蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)系強(qiáng)化班“高等代數(shù)”期中考試卷（2003.5）姓名_________學(xué)號(hào)_________得分_______1.(20分)設(shè)A=，A是否相似于一個(gè)對角矩陣？如果是，則求可逆矩陣C，使得C－1AC是對角矩陣，并且寫出這個(gè)對角矩陣。2.(20分)設(shè)V=Mat2×2(C)。對于B∈V，令σ(B)=B。已知σ是線性空間V的一個(gè)線性變換，求σ8+σ2在基{，，，}下的矩陣。3.(20分)設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，W是V的一個(gè)子空間，U={σ是V的一個(gè)線性變換|σ（V）W}。證明：U關(guān)于通常的線性變換的加法與數(shù)量乘積是F上的線性空間。4.(20分)設(shè)V是有理數(shù)域Q上的線性空間，dimV=n，設(shè)σ是V的一個(gè)線性變換，并且σ3=2σ2－2σ+4id。證明：如果λ0是σ的一個(gè)特征值，則λ0等于2。5.(20分)設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，dimV=n。設(shè)σ是V的一個(gè)線性變換。如果σn=o，但是σn－1≠o，證明：存在V的一個(gè)有序基，使得σ在該基下的矩陣是。數(shù)學(xué)系高等代數(shù)期末考試卷（強(qiáng)化班）（2003.7）B班級(jí)........姓名：.................學(xué)號(hào)............得分.......1.(20分)求下面矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：①②2.(15分)設(shè)α1=，α2=，求L(α1，α2)的正交補(bǔ)一個(gè)基。3.(15分)設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，σ，τ∈(V)。設(shè)mσ(x)與mτ(x)分別是σ與τ的最小多項(xiàng)式。證明：如果（mσ(x)，mτ(x)）=1，則mτ(σ)是可逆的。4.(15分)設(shè)A∈Matn×n(Q)。證明：如果A3=2A2+3A，則5.(15分)設(shè)V是歐幾里得空間，設(shè)σ是V的一個(gè)對稱變換。證明：V是σ(V)與ker(V)的直和。6.(12分)設(shè)A∈Matn×n(R)，并且A是正交矩陣。證明：如果|A|=－1，則－1是A的一個(gè)特征值。7.(8分)設(shè)A，B∈Matn×n(C)，證明：如果AB－BA=A，則A不是可逆的?！陡叩却鷶?shù)》試題1一、選擇題：（2=6分）1、A，B，C是同階方陣，且ABC=I，則必有（）（A）ACB=I（B）BAC=I（C）CAB=I（D）CBA=I2、設(shè)為任意非零向量，則（）。(A)線性相關(guān)(B)線性無關(guān)(C)線性相關(guān)或線性無關(guān)3、設(shè)向量組I（），II（）則必須有（）。(A)I無關(guān)II無關(guān)(B)II無關(guān)I無關(guān)(C)I無關(guān)II相關(guān)(D)II相關(guān)I相關(guān)二、填空：1、單個(gè)向量線性無關(guān)的充要條件是______________________________。2、A是矩陣，對任何矩陣，方程AX=b都有解的充要條件是________________________________________________。3、敘述替換定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。三、計(jì)算題：4、四、證明題：1、證明向量（）線性相關(guān)必要且只要其中某一個(gè)向量是其余向量的線性組合。2、設(shè)在向量組中，并且每一都不能表成它的前個(gè)向量的線性組合，證明線性無關(guān)。3、設(shè)向量可由向量組線性表示，證明表法唯一的充要條件是線性無關(guān)?！陡叩却鷶?shù)》試題2單選題（每小題4分，共20分）1、設(shè)A，B為數(shù)域F上的n階方陣，下列等式成立的是（）。A、det（A+B）=detA+detBB、det（kA）=kdetAC、det（kA）=kn-1detAD、det（AB）=detAdetB2、如果AA-1=A-1A=I，那么矩陣A的行列式|AA、|A|=0B、|A|≠0C、|A|=k，k＞1D、|A|=k，k＜-13、設(shè)A為數(shù)域F上的n階方陣，滿足A2-2AA、AB、A-IC、A+ID、A-2I4、以下乘積中（）是5階行列式D=|aij|中取負(fù)號(hào)的項(xiàng)。