(2),

三棱錐中，面ABC,若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M,則有什么結(jié)論？命題

是否是真命題.

圖(1)圖(2)

143,觀察①tan10°tan20°+tan20°tan600+tan60°tan10°=1、②tan5°tan10°+

tan10°tan750+tan75°tan5°=K由以上兩式成立得到一個(gè)由特殊到一般的推廣,

此推廣是什么？并證明你的推廣.

144、平面內(nèi)有"個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，若次〃)表示這〃

個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，試求式〃).

145、已知a是整數(shù)，/是偶數(shù)，求證：。也是偶數(shù).

146、已知命題：”若數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，且a.>0,則數(shù)歹=加/%(〃€!<)也是等比數(shù)列”.類

比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論.

147、用三段論方法證明：Va2+b2+yjb2+c2+\jc2+a2\f2(a+b+c).

148、設(shè)平面內(nèi)有"條直線(〃23),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)，若

用人〃)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(1)求旭)；

(2)當(dāng)〃＞4時(shí)，用〃表示出式〃).

149、若不等式」_+」_++—!—＞色對(duì)一切正整數(shù)〃都成立，求正整數(shù)。的最大值，并證明結(jié)論.

〃+1n+23n+124

150、觀察下列等式：

①cos2a=2cos2a-1；

②cos4a=8cos4ct—8cos2a+1；

③cos6a=32cos6a_48cos4a+18cos2a—1；

④cos8a=128cos8a—256cos6?+160cos4a—32cos2a+1；

⑤cos10a=/wcos10a—1280cos%+l120cos6a+ncos4a+pcos2a—1>

可以推測，m—n+p=、

151、是否存在常數(shù)ab,c,使得等式1（〃2_12）+2（鹿2一22）++〃（"一"）=。/+加2+c,對(duì)一切正整數(shù)〃

都成立？若存在，求出ah,c的值；若不存在，說明理由.

152、已知且a+/?+c=0,求證：———<\/3.

a

153＞如圖，已知Q4_L矩形ABC。所在平面，M,N分別是AHPC的中點(diǎn).

p

求證：(1)MV〃平面小￡＞；(2)MNLCD.

154、求證：當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大.

155、將下列演繹推理寫成三段論的形式.

(1)一切不能被2整除的數(shù)都是奇數(shù)，75不能被2整除，所以75是奇數(shù);

(2)三角形的內(nèi)角和為180°,RtZXABC的內(nèi)角和為180°：

(3)菱形的對(duì)角線互相平分.

156、已知實(shí)數(shù)ab,c,d滿足a+6=c+d=l,ac+bd>\,求證ab,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).

157、己知：a//p,ILa,/Ca=4、求證：/_1_尸、

158>已知a,b,c,是實(shí)數(shù)，函數(shù)人打=^^+云+的g(x)=ax+b、當(dāng)一IWxWl時(shí)，|/(x)|Wl、

(1)求證匕|式1；

(2)當(dāng)一IWxWl時(shí)，求證一2Wg(x)W2、

159>設(shè)/(%)=<；"—，^(x)=--?—(其中々>0,且awl).

(1)5=2+3請(qǐng)你推測g⑸能否用/(2),/(3),g(2),g(3)來表示;

(2)如果(1)中獲得了一個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你推測能否將其推廣.

160、由下列不等式：1+1+1>1,\+-+-+1+1+1++—>2,,你能得到

22323722315

一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明.

161>已知實(shí)數(shù)ab,c,d滿足a+h=c+d=l,ac+bd>l,求證ab,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).

162、求證：當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大.

163、如圖，已知矩形所在平面，M,N分別是ARPC的中點(diǎn).

求證：(1)〃平面Q4。；(2)MNA.CD.

DI/M

164、如圖(1),在三角形ABC中，ABA.AC,若AD"C，則加2田武.若類比該命題，如圖(2),

三棱錐A-BCD中，ADL面A8C,若A點(diǎn)在三角形8C￡＞所在平面內(nèi)的射影為M,則有什么結(jié)論？命題

是否是真命題.

C

圖(1)圖⑵

165、用反證法證明：已知a、人均為有理數(shù)，且正和銀都是無理數(shù)，求證：、「十也是無理數(shù).

166、等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為S”m=1+書,8=9+30、

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)斯與前n項(xiàng)和S“；

(2)設(shè)兒=曾(“GN*),求證：數(shù)列｛兒｝中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.

167、若不等式

111a

---~\-----++----->—

n+l〃+23/2+124

對(duì)一切正整數(shù)w都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論.

168、已知函數(shù)/（X）=燈1+『，若求證：代〃）一加）|<|a一旬、

169、已知三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：江，的，也不成等差數(shù)歹U.

170、已知a是整數(shù)，〃是偶數(shù)，求證：。也是偶數(shù).

171、

如圖所示，在直四棱柱AiBCQi—ABC。中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BC。滿足條件時(shí)，有4cl_BQi、

（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）

172、已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的三邊為“，b,c,

求,正.十b+c〃+人+。'

173、設(shè)a,b>0,且aWb,求證：c^+b^Xrb+ab2^

174、若〃、b、c均為實(shí)數(shù)，且a=f—2y+.b=y1—2z+^,c=z2—2x+^,

求證：a、b>c中至少有一個(gè)大于0、

175、求證：不論x,y取何非零實(shí)數(shù)，等式總不成立.

已知求證(一不可能都大于［、

176、a,b,c￡(0,1),1—a)b,(1—6)c,(1c)a

177、設(shè)

nx-a

g(%)=

2

（其中a>0,且aw1）

(1)5=2+3請(qǐng)你推測g(5)能否用

/(2),/(3),g(2),g(3)

來表示；

(2)如果(1)中獲得了一個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你推測能否將其推廣.

178、等比數(shù)列｛a,J的前〃項(xiàng)和為S”，已知對(duì)任意的〃CN*,點(diǎn)(”，S“)均在函數(shù)y=〃+他>0且匕W1,

6,，?均為常數(shù))的圖象上.

⑴求r的值；

(2)當(dāng)6=2時(shí),記兒=2(2g2a.+l)(〃GN*),

證明：對(duì)任意的“GN*,不等式號(hào).修?甯■八產(chǎn)i成立.

179、已知加0=(2〃+7>3"+9,存在正整數(shù)〃7,使得對(duì)任意”WN*都能使m整除_/(〃),

則最大的機(jī)的值為多少？并證明之.

180、在數(shù)列｛斯｝中，ai—Lan+i—T~T7(n=1,2,3,—)

乙II

(1)求。2，。3；

⑵猜想數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

181、試比較2〃+2與〃2的大小(〃￡N*),并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

111R

182>求證：