高二第一次月考（10月）模擬試卷(時(shí)間：120分鐘，分值：150分，范圍：選擇性必修一第一、二章)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．與向量反向的單位向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用與向量反向的單位向量為求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以與向量反向的單位向量為．故選：A2．已知直線與直線，若，則（

）A．6 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，求解方程得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線，且，所以，解得，故選：A.3．若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及方程表示圓列出方程組，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在圓的外部，所以，解得.故選：C．4．如圖，三棱錐中，，分別是，的中點(diǎn)，設(shè)，，，用，，表示，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合向量線性運(yùn)算即可求得【詳解】，分別是，的中點(diǎn)，.故選：D.5．某直線l過(guò)點(diǎn)，且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，則該直線的斜率是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】討論在x軸和y軸上的截距均為0或均不為0，設(shè)直線方程并由點(diǎn)在直線上求參數(shù)，即可得直線方程，進(jìn)而寫出其斜率.【詳解】當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)，則，解得，當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)，則，解得，所以所求直線的方程為，即，綜上，該直線的斜率是或．故選：D6．若直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．10【答案】A【解析】由直線過(guò)圓心得滿足的關(guān)系式，說(shuō)明點(diǎn)在一條直線上，由點(diǎn)到平面的距離公式可得最小值．【詳解】由題意直線過(guò)已知圓的圓心，圓心為，∴，即，點(diǎn)在直線上，表示直線的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，∴最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查二元函數(shù)的最值問(wèn)題．解題方法是利用其幾何意義：兩點(diǎn)間距離求解，解題關(guān)鍵是求出滿足的條件，得點(diǎn)在一條直線上，從而只要求得定點(diǎn)到直線的距離即可得．7．正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，由題意可得點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，又，再求出的最值即可求解【詳解】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．8．若圓）與圓交于A、B兩點(diǎn)，則tan∠ANB的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析出AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性確定時(shí)，最大，此時(shí)最大，最大值為.【詳解】可化為，故圓N的圓心為，半徑為，由題意可知：AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，所以且，故，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，在△NAB中，，又，在上單調(diào)遞減，故為銳角，且當(dāng)時(shí)，最大，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，且最大值為，故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知空間中三點(diǎn)，，，則（

）A． B．C． D．A，B，C三點(diǎn)共線【答案】AB【詳解】易得，，，，A正確;因?yàn)椋?，B正確，D錯(cuò)誤;而，C錯(cuò)誤.故選:AB.10．若直線不能構(gòu)成三角形，則的取值為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】分，過(guò)與的交點(diǎn)三種情況討論即可.【詳解】因?yàn)橹本€不能構(gòu)成三角形，所以存在，過(guò)與的交點(diǎn)三種情況，當(dāng)時(shí)，有，解得；當(dāng)時(shí)，有，解得；當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)，則聯(lián)立，解得，代入，得，解得；綜上：或或.故選：ABD.11．已知曲線的方程為，則（