A、a31a45a12C、a23a51a5、設(shè)A*為n階方陣A的伴隨矩陣，則||A*|A|=（）。A、B、C、D、二、填空題（每小題3分，共15分）1、設(shè)n級(jí)排列的反數(shù)的反序數(shù)為k，則=。2、設(shè)，A*是A的伴隨矩陣，則=。3、設(shè)使得≤2，且f（1）=1，=3，f（2）=3，則f（x）=。4、設(shè)，，若，則a=，b=。5、設(shè)，則R(A)=。三、計(jì)算題（共59分）1、令F是有理數(shù)域，求出F[x]的多項(xiàng)式，的最大公因式，并求出使得。（12分）2、求多項(xiàng)式的有理根。（7分）3、用初等對稱多項(xiàng)式表示n元對稱多項(xiàng)式。（10分）4、問當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有唯一解？無解？有無窮多解？并在有解時(shí)寫出解。（10分）5、計(jì)算n階行列式（6分）6、設(shè)矩陣，問矩陣A是否可逆？若可逆，求出。（8分）7、問取何值時(shí)，多項(xiàng)式，有公根。（6分）四、證明題（共6分）設(shè)p（x）是F[x]中的一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式。如果，只要p（x）|f（x）g（x）就有p（x）|f（x）或p（x）|g（x），證明：p（x）不可約。（6分）《高等代數(shù)》試題3單選題（每小題4分，共20分）1、設(shè)A，B為數(shù)域F上的n階方陣，下列等式成立的是（）。A、det（A+B）=detA+detBB、det（kA）=kdetAC、det（kA）=kn-1detAD、det（AB）=detAdetB2、若矩陣A，B滿足AB=0，則（）。A、A=0或B=0B、A≠0且B≠0C、A=0且B=0D、以上結(jié)論都不正確3、如果矩陣A的秩等于r，則（）。A、至多有一個(gè)r階子式不為零B、所有r階子式都不為零C、所有r+1階子式全為零，而至少有一個(gè)r階子式不為零D、所有低于r階子式都不為零4、設(shè)n階矩陣A可逆（n≥2），A*是矩陣A的伴隨矩陣，則結(jié)論正確的是（）。A、B、C、D、5、以下乘積中（）是4階行列式D=|aij|中取負(fù)號(hào)的項(xiàng)。A、a11a23a33C、a12a23a二、填空題（每小題3分，共15分）1、設(shè)n級(jí)排列的反數(shù)的反序數(shù)為k，則=。2、設(shè)，A*是A的伴隨矩陣，則=。3、設(shè)使得≤2，且f（1）=1，=3，f（2）=3，則f（x）=。4、當(dāng)a，b滿足條件時(shí)，多項(xiàng)式f（x）=x3+3ax+b才能有重因式。5、設(shè)，則R（A）=。三、計(jì)算題（共59分）1、設(shè)，求出，使得。（12分）2、求多項(xiàng)式的有理根。（7分）3、用初等對稱多項(xiàng)式表示n元對稱多項(xiàng)式。（10分）4、問取何值時(shí)，線性方程組有唯一解？無解？有無窮多解？并在有解時(shí)寫出解。（10分）5、計(jì)算n階行列式（6分）6、設(shè)矩陣，問矩陣A是否可逆？若可逆，求出。（8分）7、問取何值時(shí)，多項(xiàng)式，有公根。（6分）四、證明題（共6分）設(shè)p（x）是多項(xiàng)式f（x）的一個(gè)k（k＞1）重因式，那么p（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)的一個(gè)k-1重因式。（6分）《高等代數(shù)》試題4選擇題。（每小題5分，共15分）1、下列集合中，是的子空間的為（），其中（A）（B）（C）（D）2、設(shè)是相互正交的n維實(shí)向量，則下列各式中錯(cuò)誤的是（）。（A）（B）（C）（D）3、設(shè)A是矩陣，若（）。則AX=0有非零解。（A）m＜n（B）積A=n（C）m＞n（D）積A=m4、對于n階實(shí)對稱矩陣A，以下結(jié)論正確的是（）。（A）一定有n個(gè)不同的特征根。（B）正交矩陣P，使成對角形。（C）它的特征根一定是整數(shù)。（D）屬于不同特征根的特征向量必線性無關(guān)，但不一定正交5、設(shè)向量組線性無關(guān)。線性相關(guān)，則（）。（A）線性表示。（B）線性表示（C）線性表示。（D）線性表示。二、填空題（每小題3分共15分）1、設(shè)是歐氏空間，則是正交變換。2、設(shè)，則在=。3、數(shù)域F上任一n維向量空間都卻與。（不同構(gòu)，同構(gòu)）4、n+1個(gè)n維向量構(gòu)成的向量組一定是線性的。（無關(guān)，相關(guān)）5、令S是數(shù)域上一切滿足條件的n階矩陣A所成的向量空間，則=。三、計(jì)算題（共55分）1、（15分）設(shè)非齊次線性方程組為試問（1）取何值時(shí)，方程組有唯一解？并求出唯一解。（2）取何值時(shí)，方程組有無窮多解？并用基礎(chǔ)解系表示出來。（3）取何值時(shí)，方程組無解？系系級(jí)班考生姓名學(xué)號(hào)選課教師姓名第選課教學(xué)班…………密…………封…………線…………內(nèi)…………不…………要…………答…………題………………正定？3、（10分）設(shè)，求一個(gè)正交矩陣為對角形矩陣。4、（10分）設(shè)，用初等變換求一可逆矩陣是對角形式。5、（15分）設(shè)中的兩個(gè)基分別為,求由基的過渡矩陣。已知向量在基下的坐標(biāo)為，求在基下的坐標(biāo)。四、證明題（共15分）1、設(shè)u

是一個(gè)正交矩陣，證明(1)u的行列等于1或-1；（2）u的特征根的模等于1；（3）u的伴隨矩陣*也是正交矩陣。（8分）2、全是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)線性變換，如果分別是t的屬于互不相同的特征值的特征向量，那么線性無關(guān)。（7分）《高等代數(shù)》試題5選擇題。（每小題5分，共15分）1、設(shè)都是三維向量空間的的基，且，則矩陣是由基到（）的過渡矩陣。（A）（B）（C）（D）2、n階方陣A具有n個(gè)不同的特征值是A與對角陣相似的（）。（A）充分必要條件（B）充分而非必要條件（C）必要而非充分條件（D）既非充分也非必要條件3、設(shè)，是相互正交的n維實(shí)向量，則下列各式中錯(cuò)誤的是（）。（A）（B）（C）（D）4、對于n階實(shí)對稱矩陣A，以下結(jié)論正確的是（）。（A）一定有n個(gè)不同的特征根。（B）正交矩陣P，使成對角形。（C）它的特征根一定是整數(shù)。（D）屬于不同特征根的特征向量必線性無關(guān)，但不一定正交5、設(shè)向量組線性無關(guān)。線性相關(guān)，則（）。（A）線性表示。（B）線性表示。（C）線性表示。（D）線性表示。二、填空題（每小題3分共15分）1、設(shè)為變換，V為歐氏空間，若都有，則為變換。2、在。3、令S是數(shù)域F上一切滿足條件的n階矩陣A所成的向量空間，則=。4、n+1個(gè)n維向量構(gòu)成的向量的一定線性的。5、設(shè)V與W都是F上的兩個(gè)有限維向量空間，則。三、計(jì)算題（共55分）1、（15）設(shè)非齊次線性方程組為試問（1）取價(jià)值時(shí)，方程組有唯一解？并求出唯一解。（2）取價(jià)值時(shí)，方程組有無窮多解？并用基礎(chǔ)解系表示出來。（3）取價(jià)值時(shí)，方程組無解？2、（5分）取何值時(shí)，實(shí)二次型是正定的？3、（10分）設(shè)，求一個(gè)正交矩陣為對角形矩陣。4、（10分）設(shè)，用初等變換求一可逆矩陣是對角形式。5、（15分）設(shè)中的兩個(gè)基分別為，求由基的過渡矩陣。已知向量在基下的坐標(biāo)為x=，求在基下的坐標(biāo)。四、證明題（共15分）1、（8分）設(shè)u

是一個(gè)正交矩陣，且，證明①u有一個(gè)特征根等于1。②u的特征多項(xiàng)式有形狀,這里-1≤t≤32、（7分）全是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)線性變換，如果分別是的屬于互不相同的特征值的特征向量，那么線性無關(guān)?！陡叩却鷶?shù)》試題6一、選擇題（2=6分）1、A是n階矩陣，K是非零常數(shù)，則|KA|=()(A)K|A|(B)|K||A|(C)(D)2、A，B，C是同階方陣，且ABC=I，則必有（）（A）ACB=I（B）BAC=I（C）CAB=I（D）CBA=I3、A，B是n階方陣，則下列結(jié)論成立得是（）AB0（B）|A|=0(C)|AB|=0(D)二、填空（3分）1、=_________________________2、,則f(4)=____________________________3、A,B,C是同階矩陣，若AB=AC,必有B=C，則A應(yīng)是_____________4、已知A其中，則__________________三、證明,行列式（10分）四計(jì)算n階行列式（6分）123把行列式依第三行展開然后加以計(jì)算4.56、()五、取怎樣的數(shù)值時(shí),線性方程組有唯一解，沒有解，有無窮多解?（10分）六求矩陣的逆矩陣.（8分）《高等代數(shù)》試題7問下列向量組是否線性相關(guān)？（1）（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）（2）（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）設(shè)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)?？紤]中以下兩組向量;容易證明,和都是的基.