）A．曲線關(guān)于直線對(duì)稱B．曲線圍成的圖形面積為C．若點(diǎn)在曲線上，則D．若圓能覆蓋曲線，則的最小值為【答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件逐一分析每一個(gè)選項(xiàng)，推理、計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，曲線上任意點(diǎn)有：，該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)有，即曲線上任意點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在曲線上，A正確；對(duì)于B，因點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，也都在曲線上，則曲線關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在直線上方的半圓(含端點(diǎn))，因此，曲線是四個(gè)頂點(diǎn)為的正方形各邊為直徑向正方形外所作半圓圍成，如圖，所以曲線圍成的圖形面積是，B正確；對(duì)于C，點(diǎn)在曲線上，則，則有，即，解得，而，C正確；對(duì)于D，曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值為，圓能覆蓋曲線，則，D不正確.故選：ABC12．已知P是圓O：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q(1，0)，以P為圓心，PQ為半徑作圓P，設(shè)圓P與圓O相交于A，B兩點(diǎn)．則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)時(shí)，圓P的面積最小B．直線AB過(guò)定點(diǎn)C．點(diǎn)Q到直線AB的距離為定值D．【答案】ACD【分析】A由題意圓P的面積最小只需最小，結(jié)合圓的性質(zhì)判斷；B應(yīng)用特殊點(diǎn)，討論為圓O在x軸交點(diǎn)分別判斷直線的位置即可判斷；C由兩圓相交弦所在直線的求法確定直線，再由點(diǎn)線距離公式判斷；D由垂直平分，結(jié)合弦心距、半徑、弦長(zhǎng)關(guān)系得到關(guān)于圓P半徑的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求范圍.【詳解】A：根據(jù)圓的性質(zhì)知：P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)時(shí)最小，此時(shí)圓P的面積最小，正確；B：若圓P的半徑為且，如下圖，當(dāng)為圓O在x軸右側(cè)交點(diǎn)，此時(shí)，顯然直線垂直于x軸，在點(diǎn)右側(cè)；如下圖，當(dāng)為圓O在x軸左側(cè)交點(diǎn)，此時(shí)，顯然直線也垂直于x軸，在點(diǎn)左側(cè)；所以直線不可能過(guò)定點(diǎn)，錯(cuò)誤；C：由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，所以圓P方程為，又直線為兩圓相交弦，則圓P、圓O相減并整理得：直線，所以Q到直線AB的距離為定值，正確；D：由題意，與交于C且垂直平分，令，則，可得，故，所以，正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)C利用兩圓相交求相交弦所在直線方程，結(jié)合點(diǎn)線距離公式求距離，選項(xiàng)D通過(guò)弦心距、弦長(zhǎng)、半徑的幾何關(guān)系得到關(guān)于圓P半徑的表達(dá)式.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．把直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到的直線的方程為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用差角正切公式求旋轉(zhuǎn)后直線斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】若為已知直線傾斜角，將其順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的直線傾斜角為，而，故，所以旋轉(zhuǎn)后直線為，則.故答案為：14．已知分別是，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____________.【答案】5【分析】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，畫圖確定最值位置，再求解最小值即可.【詳解】如圖，圓是圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓，所以圓的方程為，圓心為，且由圖知，五點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)，所以的最小值為5.故答案為：5.15．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，為過(guò)直線的平面，則截該正方體的截面面積的取值范圍是________.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，利用空間向量計(jì)算到的最小距離和最大距離可得面積的最值.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，與棱的交點(diǎn)為，則四邊形為平行四邊形.在面內(nèi)過(guò)作的垂線，垂足為，則截面的面積為.設(shè)，，則，.因?yàn)?，故即，?因，故.又，其中，所以，故，填.【點(diǎn)睛】空間中點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算，可把距離放在可解的幾何圖形中，利用解三角形等方法計(jì)算該距離，如果找不到合適的幾何圖形“安置”該距離，則可以建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)空間向量的方法計(jì)算該距離.16．已知直線：與軸相交于點(diǎn)，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，兩點(diǎn)，記是的中點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【分析】利用圓的性質(zhì)，結(jié)合圖像，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為跟圓有關(guān)的最值問(wèn)題進(jìn)行處理.【詳解】由題意設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)?，是圓的切線，所以，，所以在以為直徑的圓上，其圓的方程為:，又在圓上，將兩個(gè)圓的方程作差得直線的方程為：，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)?，，，，四點(diǎn)共線，所以，即在以為直徑的圓上，其圓心為，半徑為，如圖所示:所以，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且與軸的正半軸相切.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線：與圓交于，，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意，設(shè)圓心且半徑，由圓所過(guò)的點(diǎn)列方程求參數(shù)，結(jié)合與軸的正半軸相切確定圓的方程；（2）利用弦心距、半徑與弦長(zhǎng)的關(guān)系求.（1）若圓心，則圓的半徑，即，又圓經(jīng)過(guò)，，則，可得，所以或，又圓與軸的正半軸相切，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知：到直線的距離為，圓的半徑為，所以.18．（12分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）建立坐標(biāo)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求平面法向量即可求解，（2）利用向量法求解點(diǎn)面距離即可．（1）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，分別為，的中點(diǎn)，，1，，，1，，，0，，，2，，設(shè)平面的法向量為，則,即，令，則因?yàn)椋?，所以平面．?）,,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以19．（12分）已知中，點(diǎn)，邊所在直線的方程為，邊上的中線所在直線的方程為.(1)求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)以為圓心作一個(gè)圓，使得，，三點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)在圓上，一個(gè)點(diǎn)在圓外，求這個(gè)圓的方程.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意，設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，代入對(duì)應(yīng)直線方程，解得答案；（2）由題意，分別求點(diǎn)到的距離，比較大小，可得答案.（1）設(shè)，，的中點(diǎn)，由題意可得直線的直線方程：，則，解得，，解得，故，.（2），，，由，則圓方程為.20．（12分）如圖，已知平面，底面為矩形，，，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）若為中點(diǎn)，連接，易證為平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求的方向向量與平面的法向量，應(yīng)用向量夾角坐標(biāo)表示求線面角的正弦值；（3）由是面的一個(gè)法向量，結(jié)合（2）并應(yīng)用向量夾角坐標(biāo)表示求面面角的余弦值；（1）若為中點(diǎn)，連接，又、為、的中點(diǎn)，底面為矩形，所以且，而且，所以且，故為平行四邊形，故，又面，面，則面.（2）由題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，，所以，，，，則，，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，故，所以與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知：是面的一個(gè)法向量，又是面的一個(gè)法向量，所以，故平面與平面的夾角的余弦值.21．（12分）如圖，已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B(1)求直線AB的方程，并寫出直線AB所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；(3)若兩條切線與軸分別交于兩點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把直線看成圓和圓公共弦所在的直線，求出直線方程即可得到定點(diǎn)；（2）利用幾何的知識(shí)得到中點(diǎn)的軌跡，根據(jù)軌跡求方程即可；（3）設(shè)切線方程，利用圓心到切線的距離為半徑得到，，再把表示出來(lái)求最小值即可.（1）因?yàn)椋瑸閳A的切線，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，又點(diǎn)在圓上，所以線段AB為圓和圓的公共弦，因?yàn)閳A：①，所以，，中點(diǎn)為，則圓：，整理得②，②-①得直線AB的方程為，所以，所以直線AB過(guò)定點(diǎn).（2）∵直線AB過(guò)定點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為直線AB與直線MP的交點(diǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)，直線AB過(guò)的定點(diǎn)為點(diǎn)，易知HF始終垂直于FM，所以點(diǎn)的軌跡為以HM為直徑的圓，，，∴點(diǎn)的軌跡方程為；（3）設(shè)切線方程為，即，故到直線的距離，即，設(shè)PA，PB的斜率分別為，，則，，把代入，得，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為．22．（12分）已知圓，圓過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為（在第二象限）.（1）求的正弦值；（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作兩圓切線，若切線長(zhǎng)相等，求關(guān)系；（3）是否存在定點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)有無(wú)數(shù)對(duì)相互垂直的直線滿足，且它們分別被圓、圓所截得的弦長(zhǎng)相等？若存在，求出所有的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在且其坐標(biāo)為或者.【分析】（1）連