求出由基到的過渡矩陣.四求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.五.設(shè)F上三維向量空間的相性變換關(guān)于基的矩陣是,求關(guān)于基的矩陣.六矩陣,求矩陣T,使是對角形矩陣.七判斷實(shí)二次形10是不是正定的.八取什么值時(shí),實(shí)二次形是正定的.九證明:兩個(gè)對稱變換的和還是一個(gè)對稱變換,兩個(gè)對稱變換的乘積是不是對稱變換?找出兩個(gè)對稱變換的乘積是對稱變換的一個(gè)充要條件.十證明題:設(shè)向量組線性無關(guān),而線性相關(guān),那么一定可以由相性表示.《高等代數(shù)》試題8（10分）設(shè)（f（x），g（x））=1，試證（1）（f（x），f（x）+g（x））=1（2）（f（x）g（x），f（x）+g（x）=1二、（10分）求f（x）=的有理根。三、（20分）計(jì)算下列行列式（1），（2）， （3）四、（10分）試證五、（15分）設(shè)，請用兩種方法（行初等變換，伴隨矩陣）求。六、（10分）用克萊姆規(guī)則解方程組七、（15分）設(shè)是一個(gè)n階方陣，其中A，B分別是r階，s階可逆陣，r+s=n，（1）證明，（2）設(shè)，求。八、計(jì)算（10分），(其中)九、計(jì)算（10分）《高等代數(shù)》試題9選擇題：（24=8分）1、A，B，C是同階方陣，且ABC=I，則必有（）（A）ACB=I（B）BAC=I（C）CAB=I（D）CBA=I2、A，B都是n階方陣，且A與B有相同的特征值，則（）A相似于B（B）A=B（C）A合同于B（D）|A|=|B|3、A是n階實(shí)方陣，則A是正交矩陣的充要條件是（）（A）AA（B）（C）（D）4、設(shè)A是n階方陣，那么是（）（A）對稱矩陣（B）反對稱矩陣（C）可逆矩陣（D）對角矩陣填空題：（35=15分）A相似于單位矩陣，則A=________________.A滿足，則A有特征值______________________.A是正定陣，則k滿足條件__________________.任一個(gè)有限維的向量空間的基是_______________的，但任兩個(gè)基所含向量個(gè)數(shù)是___________________.計(jì)算題：判斷實(shí)二次型是不是正定的。（8分）求矩陣的特征根和相應(yīng)的特征向量。（10分）3、設(shè)A為n階方陣，，判斷A+3E與A是否一定可逆，如果可逆，求出其逆。（9分）已知矩陣求一個(gè)可逆矩陣T，使是對角形矩陣。（12分）已知,求被除所得的商式和余式。（8分）6、令F是有理數(shù)域，求F[x]的多項(xiàng)式的最大公因式。（12分）7、在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式為不可約因式的乘積。（8分）8、求多項(xiàng)式的有理根。（10分）《高等代數(shù)》試題10一、選擇題（每題3分，共12分）1、下列集合有（）個(gè)是的子空間；；；；；（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)2、（1）若兩個(gè)向量組等價(jià)，則他們所含向量的個(gè)數(shù)相同；（2）若向量組線性無關(guān)，可由線性表出，則向量組也線性無關(guān)；（3）設(shè)線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；（4）線性相關(guān)，則一定可由線性表出；以上說法正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)3、（1）維向量空間的任意個(gè)線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成的一個(gè)基；（2）設(shè)是向量空間中的個(gè)向量，且中的每個(gè)向量都可由之線性表示，則是的一個(gè)基；（3）設(shè)是向量空間的一個(gè)基，如果與等價(jià)，則也是的一個(gè)基；（4）維向量空間的任意個(gè)向量線性相關(guān)；以上說法中正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)4、（1）線性變換的本征向量之和仍為的本征向量；（2）屬于線性變換的同一本征值的本征向量的任一線性組合仍是的本征向量；（3）相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式；（4）的非零解向量都是的屬于的特征向量；以上說法正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)二、填空題（每空3分，共18分）1、復(fù)數(shù)域作為實(shí)數(shù)域上的向量空間，則___________它的一個(gè)基為____________________。2、設(shè)是向量空間的一個(gè)基，由該基到的過渡矩陣為___________________。3、設(shè)是數(shù)域上的3維向量空間，是的一個(gè)線性變換，是的一個(gè)基，關(guān)于該基的矩陣是，，則關(guān)于的坐標(biāo)是____________。4、矩陣的特征值是____________。5、在歐氏空間里的長度為______________。6、二次型的矩陣是____________.三、計(jì)算題（3小題14分，其余每小題12分，共50分）1、已知是的一個(gè)基，求在該基下的坐標(biāo)。2、設(shè)矩陣與相似，求。3、求一個(gè)正交變換把二次型化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形。4、取何值時(shí)，二次型正定。四、證明題（每小題10，共20分）1、令是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換，如果分別是的屬于互不相同的本征值的本征向量，證明線性無關(guān)。2、設(shè)是維歐氏空間的一個(gè)線性變換，如果是正交變換又是對稱變換，證明是單位變換?！陡叩却鷶?shù)》試題11一、選擇題（每題3分，共12分）1、下列集合有（）個(gè)不是的子空間；；；；；（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)2、（1）若兩個(gè)向量組等價(jià)，則他們所含向量的個(gè)數(shù)相同；（2）若向量組線性無關(guān)，可由線性表出，則向量組也線性無關(guān)；（3）設(shè)線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；（4）線性相關(guān)，則一定可由線性表出；以上說法中不正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)3、（1）維向量空間的任意個(gè)線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成的一個(gè)基；（2）設(shè)是向量空間中的個(gè)向量，且中的每個(gè)向量都可由之線性表示，則是的一個(gè)基；（3）設(shè)是向量空間的一個(gè)基，如果與等價(jià)，則也是的一個(gè)基；（4）維向量空間的任意個(gè)向量線性相關(guān)；以上說法中不正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)4、（1）線性變換的本征向量之和仍為的本征向量；（2）屬于線性變換的同一本征值的本征向量的任一線性組合仍是的本征向量；（3）相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式；（4）的非零解向量都是的屬于的特征向量；以上說法不正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)二、填空題（每空3分，共18分）復(fù)數(shù)域作為復(fù)數(shù)域上的向量空間，則___________它的一個(gè)基為____________________。2、設(shè)是向量空間的一個(gè)基，由該基到的過渡矩陣為___________________。3、設(shè)是數(shù)域上的3維向量空間，是的一個(gè)線性變換，是的一個(gè)基，關(guān)于該基的矩陣是，，則關(guān)于的坐標(biāo)是____________。4、矩陣的特征值是____________。5、在歐氏空間里的長度為______________。6、二次型的矩陣是______________.三、計(jì)算題（3小題14分，其余每小題12分，共50分）1、已知是的一個(gè)基，求在該基下的坐標(biāo)。2、設(shè)矩陣與相似，求。3、求一個(gè)正交變換把二次型化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形。4、取何值時(shí)，二次型正定。四、證明題（每小題10，共20分）1、令是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換，如果的特征多項(xiàng)式的根都在內(nèi)；對于的特征多項(xiàng)式的每一根，本征子空間的維數(shù)等于的重?cái)?shù)。證明可以對角化2、設(shè)是維歐氏空間的一個(gè)線性變換，如果是對稱變換，且是單位變換。證明是正交變換?！陡叩却鷶?shù)》試題12一、選擇題：（3=9分）1、A，B，C是同階方陣，且ABC=I，則必有（）（A）ACB=I（B）BAC=I（C）CAB=I（D）CBA=I2、設(shè)為任意非零向量，則（）。(A)線性相關(guān)(B)線性無關(guān)(C)線性相關(guān)或線性無關(guān)3、設(shè)向量組I（），II（）則必有（）。(A)I無關(guān)II無關(guān)(B)II無關(guān)I無關(guān)(C)I無關(guān)II相關(guān)(D)II相關(guān)I相關(guān)二、填空：（3分）1、單個(gè)向量線性無關(guān)的充要條件是______________________________。2、A是矩陣，對任何矩陣，方程AX=b都有解的充要條件是________________________________________________。3、敘述替換定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。4、,則f(4)=__________________________三、計(jì)算題：解矩陣方程（9分）中的兩向量組，證明它們都是的基，并求第一個(gè)基到第二個(gè)基的過渡矩陣，如果在基下的坐標(biāo)為（3，1，2），求在基下的坐標(biāo)。（15分）計(jì)算行列式（）（9分）求線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系（10分）已知向量組（I）,(II),(III).若各向量組的秩分別為r(I)=r(II)=3,r(III)=4,證明向量組（IV）：的秩為4。（5分）四、證明題：證明向量（）線性相關(guān)必要且只要其中某一個(gè)向量是其余向量的線性組合。（10分）2、設(shè)W，W是向量空間的兩個(gè)子空間，那么它們的交W+W也是V的一個(gè)子空間。（7分）3、設(shè)在向量組中，并且每一都不能表成它的前個(gè)向量的線性組合，證明線性無關(guān)。（7分）4、設(shè)向量可由向量組線性表示，證明表法唯一的充要條件是線性無關(guān)。（7分）《高等代數(shù)》試題13一、選擇題：（3=9分）1、A，B是n階方陣，則下列結(jié)論成立得是（）AB0（B）|A|=0(C)|AB|=0(D)2、若向量組中含有零向量，則此向量組（）(A)線性相關(guān)(B)線性無關(guān)(C)線性相關(guān)或線性無關(guān)3、n維向量組線性無關(guān)的充分必要條件是（）存在一組不全為零的數(shù)，使（B）中任意兩個(gè)向量組都線性無關(guān)（C）中存在一個(gè)向量，它不能用其余向量線性表示（D）中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示二填空：（3分）1、，x=_____________________2、已知向量組線性無關(guān)，則t=__________________________3、向量組的極大無關(guān)組的定義是___________________________4、,則f(4)=____________________________三、計(jì)算題解矩陣方程（9分）2、計(jì)算行列式(9分)3、中的兩向量組，（i）證明它們都是的基，(ii)求第一個(gè)基到第二個(gè)基的過渡矩陣，(iii)如果在基下的坐標(biāo)為（3，1，2），求在基下的坐標(biāo)。（14分）線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系（10分）四、證明題1、設(shè)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)。（8分）2、設(shè)W，W是向量空間的兩個(gè)子空間，那么它們的交WW也是V的一個(gè)子空間。（7分）3、（維數(shù)定理）設(shè)W和W都是數(shù)域F上的向量空間V的有限維子空間，那么W+W也是有限維的，并且dim(W+W)=dimW+dimW--dim(WW)（12分）4、設(shè)向量組線性無關(guān)，且證明線性無關(guān)的一個(gè)充要條件是（9分）《高等代數(shù)》試題14一、填空題（每小題3分，共15分）1．設(shè)A為5階方陣，且，則，，A的伴隨矩陣的行列式。2．多項(xiàng)式的最大公因式。3．設(shè)，則。4．把表成的多項(xiàng)式是。5．方程組有解的充要條件是。二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1．設(shè)為四階行列式，且，則（）（A）4（B）（C）（D）82．設(shè)A為任意階可逆矩陣，k為任意常數(shù)，且，則必有（）（A）（B）（C）（D）3．下列對于多項(xiàng)式的結(jié)論不正確的是（）（A）如果，那么（B）如果，那么（C）如果，那么，有（D）如果，那么4．對于非齊次線性方程組AX=B其中，則以下結(jié)論不正確的是（）若方程組無解，則系數(shù)行列式。若方程組有解，則系數(shù)行列式。若方程組有解，則有惟一解，或者有無窮多解。系數(shù)行列式是方程組有惟一解的充分必要條件。5．設(shè)，則的充要條件是（）（A）B=I（B）（C）（D）三、解下列各題（40分）1．計(jì)算下列行列式(1)(2)2．求的有理根。3．討論a取何值時(shí)，方程組有解，并求解。4．求解矩陣方程四、證明下列各題（30分）1．設(shè)，且，對于任意的，則有2．令是n（n≥2）階矩陣A的伴隨矩陣，試證：3．設(shè)A，B，C，D都是n階矩陣，其中并且AC=CA，證明：4．已知方陣A滿足，試證：A可逆，并求出?！陡叩却鷶?shù)》試題15一、填空題（每小題3分，共15分）1．把表成的多項(xiàng)式是。2．設(shè)，則。3．設(shè)，則的充要條件是。4．a(chǎn),b滿足條件時(shí)，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式有重因式。5．方程組有解的充要條件是。二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1．設(shè)A為n階方陣，為非零常數(shù)，則（）（A）（B）（C）（D）2．設(shè)線性方程組，則（）（A）當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程組均有解。（B）當(dāng)時(shí)，方程組無解。（C）當(dāng)時(shí)，方程組無解。（D）當(dāng)時(shí)，方程組無解。3．設(shè)A為3階方陣，為按列劃分的三個(gè)子塊，則下列千萬行列式中與等值的是（）（A）（B）（C）（D）4．設(shè)A、B為n階方陣，則有（）（A）A，B可逆，則A+B可逆（B）A，B不可逆，則A+B不可逆（C）A可逆，B不可逆，則A+B不可逆（D）A可逆，B不可逆，則AB不可逆5．下列對于多項(xiàng)式的結(jié)論不正確的是（）（A）如果，那么（B）如果，那么（C）如果，那么，有（D）如果，那么三、解下列各題（40分）1．計(jì)算下列行列式（1）（2）2．討論a取什么值時(shí)，方程組有解，并求解。3．求解矩陣方程4．求的有理根。四、證明下列各題（30分）1．令是n（n>2）階矩陣A的伴隨矩陣，試證：（1）（2）2．設(shè)，則。3．設(shè)A，B均為n階方陣，證明：《高等代數(shù)》試題16填空題（33=9分）A相似于單位陣，A=。設(shè)A為3階方陣，其特征值為3，—1，2，則|A|=。當(dāng)t滿足條件，使二次型是正定的。判斷題（15=5分）1、若是方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則是A的屬于的全部特征向量，其中是全不為零的常數(shù)。（）2、A、B有相同的特征值，則A與B相似。（）3、若f（x）無有理根，則f（x）在Q上不可約。（）4、兩個(gè)本原多項(xiàng)式的和仍是本原多項(xiàng)式。（）5、對于整系數(shù)多項(xiàng)式f（x），若不存在滿足艾森施坦判別法條件的素?cái)?shù)p，那么f（x）不可約。（）證明定理（102=20分）1、n個(gè)變量的二次型的一切主子式都大于零，則是正定的。2、令是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)線性變換，如果分別是的屬于互不相同的本征值的本征向量，那么線性無關(guān)。計(jì)算題（104=40分）1、應(yīng)該滿足什么條件，有理系數(shù)多項(xiàng)式才能有重因式。2、求多項(xiàng)式的有理根。3、設(shè)，求一個(gè)正交矩陣，使是對角矩陣。將二次型化為規(guī)范形，并指出所用的線性變換。證明題（8+12=20分）1、（f，g）=1，證明（fg，f+g）=1。2、設(shè)是n維歐氏空間V的一個(gè)線性變換，證明，如果滿足下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它必然滿足第三個(gè)：（i）是正交變換，（ii）是對稱變換，（iii）是單位變換。六、證明：正定對稱矩陣的主對角線上的元素都是正定的。（6分）《高等代數(shù)》試題17一、選擇題（每題3分，共12分）1、下列集合有（）個(gè)不是的子空間；；；；；（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)2、（1）若兩個(gè)向量組等價(jià)，則他們所含向量的個(gè)數(shù)相同；（2）若向量組線性無關(guān)，可由線性表出，則向量組也線性無關(guān)；（3）設(shè)線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；（4）線性相關(guān)，則一定可由線性表出；以上說法中不正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)3、（1）維向量空間的任意個(gè)線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成的一個(gè)基；（2）設(shè)是向量空間中的個(gè)向量，且中的每個(gè)向量都可由之線性表示，則是的一個(gè)基；（3）設(shè)是向量空間的一個(gè)基，如果與等價(jià)，則也是的一個(gè)基；（4）維向量空間的任意個(gè)向量線性相關(guān)；以上說法中不正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)4、（1）線性變換的本征向量之和仍為的本征向量；（2）屬于線性變換的同一本征值的本征向量的任一線性組合仍是的本征向量；（3）相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式；（4）的非零解向量都是的屬于的特征向量；以上說法不正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)二、填空題（每空3分，共18分）復(fù)數(shù)域作為復(fù)數(shù)域上的向量空間，則___________它的一個(gè)基為____________________。2、設(shè)是向量空間的一個(gè)基，由該基到的過渡矩陣為___________________。3、設(shè)是數(shù)域上的3維向量空間，是的一個(gè)線性變換，是的一個(gè)基，關(guān)于該基的矩陣是，，則關(guān)于的坐標(biāo)是____________。4、矩陣的特征值是____________。5、在歐氏空間里的長度為______________。6、二次型的矩陣是______________.三、計(jì)算題（3小題14分，其余每小題12分，共50分）1、已知是的一個(gè)基，求在該基下的坐標(biāo)。2、設(shè)矩陣與相似，求。3、求一個(gè)正交變換把二次型化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形。4、取何值時(shí)，二次型正定。四、證明題（每小題10，共20分）1、令是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換，如果的特征多項(xiàng)式的根都在內(nèi)；對于的特征多項(xiàng)式的每一根，本征子空間的維數(shù)等于的重?cái)?shù)。證明可以對角化2、設(shè)是維歐氏空間的一個(gè)線性變換，如果是對稱變換，且是單位變換。證明是正交變換?！陡叩却鷶?shù)》試題18一、選擇題（每題3分，共12分）1、下列集合有（）個(gè)是的子空間；；；；；（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)2、（1）若兩個(gè)向量組等價(jià)，則他們所含向量的個(gè)數(shù)相同；（2）若向量組線性無關(guān)，可由線性表出，則向量組也線性無關(guān)；（3）設(shè)線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；（4）線性相關(guān)，則一定可由線性表出；以上說法正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)3、（1）維向量空間的任意個(gè)線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成的一個(gè)基；（2）設(shè)是向量空間中的個(gè)向量，且中的每個(gè)向量都可由之線性表示，則是的一個(gè)基；（3）設(shè)是向量空間的一個(gè)基，如果與等價(jià)，則也是的一個(gè)基；（4）維向量空間的任意個(gè)向量線性相關(guān)；以上說法中正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)4、（1）線性變換的本征向量之和仍為的本征向量；（2）屬于線性變換的同一本征值的本征向量的任一線性組合仍是的本征向量；（3）相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式；（4）的非零解向量都是的屬于的特征向量；以上說法正確的有（）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)二、填空題（每空3分，共18分）1、復(fù)數(shù)域作為實(shí)數(shù)域上的向量空間，則___________它的一個(gè)基為____________________。2、設(shè)是向量空間的一個(gè)基，由該基到的過渡矩陣為___________________。3、設(shè)是數(shù)域上的3